File Word đề thi vào chuyên Toán Bà Rịa – Vũng Tàu – Năm học 2023 – 2024
File Word đề thi vào chuyên Toán Bà Rịa – Vũng Tàu – Năm học 2023 – 2024
Câu 1(3,0 điểm):
a) Rút gọn biểu thức $P=\left(\frac{x-3 \sqrt{x}}{x-2 \sqrt{x}-3}-\frac{2 x}{x-1}\right): \frac{1-\sqrt{x}}{x-2 \sqrt{x}+1}$; với $x \geq 0, x \neq 1, x \neq 9$.
b) Giải phương trình $x^2-x+6=2 \sqrt{x^3+8}$. L nyhu?
c) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}y^2-2 x^2-x y-y+2 x=0 \text { L n ghio } \\ \sqrt{x^2-y-1}+x+y=1 \\ 4+6\end{array}\right.$
Câu 2 (1,5 điểm):
(a) Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x ; y)$ thỏa mãn phương trình
$
x^3+x^2 y-2 x y+2 x-2 y^2+2 y+1=0 \text {. } 1 \text { yhi }
$
b) Cho 31 điểm bất kì bên trong hình vuông $A B C D$ có cạnh bằng 12 . Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn có bán kính bằng 1 nằm bên trong hình vuông $A B C D$ và không chứa điểm nào trong 31 điểm đã cho.
Câu 3 (2,0 điểm):
(a) Cho $a, b, c$ là các số thực thỏa mãn điều kiện $\frac{b-4 c}{a} \geq \frac{1}{4}$. Chứng minh rằng phương trình $a x^2+b x+c=0$ có ít nhất một nghiệm âm.
b) Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $a b c=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{a^2}{\sqrt{\left(1+8 a^3\right)\left(1+8 b^3\right)}}+\frac{b^2}{\sqrt{\left(1+8 b^3\right)\left(1+8 c^3\right)}}+\frac{c^2}{\sqrt{\left(1+8 c^3\right)\left(1+8 a^3\right)}}$.
Câu 4 (2,5 điểm):
Cho đường tròn $(O)$ bán kính $R$ và điểm $A$ nằm ngoài đường tròn sao cho $O A>2 R$. Từ $A$ vẽ hai tiếp tuyến $A B$ và $A C$ với đường tròn $(O)(B, C$ là các tiếp điểm). Vẽ dây cung $C D$ song song với $A B$. Đường thẳng $A D$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai là $E$ và cắt $B C$ ở $G$. Qua điểm $G$ vẽ đường thẳng vuông góc với $O G$, cắt hai đường thẳng $A B$ và $A C$ lần lượt ở $M$ và $N$.
(a) Chứng minh tam giác $O M N$ cân.
b) Gọi $I$ là trung điểm của $D E, O A$ cắt $B C$ ở $K$. Chứng minh $I E^2=I A \cdot I G$.
c) Tia $B E$ cắt $A C$ ở $H$. Chứng minh $C E$ đi qua trung điểm của $H G$.
Câu 5 (1,0 điểm):
Cho đường tròn tâm $O$, bán kính 1 . Ba điểm phân biệt $A, B, C$ thay đổi nằm trên $(O)$. Đường thẳng $A O, B O, C O$ lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $O B C, O C A, O A B$ tại $M, N, P$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=O M^2+O N^2+O P^2$.
