HĐT và ứng dụng phần 3 – Dạng toán chứng minh

HĐT và ứng dụng phần 3 – Dạng toán chứng minh

Bài 7. Chứng minh rằng nếu $(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c})^{2}=3(\mathrm{ab}+\mathrm{bc}+\mathrm{ca})$ thì $\mathrm{a}=\mathrm{b}=\mathrm{c}$

– Định huớng tu duy. Quan sát giả thiêt ta thấy có hằng đẳng thúc đáng nhớ. Do đó ta sủ sủ dụng các hẳng đẳng thức đáng nhớ để biến đổi giả thiêt của bài toán. Ngoài ra để ý rằng tông các bình phwoong bằng 0 thì các bình phuoong đó bằng 0 nên ta biên đôi giả thiêt của bài toán về tổng các bình phưong bằng 0.

\section{Lời giải}

Biến đổi tương đương đẳng thức đã cho ta được

$$
\begin{aligned}
& (a+b+c)^{2}=3(a b+b c+c a) \Leftrightarrow a^{2}+2 a b+b^{2}+2 b c+2 a c+c^{2}=3 a b+3 b c+3 a c \\
\Leftrightarrow & a^{2}+b^{2}+c^{2}-a b-b c-a c=0 \Leftrightarrow 2 a^{2}+2 b^{2}+2 c^{2}-2 a b-2 b c-2 a c=0 \\
\Leftrightarrow & (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}=0 \Leftrightarrow a-b=b-c=c-a=0 \Leftrightarrow a=b=c
\end{aligned}
$$

Bài 8. Cho $a, b, c$, $d$ là các số thực khác 0 thỏa mãn $a+b=c+d$ và $a^{2}+b^{2}=c^{2}+d^{2}$. Chứng minh rằng:

$$
\mathrm{a}^{2018}+\mathrm{b}^{2018}=\mathrm{c}^{2018}+\mathrm{d}^{2018}
$$

– Định huoóng tu duy. Quan sát giả thiêt của bài toán và đẳng thức cần chứng minh ta dụ đoán rằng $\mathrm{a}=\mathrm{c} ; \mathrm{b}=\mathrm{d}$ hoặc $\mathrm{a}=\mathrm{d} ; \mathrm{b}=\mathrm{c}$. Như vậy ta đi chứng minh $\mathrm{a}=\mathrm{c}$ hoặc $\mathrm{a}=\mathrm{d}$, điêu này đông nghĩa với $(\mathrm{a}-\mathrm{c})(\mathrm{a}-\mathrm{d})=0$.

\section{Lời giải}

Từ $\mathrm{a}+\mathrm{b}=\mathrm{c}+\mathrm{d}$ ta được $(\mathrm{a}+\mathrm{b})^{2}=(\mathrm{c}+\mathrm{d})^{2} \Leftrightarrow \mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}+2 \mathrm{ab}=\mathrm{c}^{2}+\mathrm{d}^{2}+2 \mathrm{~cd}$.

Kết hợp với $\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}=\mathrm{c}^{2}+\mathrm{d}^{2}$ ta được $\mathrm{ab}=\mathrm{cd}$.

Cũng từ $a+b=c+d$ ta được $b=c+d-a$, thay vào $a b=c d$ ta được

$$
\mathrm{a}(\mathrm{c}+\mathrm{d}-\mathrm{a})=\mathrm{cd} \Leftrightarrow \mathrm{ac}+\mathrm{ad}-\mathrm{a}^{2}=\mathrm{cd} \Leftrightarrow \mathrm{a}^{2}-\mathrm{ac}-\mathrm{ad}+\mathrm{cd}=0 \Leftrightarrow(\mathrm{a}-\mathrm{c})(\mathrm{a}-\mathrm{d})=0
$$

+ Nếu $\mathrm{a}-\mathrm{c}=0$ ta được $\mathrm{a}=\mathrm{c}$, suy ra $\mathrm{b}=\mathrm{d}$. Khi đó ta được $\mathrm{a}^{2018}+\mathrm{b}^{2018}=\mathrm{c}^{2018}+\mathrm{d}^{2018}$ + Nếu $\mathrm{a}-\mathrm{d}=0$ ta được $\mathrm{a}=\mathrm{d}$, suy ra $\mathrm{b}=\mathrm{c}$. Khi đó ta được $\mathrm{a}^{2018}+\mathrm{b}^{2018}=\mathrm{c}^{2018}+\mathrm{d}^{2018}$ Vậy bài toán được chứng minh hoàn tất.

