HĐT và ứng dụng phần 2 – Bài tập ứng dụng

\section{Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau.}
a) $\left(x^{2}-2 x+2\right)\left(x^{2}-2\right)\left(x^{2}+2 x+2\right)\left(x^{2}+2\right)$
b) $(x+1)^{2}-(x-1)^{2}+3 x^{2}-3 x(x+1)(x-1)$
c) $(2 x+1)^{2}+2\left(4 x^{2}-1\right)+(2 x-1)^{2}$
d) $(m+n)^{2}-(m-n)^{2}+(m-n)(m+n)$
e) $(3 x+1)^{2}-2(3 x+1)(3 x+5)+(3 x+5)^{2}$
f) $(a-b+c)^{2}-2(a-b+c)(c-b)+(b-c)^{2}$
g) $(2 x-5)\left(4 x^{2}+10 x+25\right)(2 x+5)\left(4 x^{2}-10 x+25\right)-64 x^{4}$
h) $(a+b)^{3}+(a-b)^{3}-2 a^{3}$
i) $(x+y+z)^{2}+(x-y)^{2}+(x-z)^{2}+(y-z)^{2}-3\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)$

\section{Lời giải}

– Định huớng tu duy. Rút gọn biêu thúc là cách gọi khác của thục hiện phép tính, do đó ta sủ dụng các hằng đẳng thức để khai triên các hạng tù rồi thu gọn biêu thúc.

\section{Lời giải}

a) $\left(x^{2}-2 x+2\right)\left(x^{2}-2\right)\left(x^{2}+2 x+2\right)\left(x^{2}+2\right)=\left[\left(x^{2}+2\right)^{2}-4 x^{2}\right]\left(x^{4}-4\right)$

$=\left(\mathrm{x}^{4}+4 \mathrm{x}^{2}+4-4 \mathrm{x}^{2}\right)\left(\mathrm{x}^{4}-4\right)=\left(\mathrm{x}^{4}+4\right)\left(\mathrm{x}^{4}-4\right)=\mathrm{x}^{8}-16$

b) $(x+1)^{2}-(x-1)^{2}+3 x^{2}-3 x(x+1)(x-1)=(x+1-x+1)(x+1+x-1)+3 x^{2}-3 x\left(x^{2}-1\right)$

$=4 x+3 x^{2}-3 x^{3}+3 x=-3 x^{3}+3 x^{2}+7 x$

c) $(2 x+1)^{2}+2\left(4 x^{2}-1\right)+(2 x-1)^{2}=4 x^{2}+4 x+1+8 x^{2}-2+4 x^{2}-4 x+1=16 x^{2}$ d) $(m+n)^{2}-(m-n)^{2}+(m-n)(m+n)$

$=(m+n-m+n)(m+n+m-n)+m^{2}-n^{2}=4 m n+m^{2}-n^{2}$

e) $(3 x+1)^{2}-2(3 x+1)(3 x+5)+(3 x+5)^{2}=(3 x+1-3 x-5)^{2}=16$

f) $(a-b+c)^{2}-2(a-b+c)(c-b)+(b-c)^{2}=(a-b+c+b-c)^{2}=a^{2}$

g) $(2 x-5)\left(4 x^{2}+10 x+25\right)(2 x+5)\left(4 x^{2}-10 x+25\right)-64 x^{4}$

$$
=\left(8 x^{3}-125\right)\left(8 x^{3}+125\right)=64 x^{6}-125^{2}
$$

h) $(a+b)^{3}+(a-b)^{3}-2 a^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3}+a^{3}-3 a^{2} b+3 a b^{2}-b^{3}-2 a^{3}=6 a b^{2}$

i) $(x+y+z)^{2}+(x-y)^{2}+(x-z)^{2}+(y-z)^{2}-3\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)$

$$
\begin{aligned}
=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 x y+ & 2 y z+2 z x+x^{2}-2 x y+y^{2}+x^{2}-2 z x+z^{2}+y^{2}-2 y z \\
& +z^{2}-3 x^{2}-3 y^{2}-3 z^{2}=0
\end{aligned}
$$

\section{Bài 3. Tìm $x$ biết.}
a) $(x-3)^{3}-(x-3)\left(x^{2}+3 x+9\right)+9(x+1)^{2}=15$
b) $4 x^{2}-81=0$
c) $x(x-5)(x+5)-(x-2)\left(x^{2}+2 x+4\right)=3$
d) $25 x^{2}-2=0$
e) $(x+2)^{2}=(2 x-1)^{2}$
f) $(x+2)^{2}-x+4=0$
g) $\left(x^{2}-2\right)^{2}+4(x-1)^{2}-4\left(x^{2}-2\right)(x-1)=0$

– Định huoóng tu duy. Bài toán tìm x là một dạng bài tập tìm giá trị của biến khi biêt giá trị của biêu thưc. Với các bài tập trên để tìm được $x$ trước hết ta cần sủ dụng các hằng đẳng thúc để khai triên các hạng tù rồi thu gọn biể thức rồi mới đi tìm gia trị của $x$ tù đẳng thúc đơn giản cuôi cùng.

\section{Lời giải}

a) $(x-3)^{3}-(x-3)\left(x^{2}+3 x+9\right)+9(x+1)^{2}=15$

$$
\Leftrightarrow x^{3}-9 x^{2}+27 x-27-x^{3}+27+9 x^{2}+18 x+9=15 \Leftrightarrow 45 x=6 \Leftrightarrow x=\frac{2}{15}
$$

b) $4 x^{2}-81=0 \Leftrightarrow x^{2}=\frac{81}{4} \Leftrightarrow x= \pm \frac{9}{2}$ c) $x(x-5)(x+5)-(x-2)\left(x^{2}+2 x+4\right)=3 \Leftrightarrow x^{3}-25 x-x^{3}+8=3 \Leftrightarrow 25 x=5 \Leftrightarrow x=\frac{1}{5}$

d) $25 x^{2}-2=0 \Leftrightarrow x^{2}=\frac{2}{25} \Leftrightarrow x= \pm \frac{\sqrt{2}}{5}$

e) $(x+2)^{2}=(2 x-1)^{2} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x+2=2 x-1 \\ x+2=-2 x+1\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=3 \\ x=-\frac{1}{3}\end{array}\right.\right.$

f) $(x+2)^{2}-x+4=0 \Leftrightarrow x^{2}+4 x+4-x+4=0 \Leftrightarrow x^{2}+3 x+8=0 \Leftrightarrow\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}+\frac{23}{4}=0$.

Do $\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}+\frac{23}{4}>0$ nên không có giá trị thỏa mãn $\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}+\frac{23}{4}=0$ hay không có giá trị thỏa mãn $(x+2)^{2}-x+4=0$.

g) $\left(x^{2}-2\right)^{2}+4(x-1)^{2}-4\left(x^{2}-2\right)(x-1)=0 \Leftrightarrow\left(x^{2}-2-2 x+2\right)^{2}=0$ $\Leftrightarrow \mathrm{x}^{2}(\mathrm{x}-2)^{2} \Leftrightarrow \mathrm{x}=0 ; \mathrm{x}=2$

Bài 4. Tính giá trị các biểu thức sau
a) $A=123(123+154)+77^{2}$
b) $B=\frac{135^{2}+130.135+65^{2}}{135^{2}-65^{2}}$
c) $\mathrm{D}=1^{2}-2^{2}+3^{2}-4^{2}+\ldots-2018^{2}+2019^{2}$
d) $\mathrm{D}=(2+1)\left(2^{2}+1\right)\left(2^{4}+1\right)\left(2^{8}+1\right)\left(2^{16}+1\right)\left(2^{32}+1\right)-2^{64}$

– Định hướng tu duy. Quan sát các biêu thúc ta thấy có bóng dáng của các hằng đẳngthức đáng nhớ. Do đó ta sử sủ dụng các hẳng đẳng thức đáng nhớ để biên đổi các biêu thưc.

\section{Lời giải}

a) Ta có $A=123(123+154)+77^{2}=123^{2}+2 \cdot 123.77+77^{2}=(123+77)^{2}=200^{2}=40000$

b) Ta có

$$
\begin{aligned}
B & =\frac{135^{2}+130 \cdot 135+65^{2}}{135^{2}-65^{2}}=\frac{135^{2}+2 \cdot 135 \cdot 65+65^{2}}{135^{2}-65^{2}} \\
& =\frac{(135+65)^{2}}{(135-65)(135+65)}=\frac{135+65}{136-65}=\frac{200}{70}=\frac{20}{7}
\end{aligned}
$$

c) Ta có

$$
\begin{aligned}
\mathrm{A} & =1^{2}-2^{2}+3^{2}-4^{2}+\ldots-2018^{2}+2019^{2} \\
& =1+\left(3^{2}-2^{2}\right)+\left(5^{2}-4^{2}\right)+\ldots+\left(2019^{2}-2018^{2}\right) \\
& =1+(3+2)(3-2)+(5+4)(5-4)+\ldots+(2019+2018)(2019-2018) \\
& =1+2+3+4+5+\ldots+2019+2019=\frac{(1+2019) \cdot 2019}{2}=1010 \cdot 2019
\end{aligned}
$$

b) Ta có

$$
\begin{aligned}
B & =(2+1)\left(2^{2}+1\right)\left(2^{4}+1\right)\left(2^{8}+1\right)\left(2^{16}+1\right)\left(2^{32}+1\right)-2^{64} \\
& =\left(2^{2}-1\right)\left(2^{2}+1\right)\left(2^{4}+1\right)\left(2^{8}+1\right)\left(2^{16}+1\right)\left(2^{32}+1\right)-2^{64} \\
& =\left(2^{4}-1\right)\left(2^{4}+1\right)\left(2^{8}+1\right)\left(2^{16}+1\right)\left(2^{32}+1\right)-2^{64} \\
& =\ldots=\left(2^{32}-1\right)\left(2^{32}+1\right)-2^{64}=2^{64}-1-2^{64}=-1
\end{aligned}
$$

