File Word đề thi vào 10 Phú Yên – Năm học 2023 – 2024

File Word đề thi vào 10 Phú Yên – Năm học 2023 – 2024

Câu 1. (4,0 điểm)
a) Cho $a, b, c$ là ba số thực khác 0 sao cho $a+b+c=0$. Chứng minh
$
\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2
$
b) Tính giá tri biểu thức :
$
P=\sqrt{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+\sqrt{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}+\ldots .+\sqrt{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{8^2}+\frac{1}{9^2}}
$
Câu 2. (3,0 điểm) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+x y=x \\ y^2+2 x y=y\end{array}\right.$
Câu 3. (3,0 điểm) Giải phương trình : $\sqrt{x-3}+\sqrt{5-x}=-x^2+8 x-14$
Câu 4. (3,0 điểm) Tìm $m$ để phương trình $x^2-(m+1) x+m+3=0$ (m là tham số) có hai nghiệm $x_1, x_2$ là độ dài hai cạnh $A B, A C$ của tam giác $A B C$ vuông tại $\mathrm{A}$ và có
$
B C=5
$
Câu 5. (4,0 điểm) Cho ba đường thẳng cố định $a, b, c$ song song nhau, sao cho $b$ nằm giữa và cách đều $a$ và $\mathrm{c}$. Một đường thẳng $d$ cố định, vuông góc $a$, lần lượt cắt $a, b, c$ tại $A, B, C$. Trên đoạn $A B$ lấy điểm $\mathrm{I}$ sao cho $I A=2 I B$. Gọi $\mathrm{D}$ là một điểm di động trên $\mathrm{c}$. Trên $b$ lấy điểm $E$ sao cho $I E=\frac{1}{2} I D$. Đường thẳng $D E$ cắt $a$ tại $\mathrm{F}$
a) Lấy điểm $\mathrm{H}$ trên đoạn $E D$ sao cho $H E=\frac{1}{2} H D$. Chứng minh rằng $\angle F I H=90^{\circ}$
b) Chứng minh đường thẳng $D E$ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định
Câu 6. (3,0 điểm) Cho các số nguyên dương $x, y, z$ thỏa $(x+y)^4+5 z=63 x$
Tính giá trị biểu thức $Q=x+y+z$

Hướng dẫn giải đề thi vào 10 Phú Yên – Năm học 2023 – 2024

Câu 1. (4,0 điểm)
c) Cho $a, b, c$ là ba số thực khác 0 sao cho $a+b+c=0$. Chứng minh
$
\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2
$
Ta có
$
\begin{aligned}
& \left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(\frac{1}{a b}+\frac{1}{b c}+\frac{1}{c a}\right) \\
& =\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(\frac{a+b+c}{a b c}\right)=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}
\end{aligned}
$
d) Tính giá tri biểu thức :
$
P=\sqrt{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+\sqrt{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}+\ldots .+\sqrt{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{8^2}+\frac{1}{9^2}}
$
Ta sẽ chứng minh $\sqrt{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(k+1)^2}}=1+\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}, \forall k \geq 2$
Thật vậy, theo câu $a$ ta có :
$
\sqrt{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(k+1)^2}}=\sqrt{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(-k-1)^2}}=\sqrt{\left(1+\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)^2}=1+\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}, \forall k \geq 2
$
Khi đó :
$\sqrt{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3} ; \sqrt{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}=1+\frac{1}{3}-\frac{1}{4} ; \ldots \ldots ; \cdot \sqrt{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{8^2}+\frac{1}{9^2}}=1+\frac{1}{8}-\frac{1}{9}$
Cộng vế theo vế, ta được $P=7+\frac{1}{2}-\frac{1}{9}=\frac{133}{18}$
Câu 2. (3,0 điểm) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+x y=x \\ y^2+2 x y=y\end{array}\right.$

Read:   File Word đề thi vào 10 Long An Môn Toán chuyên – Năm học 2023 – 2024

Ta có : $\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+x y=x(1) \\ y^2+2 x y=y(2)\end{array}\right.$
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được : $x^2-x y=x-y \Leftrightarrow(x-y)(x-1)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=1 \\ x=y\end{array}\right.$
$*) x=1 \Rightarrow(1) \Leftrightarrow y^2+y=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}y=0 \\ y=-1\end{array}\right.$
$*) x=y \Rightarrow(1) \Leftrightarrow 3 y^2-y=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}y=0 \\ y=\frac{1}{3}\end{array}\right.$
Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(0 ; 0),\left(\frac{1}{3} ; \frac{1}{3}\right)(1 ; 0) ;(1 ;-1)$
Câu 3. (3,0 điểm) Giải phương trình : $\sqrt{x-3}+\sqrt{5-x}=-x^2+8 x-14$
Điều kiện : $3 \leq x \leq 5$. Đặt $a=\sqrt{x-3}, b=\sqrt{5-x}(a, b \geq 0)$
Khi đó : $\left\{\begin{array}{l}a+b=a^2 b^2+1 \\ a^2+b^2=2\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a+b=a^2 b^2+1 \\ (a+b)^2-2 a b=2\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a+b=a^2 b^2+1 \\ \left(a^2 b^2+1\right)^2-2 a b=2\end{array}\right.\right.\right.$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a+b=a^2 b^2+1 \\ (a b)^4+2(a b)^2-2 a b-1=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a+b=a^2 b^2+1 \\ (a b-1)\left[(a b)^3+(a b)^2+3 a b+1\right]=0\end{array}\right.\right.$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a+b=a^2 b^2+1 \\ a b=1(d o a b>0)\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a+b=2 \\ a b=1\end{array} \Leftrightarrow a=b=1 \Rightarrow \sqrt{x-3}=1 \Leftrightarrow x=4\right.\right.$
Câu 4. (3,0 điểm) Tìm $m$ để phương trình $x^2-(m+1) x+m+3=0$ (m là tham số) có hai nghiệm $x_1, x_2$ là độ dài hai cạnh $A B, A C$ của tam giác $A B C$ vuông tại $A$ và có $B C=5$
Ta có $x^2-(m+1) x+m+3=0(1)$
Do $x_1, x_2$ là độ dài hai cạnh $A B, A C$ nên $x_1, x_2>0$
(1) có hai nghiệm dương $\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\Delta=(m+1)^2-4(m+3) \geq 0 \\ S=m+1>0 \\ P=m+3>0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m^2-2 m-11 \geq 0 \\ m>-1 \\ m>-3\end{array} \Leftrightarrow m \geq 1+2 \sqrt{3}\right.\right.$
Do $x_1, x_2$ là độ dài hai cạnh $A B, A C$ của tam giác $A B C$ vuông tại $\mathrm{A}$ và $B C=5$
$\Rightarrow x_1^2+x_2^2=25 \Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2 x_1 x_2-25=0$
$\Leftrightarrow(m+1)^2-2(m+3)=25 \Leftrightarrow m^2=30 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m=\sqrt{30}(t m) \\ m=-\sqrt{30}(k t m)\end{array}\right.$
Vậy $m=\sqrt{30}$

Hình đại diện của người dùng

admin

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *