File Word đề thi vào 10 chuyên Toán Khánh Hòa – Năm học 2023 – 2024
Đề thi vào 10 chuyên Toán Khánh Hòa – Năm học 2023 – 2024
Câu 1 (2,00 điểm)
(4) Cho biếu thức $M=\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{x-1}}-\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x-1}}-4 \frac{x \sqrt{x}-x}{1-\sqrt{x}}$, vơi $x>1$.
Rút gọn $M$ và tìm giá trị nhỏ nhất của $M$.
b) Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ sao cho $A=\sqrt{n+3}+\sqrt{n+\sqrt{n+3}}$ là số nguyên.
Câu 2 (2,00 điểm)
Cho phương trình $x^2+b x-7+2 b=0(1)$ (ần $x$ ), với $b$ là tham số nguyên.
(a) Chứng minh phương trình (1) luồn có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$. Tìm $b$ để $x_2^2=9 x_1$.
b) Chứng minh rằng né́u $b$ là số nguyên lé thì phương trình (1) không có nghiệm hữu tỉ.
Câu 3 (1,50 điểm)
(a) Chứng minh $p^4-1$ chia hết cho 240 với mọi số nguyên tố $p>5$.
b) Lần cắt thứ nhất, bạn An cắt một mảnh giáy hình vuông thành 4 hình vuông nhỏ bằng nhau (hình vẽ). Là̀n cắt thứ hai, bạn An lấy một trong các hình vuông đó cắt thành 4 hình vuông nhỏ bằng nhau (như lần thứ nhất), và cứ làm như vậy nhiều là̀n. Hỏi sau bao nhiêu lần cắt thì bạn An có được 55 hình vuông?
Câu 4 (1,50 điểm)
a) Chứng minh $(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2 \geq \sqrt{2}(x+y-2)(z-1)$, với mọi $x, y, z \in \mathbb{R}$.
b) Tìm số thực $k$ nhỏ nhất sao cho bất đẳng thức sau luôn đúng với mọi $x, y, z \in \mathbb{R}$
$
k\left[(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2\right] \geq|(x+y-2)(z-1)| \text {. }
$
Câu 5 (3,00 điểm)
Cho hai đường tròn $(O, R)$ và $\left(O^{\prime} R^{\prime}\right)$ cắt nhau tại $A$ và $B\left(R>R^{\prime}, \widehat{O A O^{\prime}}>90^{\circ}\right)$. Đường thẳng $O^{\prime} B$ cắt $(O, R)$ và $\left(O^{\prime}, R^{\prime}\right)$ lần lượt tại $E$ và $P$ (khác $B$ ), đường thẳng $O B$ cắt $\left(O^{\prime}, R^{\prime}\right)$ và $(O, R)$ lần lượt tại $F$ và $Q($ khác $B)$.
a) Chứng minh ba điểm $A, P, Q$ thẳng hàng và $P Q=2.0 O^{\prime}$.
b) Qua $B$ dựng đường thẳng song song với $E F$, cắt $(O, R)$ và $\left(O^{\prime}, R^{\prime}\right)$ lần lượt tại $M$ và $N$. Chứng minh năm điểm $O, A, O^{\prime}, E, F$ cùng thuộc một đường tròn và $M A B E$ là hình thang cân.
c) Tiếp tuyến với $\left(O^{\prime}, R^{\prime}\right)$ tại $A$ cắt $(O, R)$ tại $C$ và tiếp tuyến với $(O, R)$ tại $A$ cắt $\left(O^{\prime}, R^{\prime}\right)$ tại $D$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $A C D$ cắt đường thẳng $A B$ tại $I$ (khác $A$ ). Chứng minh $B$ là trung điểm của $A I$.
Sáng mai mình word xong sẽ chia sẻ ở phần comment
