File Word đề thi vào 10 chuyên Toán Lâm Đồng – Năm học 2023 – 2024

Lâm Đồng sẽ thi chuyên Toán vào ngày 7/6/2023, mình sẽ cập nhật đề sớm nhất tại đây,

Đề toán Lâm Đồng không chuyên

Câu 1. (0,75 điểm) Tính: $A=\sqrt{25} \cdot \sqrt{4}$.
Câu 2. (0,75 điểm) Nhà bạn An sản xuất thùng đựng nước có dạng hình trụ cao $8 \mathrm{dm}$, bán kính đường tròn đáy $2 \mathrm{dm}$. Tính thể tích một thùng đựng nước của nhà bạn $\mathrm{An}$. (Biết độ dày của thừng không đáng kể, $\pi=3,14$ ).
Câu 3. (0,75 điểm)  Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$, đường cao $A H(H \in B C)$. Biết $H B=2 \mathrm{~cm}, H C=8 \mathrm{~cm}$. Tính $A H$.
Câu 4. (1,0 điểm) Giải phương trình: $x^4-3 x^2-4=0$.
Câu 5. (0,75 điểm) Tìm $m$ để phương trình: $x^2-4 x-2 m+1=0$ có nghiệm kép. Tính nghiệm kép của phương trình.
Câu 6. (1,0 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ $O x y$, xác định phương trình đường thẳng (d): $y=a x+b$, biết $(d)$ đi qua hai điểm $A(1 ;-2)$ và $B(2 ; 5)$.
Câu 7. (1,0 điểm) Cho đường tròn $(O ; 4 \mathrm{~cm})$, lấy điểm $M$ sao cho $O M=8 \mathrm{~cm}$. Từ điểm $M$ kè hai tiếp tuyến $M A, M B$ với đường tròn $(A$ và $B$ là hai tiếp điểm). Chứng minh $\triangle M A B$ là tam giác đều.
Câu 8. (0,75 điểm) Rút gọn biểu thức $B=\left(\frac{3 \sqrt{x}+2}{x-4}-\frac{1}{\sqrt{x}-2}\right): \frac{4 \sqrt{x}}{x-4}$ với $x>0, x \neq 4$.
Câu 9. (1,0 điểm) Quãng đường từ $\mathrm{A}$ đến $\mathrm{B}$ dài $50 \mathrm{~km}$. Một xe máy và một ô tô xuất phát cùng lúc từ $\mathrm{A}$ đi đến $\mathrm{B}$. Biết vận tốc của ô tô lớn hơn vận tốc xe máy là $10 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ và ô tô đến $\mathrm{B}$ trước xe máy 15 phút. Tính vận tốc của xe máy.
Câu 10. (0,75 điểm) Cho hai đường tròn $(O)$ và $\left(O^{\prime}\right)$ bằng nhau, cắt nhau tại $A$ và $B$, kẻ các đường kính $A O C, A O^{\prime} D$. Gọi $E$ là giao điểm thứ hai của $A C$ và $\left(O^{\prime}\right)$. Chứng minh rằng $B$ là điểm chính giữa của cung $E B D$.
Câu 11. (0,75 điểm) Tìm $m$ để phương trình $x^2-(2 m+3) x+2 m+2=0$ có hai nghiệm phân biệt đều nhỏ hơn 2 .
Câu 12. (0,75 điểm) Cho Ax là tiếp tuyến của đường tròn (O) đường kính AB. Lấy điểm M thuộc Ax (điểm M khác điểm A ). Vẽ cát tuyến MCD của đường tròn ( C nằm giữa M và D, C và D nằm ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ là đường thẳng AB), E là giao điểm BC và OM. Chứng $\operatorname{minh} \widehat{M A E}=\widehat{D A B}$.

Hướng dẫn câu cuối

Câu 12

Kéo dài ME cắt BD tại K. Kẻ AH vuông góc với ME tại H.

