File Word đề thi vào 10 chuyên Toán Lào Cai – Năm học 2023 – 2024

File Word đề thi vào 10 chuyên Toán Lào Cai – Năm học 2023 – 2024

Câu 1 (2 điểm). Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}m x+y=5 \\ 2 x-y=2\end{array}\right.$
a) Giải hệ phương trình với $m=5$
b) Xác định $m$ để hệ phương trỉnh có nghiệm duy nhất và thỏa mãn: $x+y=12$
Câu 2 (2 điểm). Cho hàm số $y=x^2$ có đồ thị $(P)$ và hàm số $y=a x+b$ có đồ thị $(d)$
a) Xác định $a$ và $b$ biết đường thẳng $(d)$ đi qua điểm $\mathrm{A}(0 ; 2)$ và $\mathrm{B}(1 ; 3)$
b) Với $a, b$ vửa tìm được, hãy tìm tọa độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$.
Câu 3 (2 điểm). Giải bải toán sau bằng cách lâpp phurong trình hoạc hệ phutơng trình: Hai giá sách có 450 cuốn. Nếu chuyển 50 cuốn từ giá sách thứ nhất sang giá sách thứ hai thì số sách ở giá thứ hai sẽ bằng $\frac{4}{5}$ số sách còn lại ở giá sách thứ nhất. Tính số sách trong mỗi giá lúc ban đầu.

Câu 4 (3.5 điểm). Cho nưa đường tròn tâm $\mathrm{O}$ đường kính $\mathrm{AB} . \mathrm{C}$ là một điểm nằm giữa $\mathrm{O}$ và $\mathrm{A}$. Đường thẳng vuông góc với $\mathrm{AB}$ tại $\mathrm{C}$ cắt nửa đường tròn trên tại $\mathrm{I}$. $\mathrm{K}$ là một điểm bất kỳ nằm trên đoạn thẳng $\mathrm{CI}(\mathrm{K}$ khác $\mathrm{C}$ và $\mathrm{I})$, tia $\mathrm{AK}$ cắt nưa đường tròn $(\mathrm{O})$ tại $\mathrm{M}$, tia $\mathrm{BM}$ cắt tia $\mathrm{CI}$ tại $\mathrm{D}$. Chứng minh:
a) Chứng minh: Các điểm $\mathrm{A} ; \mathrm{C} ; \mathrm{M} ; \mathrm{D}$ củng thuộc một đương tròn.
b) Chứng minh: $\mathrm{CK} . \mathrm{CD}=\mathrm{CA} . \mathrm{CB}$
c) Gọi $\mathrm{N}$ là giao điểm của $\mathrm{AD}$ và đường tròn $(\mathrm{O})$ chứng minh: $\mathrm{B}, \mathrm{K}, \mathrm{N}$ thẳng hàng
Câu 5 (0.5 điểm). Biết $4 x^2+2 y^2+2 z^2-4 x y-4 x z+2 y z-6 y-10 z=-34$
Tính giá trị của biểu thức: $M=(x-4)^{2031}-(y-4)^{2-231}+(z-4)^{2022}$

Hướng dẫn

Theo BĐT AM-GM ta co’:
$
P \geqslant 3 \sqrt[3]{\frac{(1+3 a b)(1+3 b c)(1+3 c a)}{a b c}}
$
Cần chứng minh: $\frac{(1+3 a b)(1+3 b c)(1+3 c a)}{a b c} \geqslant 64$ $a b c$
Tiếo tục sự dụng BĐT A M-G M ta được
$
\begin{aligned}
1+3 a b & =\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+3 a b \geqslant 4 \sqrt[4]{\frac{a b}{9}} \\
\Rightarrow 1+3 a b & \geqslant \frac{4}{\sqrt{3}} \sqrt[4]{a b} \\
1+3 b c & \geqslant \frac{4}{\sqrt{3}} \sqrt[4]{b c} \\
1+3 c a & \geqslant \frac{4}{\sqrt{3}} \sqrt[4]{c a}
\end{aligned}
$
Nhân theo vế $^{\prime}(1),(2)^{\sqrt{3}} \sqrt{a}$ (3) $\rightarrow(1+3 a b)(1+3 b c)(1+3 c a) \geq \frac{64}{3 \sqrt{3}} \sqrt{a b c}$
Cần chứng minh$\frac{\frac{64}{3 \sqrt{3}} \sqrt{a b c}}{a b c} \geqslant 64 \Leftrightarrow \sqrt{a b c} \leq \frac{1}{3 \sqrt{3}}$
hay $a b c \leq \frac{1}{27}$ (4)
Tiếp tục sử dụng BĐT AM-GM $1 \geqslant a+b+c \geqslant 3 \sqrt[3]{a b c}$ $\Rightarrow a b c \leq \frac{1}{27} \Rightarrow(4)$ đúng

Vậy $P \geqslant 12$ Dấu “=” xảy ra khi  $a=b=c=\frac{1}{3}$

File word ở comment thứ 10