Bài 5.

a) Cho $x-y=7$. Tính giá trị biểu thức: $A=x(x+2)+y(y-2)-2 x y$

$$
B=x^{3}-3 x y(x-y)-y^{3}-x^{2}+2 x y-y^{2}
$$

b) Cho $x+2 y=5$. Tính giá trị biểu thức: $C=x^{2}+4 y^{2}-2 x+10+4 x y-4 y$.

– Định hưóng tư duy. Quan sát giả thiêt của bài toán ta thấy có hai hương

+ Hướng 1. Biên đổi biêu thúc làm xuât hiện các hạng tụ có dạng $\mathrm{x}-\mathrm{y}$ và $\mathrm{x}+2 \mathrm{y}$.

+Hương 2. Thay $\mathrm{x}=\mathrm{y}+7$ và $\mathrm{x}=5-2 \mathrm{y}$ tưong úng vào các biêu thúc rồi thu gọn biêu thúc.

Cả hai hương trên ta đêu cần sủ dụng biên đổi để đưa về các hằng đẳng thúc đáng nhớ hoặc khai triể các hằng đẳng thúc đáng nhus.

\section{Lời giải}

a) $A=x(x+2)+y(y-2)-2 x y=x^{2}+2 x+y^{2}-2 y-2 x y=(x-y)^{2}+2(x-y)$

Thay $x-y=7$ vào biểu thức $A$ ta được $A=7^{2}+2.7=63$

$$
B=x^{3}-3 x y(x-y)-y^{3}-x^{2}+2 x y-y^{2}=(x-y)^{3}-(x-y)^{2}
$$

Thay $x-y=7$ vào biểu thức ta được $B=7^{3}-7^{2}=294$

b) $C=x^{2}+4 y^{2}-2 x+10+4 x y-4 y=(x+2 y)^{2}-2(x+2 y)$

Thay $x+2 y=5$ vào biểu thức $C$ ta được $C=5^{2}-2 \cdot 5=15$.

\section{Bài 6. Chứng minh đẳng thức:}
a) $\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)=(a c+b d)^{2}+(a d-b c)^{2}$
b) $(a+b+c)^{2}+a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a+b)^{2}+(b+c)^{2}+(c+a)^{2}$

– Định huớng tu duy. Quan sát các đẳng thức cần chưng minh ta thấy có hai hướng + Hướng 1. Khai triên vế trái của đẳng thưc rồi sủ dụng hằng đẳng thúc để biên đổi biêu thúc về vếphải.

+ Hướng 2. Sủ dụng hằng đẳng thưc biến đổi đông thời cả hai vế rồi so sánh kêt quả.

\section{Lời giải}
a) $\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)=(a c+b d)^{2}+(a d-b c)^{2}$

\section{Lời giải 1.}

$$
\begin{aligned}
& V T=\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)=a^{2} c^{2}+a^{2} d^{2}+b^{2} c^{2}+b^{2} d^{2} \\
= & \left(a^{2} c^{2}+b^{2} d^{2}+2 a b c d\right)+\left(a^{2} d^{2}+b^{2} c^{2}-2 a b c d\right)=(a c+b d)^{2}+(a d-b c)^{2}=V P
\end{aligned}
$$

Lời giải 2. Ta có $\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)=a^{2} c^{2}+a^{2} d^{2}+b^{2} c^{2}+b^{2} d^{2}$. Lại có

$$
\begin{aligned}
(a c+b d)^{2}+(a d-b c)^{2} & =\left(a^{2} c^{2}+b^{2} d^{2}+2 a b c d\right)+\left(a^{2} d^{2}+b^{2} c^{2}-2 a b c d\right) \\
& =a^{2} c^{2}+a^{2} d^{2}+b^{2} c^{2}+b^{2} d^{2}
\end{aligned}
$$

Do đó ta được $\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)=(a c+b d)^{2}+(a d-b c)^{2}$

b) $(a+b+c)^{2}+a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a+b)^{2}+(b+c)^{2}+(c+a)^{2}$

Ta có

$$
\begin{aligned}
& (a+b+c)^{2}+a^{2}+b^{2}+c^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2 a b+2 b c+2 a c+a^{2}+b^{2}+c^{2} \\
= & \left(a^{2}+b^{2}+2 a b\right)+\left(b^{2}+c^{2}+2 b c\right)+\left(a^{2}+c^{2}+2 a c\right)=(a+b)^{2}+(b+c)^{2}+(c+a)^{2}
\end{aligned}
$$

Xem tiếp: HĐT và ứng dụng phần 3