Lần lượt chứng minh:

MA² = MC.MD

MA² = MH.MO

MC.MD = MH.MO

Hai tam giác MCH và MOD đồng dạng (c-g-c)

$\widehat{MHC}=\widehat{MDO}$

Tứ giác ACHE nội tiếp

$\widehat{AHC}+\widehat{CHM}={{90}^{0}}=\widehat{ADB}=\widehat{ADC}+\widehat{CDO}+\widehat{ODB}$

$\widehat{AHC}=\widehat{ADC}+\widehat{ODB}$

Tam giác DOB cân tại O.

$\widehat{AHC}=\widehat{ABC}+\widehat{OBD}=\widehat{CBD}$ mà $\widehat{AHC}=\widehat{AEC}$ (do tứ giác ACHE nội tiếp)

Nên $\widehat{CBD}=\widehat{AEC}$

Suy ra AE // BD

Mà AD vuông góc với BD

Nên AE vuông góc với AD

Suy ra $\widehat{MAE}=\widehat{DAB}$ (cùng phụ với góc EAO)

Hướng dẫn của CLB Toán chuyên Bảo Lộc (Toán chung)

CT_Toán thường Vào 10 Lâm Đồng 2023

Đề toán chuyên Lâm Đồng

HƯỚNG DẪN GIẢI TOÁN CHUYÊN

Câu 1. (4.0 điểm)                          

1.1. Rút gọn biểu thức: $B=\sqrt{4+\sqrt{7}}+\sqrt{8-3 \sqrt{7}}-\sqrt{2}$.

HD:

$\begin{align}& \sqrt{2}B=\sqrt{8+2\sqrt{7}}+\sqrt{16-6\sqrt{7}}-2=\sqrt{{{\left( \sqrt{7}+1 \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( 3-\sqrt{7} \right)}^{2}}}-2 \\& =…=\sqrt{7}+1+3-\sqrt{7}-2=2 \\\end{align}$

$ \Rightarrow B = \sqrt 2 $

1.2. Một chiếc xô hình nón cụt có bán kính miệng xô là $20 \mathrm{~cm}$, bán kính đáy xô $6 \mathrm{~cm}$ và độ dài đường sinh là $50 \mathrm{~cm}$ (minh họa bởi hình bên). Xô đó có chứa được hết 30 lít nước không? (cho $\pi=3,14$ ).

HD:

Minh họa như hình bên: HD = 20 – 6 = 14 (cm)

Dùng định lí Py-ta-go tính được HC = $\sqrt{2304}$ (cm) vậy chiều cao của hình nón cụt $h=\sqrt{2304}$

Thế tích của xô (hình nón cụt):

$\begin{align}& V=\frac{1}{3}\pi h\left( {{r}_{1}}^{2}+{{r}_{2}}^{2}+{{r}_{1}}{{r}_{2}} \right)=\frac{1}{3}.3,14.\sqrt{2304}\left( {{6}^{2}}+{{20}^{2}}+6.20 \right) \\& \approx 27933,44\left( c{{m}^{3}} \right)=27,93344\left( d{{m}^{3}} \right)=27,93344\left( l \right)<30 \\\end{align}$

Vậy xô không chứa được hết 30 lít nước.

Câu 2. (4.0 điểm)

2.1. Giải phương trình nghiệm nguyên: $x^2+x y=2022 x+2023 y+2024$.

HD:

$\begin{align}& {{x}^{2}}+xy=2022x+2023y+2024\Leftrightarrow 2023y-xy={{x}^{2}}-2022x-2024 \\& \Leftrightarrow \left( 2023-x \right)y={{x}^{2}}-2022x-2024 \\\end{align}$

Nhận thấy x = 2023 thì hai vế khác nhau nên $x\ne 2023$

Vậy $y=\frac{{{x}^{2}}-2022x-2024}{-x+2023}=\frac{{{x}^{2}}-2023x+x-2023-1}{-x+2023}=-x-1+\frac{1}{x-2023}$

Để y nguyên thì $x-2023=\pm 1\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=2024 \\& x=2022 \\\end{align} \right.$

