File Word đề thi vào 10 Long An Môn Toán chuyên – Năm học 2023 – 2024
File Word đề thi vào 10 Long An Môn Toán chuyên – Năm học 2023 – 2024
Câu 1 (1,5 điểm) Cho biểu thức $T=\left(\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}-\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}+1}\right)\left(\frac{\sqrt{a}}{4}-\frac{1}{4 \sqrt{a}}\right)^2$ vơi $a>0, a \neq 1$.
a) Rút gọn biểu thức $T$.
b) Tìm tất cả các giá trị của $a$ để $T=-\sqrt{a}-1$.
Câu 2 (2,0 điểm)
a) Nhân dịp kỉ niệm 10 năm thành lập, cửa hàng $\mathrm{GNH}$ có thực hiện chương trình giảm giá cho mặt hàng $\mathrm{X}$ là $20 \%$ và mặt hàng $\mathrm{Y}$ là $15 \%$ so với giá niêm yết. Bà Giới mua 2 món hàng $\mathrm{X}$ và 1 món hàng $\mathrm{Y}$ phải trả số tiền là 395000 đồng. Ngày cuối cùng của chương trình, cửa hàng thay đổi bằng cách giảm giá mặt hàng X là $30 \%$ và mặt hàng Y là $25 \%$. Vào ngày hôm đó, cô Định mua 3 món hàng $\mathrm{X}$ và 2 món hàng $\mathrm{Y}$ thì trả số tiền là 603000 đồng. Tính giá niêm yết của mỗi món hàng $\mathrm{X}$ và $\mathrm{Y}$ (giá niêm yết là giá ghi trên món hàng nhung chura thưcc hiện giảm giá).
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $x^2-(2 m-1) x+m^2-7=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thoả mãn điều kiện $4 x_1+3 x_2=1$.
Câu 3 (1,0 điểm)
Giải phương trình $x^2-5 x+2+(3-2 x) \sqrt{x^2+x+2}=0$.
Câu 4 (2,5 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm $O$ có đường kính $A B=2 R$. Từ $A$ và $B$ lần lượt kẻ hai tiếp tuyến $A u, B v$ với nửa đường tròn. Qua một điểm $C$ thuộc nửa đường tròn ( $C$ khác $A$ và $B$ ), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, nó cắt $A u$ và $B v$ theo thứ tự ở $M$ và $N$.
a) Chứng minh tứ giác $A M C O$ nội tiếp đường tròn và $\widehat{C B O}=\widehat{C N O}$.
b) Kẻ $C H$ vuông góc với $A B$ tại $H$, gọi $K$ là giao điểm của $C H$ với $A N$. Chúng minh ba điểm $M, K, B$ thẳng hàng.
c) Gọi $S$ là diện tích của tam giác $A B C, S_1$ là diện tích của tam giác $M O N$. Hãy tính tỉ số $\frac{S_1}{S}$ khi $A M=1,5 R$.
Câu 5 (1,0 điểm)
Ông Tuệ khóa két sắt bằng mật mã có 4 chữ số. Ông chỉ nhớ rằng trong 4 chữ số đó không có chữ số 0 và tổng của chúng bằng 9 . Hỏi ông Tuệ phải thử tối đa bao nhiêu lần mật mã khác nhau để chắc chắn mở được két sắt đó?
Câu $6(1,0$ điểm $)$ Cho $a \geq 0, b \geq 0$ thỏa mãn $2 a+3 b \leq 6$ và $2 a+b \leq 4$. Chứng minh rằng:
$$
-\frac{22}{9} \leq a^2-2 a-b \leq 0
$$
Câu 7 (1,0 điểm)
Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$. Gọi $M$ là một điểm trên cạnh $B C, I$ và $K$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $A B M$ và tam giác $A C M$. Xác định vị trí của $M$ để diện tích tam giác AIK nhỏ nhất.