Vậy PT có 2 nghiệm nguyên (2024, – 2024) ; (2022, – 2024)

2.2. Tại Khoản 1, Điều 3 Nghị định số $100 / 2019 / \mathrm{ND}-C P$ ngày 30 tháng 12 năm 2019 của Chính phủ quy định tốc độ tối đa của xe đạp điện là $25 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$. Hai bạn An và Bình xuất phát cùng một lúc từ trường đến khu du lịch với quãng đường dài $24 \mathrm{~km}$ bằng phương tiện xe đạp điện. Mỗi giờ An đi chậm hơn Bình là $6 \mathrm{~km}$ nên đến nơi muộn hơn 12 phút. Hỏi hai bạn An vả Bình có vi phạm tốc độ theo quy định tại Khoản 1 , Điều 3 Nghị dịnh số $100/2019/$NĐ-CP hay không?

HD:

Gọi vận tốc An: x (km/h) ( x > 0)

Vận tốc Bình: x + 6

PT: $\frac{24}{x}-\frac{24}{x+6}=\frac{1}{5}$

Giải PT được: x₁ = 24 (nhận) x₂ = – 30 (loại)

Vận tốc của An là 24 km/h của Bình là 30 km/h. Vậy An không vi phạm còn Bình vi phạm.

Câu 3. (5.0 điểm)

3.1. Cho phương trình trùng phương ẩn $x$, tham số $m: x^4+2(1-m) x^2+m^2=0(*)$. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình (*) vô nghiệm.

HD:

Đặt ${{x}^{2}}=t\ge 0$ ta được PT: ${{t}^{2}}+2\left( 1-m \right)t+{{m}^{2}}=0$(1)

$\Delta ‘=1-2m+{{m}^{2}}-{{m}^{2}}=1-2m$

Để phương trình (*) vô nghiệm thì PT (1) vô nghiệm hoặc có hai nghiệm âm.

TH1: (1) vô nghiệm khi $1-2m<0\Leftrightarrow m>\frac{1}{2}$

TH2: (1) có hai nghiệm âm khi

$\left\{ \matrix{
1 – 2m \ge 0 \hfill \cr
{m^2} > 0 \hfill \cr
– 2\left( {1 – m} \right) < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m \le {1 \over 2} \hfill \cr
m \ne 0 \hfill \cr
m < 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow 0 \ne m \le {1 \over 2}$

Vậy m khác 0 thì phương trình (*) vô nghiệm.

3.2. Trên đường tròn tâm $O$ đường kính AB lấy điểm $C$ (khác điểm $A$ và $B$ ). Các tiếp tuyến của đường tròn tại $A$ và tại $C$ cắt nhau ở $D$. Goi $H$ là hình chiếu của điểm $C$ trên AB. Chứng minh rằng: BD đi qua trung điểm của CH.

HD:

Bài này khá quen thuộc, kéo dài BC cắt Ax tại E, chứng minh $\frac{IC}{DE}=\frac{IH}{AD}$ và AD = DE

Câu 4. (4.0 điểm)

4.1. Giải hệ phưong trinh: $\left\{\begin{array}{l}x^3+3 x+8=y^3 \\ x^2+y^2-2=y\end{array}\right.$

HD:

$\begin{align}& \text{ }\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}{{x}^{3}}+3x={{y}^{3}}-8  \\{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=y+2  \\\end{array} \right.\Rightarrow {{x}^{3}}+3x+3\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)={{y}^{3}}-8+3(y+2) \\& \Leftrightarrow {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+3x+1={{y}^{3}}-3{{y}^{2}}+3y-1 \\& \Leftrightarrow {{(x+1)}^{3}}={{(y-1)}^{3}}\Leftrightarrow x+1=y-1\Leftrightarrow x=y-2 \\\end{align}$

Từ đó giải ra $y=1 ; y=\frac{1}{2}$

4.2. Bố bạn Nam dự định rào một khu vườn trồng rau hình chữ nhật gồm ba mặt bằng lưới nhựa dài 20 mét và mặt còn lại tận dụng bờ tường có sẵn (minh họa bởi hình bên). Em hãy tư vấn giúp bố bạn Nam cách rào để diện tích khu vườn trồng rau là lớn nhất.

HD:

Gọi $x$ là chiều dài cạnh song song với bờ tường, $y$ là chiều dài cạnh vuông góc với bờ tường. Theo bài ra ta có: $x+2y=20\Leftrightarrow x=20-2y$.

Diện tích của khu trồng rau là: $S=x\cdot y=\left( 20-2y \right)\cdot y$.

Ta có: $S=2\left( 10-y \right).y\le 2.\frac{{{(10-y+y)}^{2}}}{4}\Leftrightarrow S\le 50$.

Đẳng thức xảy ra khi: $y=10-y\Leftrightarrow y=5\left( \text{ }\!\!~\!\!\text{ m} \right)\Rightarrow x=10$ (cm)

Câu 5. (3.0 điểm)

5.1. Cho hình vuông ABCD, trên đường chéo BD lấy điểm $E$ sao cho $B E=B A$. Đường thẳng đi qua $E$ vuông góc với BD cá́t AD tại $O$, đường thẳng AE cắt BO tại $H$. Vẽ đường tròn $(O ; O A)$ cắt AD tại $K$ (khác điểm $A$ ). Chứng minh rằng: $D K . D A=O H . O B$.

HD:

Các bạn lần lượt chứng minh

BD là tiếp tuyến của (O)

DK.DA = DE²

Tam giác OED vuông cân tại E => OE = DE

DK.DA = OE²

OB vuông góc với AE

OE² = OH.OB

5.2. Cho một tam gác có độ dài ba cạnh lần lượ là a, b, c và có chu vi bằng 2. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=\frac{a}{b+c-a}+\frac{4 b}{c+a-b}+\frac{9 c}{a+b-c}$.

HD:

Với a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 2 nên $a+b+c=2$.

Đặt  $b+c-a=x;\,\,\,c+a-b=y;\,\,a+b-c=z$

Ta có $\left\{ \begin{align}& b+c-a=x \\& a+c-b=y \\& a+b-c=z \\\end{align} \right.\Rightarrow a=\frac{z+y}{2};\ b=\frac{x+z}{2};\ c=\frac{x+y}{2}$

Do a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác nên: $x,\,y,\,z>0$.

Suy ra $x+y+z=2$ (do $a+b+c=2$)

Khi đó $S=\frac{y+z}{2x}+\frac{4\left( x+z \right)}{2y}+\frac{9\left( x+y \right)}{2z}=\frac{1}{2}\left[ \frac{y+z}{x}+\frac{4\left( x+z \right)}{y}+\frac{9\left( x+y \right)}{z} \right] $

\[=\frac{1}{2}\left[ \left( \frac{y}{x}+\frac{4x}{y} \right)+\left( \frac{z}{x}+\frac{9x}{z} \right)+\left( \frac{4z}{y}+\frac{9y}{z} \right) \right] \] $\ge \frac{1}{2}\left( 4+6+12 \right)=11$

Dấu “=” xảy ra khi

$$\left\{ \matrix{
y = 2x \hfill \cr
z = 3x \hfill \cr
2z = 3y \hfill \cr
\,x + y + z = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {1 \over 3} \hfill \cr
y = {2 \over 3} \hfill \cr
\,z = 1 \hfill \cr} \right.$$

$\Leftrightarrow a=\frac{5}{6};\,\,b=\frac{2}{3};\,\,c=\frac{1}{2}$

Vậy ${{S}_{\min }}=11\Leftrightarrow $   $a=\frac{5}{6};\,\,b=\frac{2}{3};\,\,c=\frac{1}{2}$.

Hướng dẫn của CLB Toán chuyên Bảo Lộc (Toán chuyên)

CT_Toán Chuyên Vào 10 Lâm Đồng 2023