Bài 9. Cho $a, b, c, d$ là các số thực khác 0 thỏa mãn các điều kiện $a+b=c+d$ và $\mathrm{a}^{3}+\mathrm{b}^{3}=\mathrm{c}^{3}+\mathrm{d}^{3}$. Chứng minh rằng $\mathrm{a}^{2019}+\mathrm{b}^{2019}=\mathrm{c}^{2019}+\mathrm{d}^{2019}$

\section{Lời giải}

Từ $a^{3}+b^{3}=c^{3}+d^{3}$ ta được $(a+b)\left(a^{2}-a b+b^{2}\right)=(c+d)\left(c^{2}-c d+d^{2}\right)$. Ta xét hai trường hợp sau:

– Trường hợp 1. Khi $\mathrm{a}+\mathrm{b}=\mathrm{c}+\mathrm{d}=0$ ta suy ra được $\mathrm{a}=-\mathrm{b}$ và $\mathrm{c}=-\mathrm{d}$.

Khi đó dê̂ thấy $\mathrm{a}^{2019}+\mathrm{b}^{2019}=\mathrm{c}^{2019}+\mathrm{d}^{2019}=0$.

– Trường hợp 2. Khi $\mathrm{a}+\mathrm{b}=\mathrm{c}+\mathrm{d} \neq 0$. Khi đó ta được $\mathrm{a}^{2}-\mathrm{ab}+\mathrm{b}^{2}=\mathrm{c}^{2}-\mathrm{cd}+\mathrm{d}^{2}$.

Từ $\mathrm{a}+\mathrm{b}=\mathrm{c}+\mathrm{d}$ ta được $(\mathrm{a}+\mathrm{b})^{2}=(\mathrm{c}+\mathrm{d})^{2} \Leftrightarrow \mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}+2 \mathrm{ab}=\mathrm{c}^{2}+\mathrm{d}^{2}+2 \mathrm{~cd}$. Kết hợp với $\mathrm{a}^{2}-\mathrm{ab}+\mathrm{b}^{2}=\mathrm{c}^{2}-\mathrm{cd}+\mathrm{d}^{2}$ ta được $\mathrm{ab}=\mathrm{cd}$.

Cũng từ $\mathrm{a}+\mathrm{b}=\mathrm{c}+\mathrm{d}$ ta được $\mathrm{b}=\mathrm{c}+\mathrm{d}-\mathrm{a}$, thay vào $\mathrm{ab}=\mathrm{cd}$ ta được

$$
\mathrm{a}(\mathrm{c}+\mathrm{d}-\mathrm{a})=\mathrm{cd} \Leftrightarrow \mathrm{ac}+\mathrm{ad}-\mathrm{a}^{2}=\mathrm{cd} \Leftrightarrow \mathrm{a}^{2}-\mathrm{ac}-\mathrm{ad}+\mathrm{cd}=0 \Leftrightarrow(\mathrm{a}-\mathrm{c})(\mathrm{a}-\mathrm{d})=0
$$

+ Nếu $\mathrm{a}-\mathrm{c}=0$ ta được $\mathrm{a}=\mathrm{c}$, suy ra $\mathrm{b}=\mathrm{d}$. Khi đó ta được $\mathrm{a}^{2019}+\mathrm{b}^{2019}=\mathrm{c}^{2019}+\mathrm{d}^{2019}$ + Nếu $\mathrm{a}-\mathrm{d}=0$ ta được $\mathrm{a}=\mathrm{d}$, suy ra $\mathrm{b}=\mathrm{c}$. Khi đó ta được $\mathrm{a}^{2019}+\mathrm{b}^{2019}=\mathrm{c}^{2019}+\mathrm{d}^{2019}$ Vậy bài toán được chứng minh hoàn tất.

Bài 10. Cho $a, b$, c là các số thực thỏa mãn $(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}=6 a b c$. Chứng minh rằng:

$$
a^{3}+b^{3}+c^{3}=3 a b c(a+b+c+1)
$$

– Định huớng tư duy. Quan sát bài toán ta thấy cả giả thiêt và đẳng thúc cần chứng minh đêu phúc tạp. Trong giả thiêt và đẳng thưc cần chưng minh đêu có các hẳng đẳng thức đáng nhớ. Đểý rằng $(\mathrm{a}-\mathrm{b})^{2}+(\mathrm{b}-\mathrm{c})^{2}+(\mathrm{c}-\mathrm{a})^{2}=2\left(\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}+\mathrm{c}^{2}-\mathrm{ab}-\mathrm{bc}-\mathrm{ca}\right)$. Như vậy ta cần biên đổi đẳng thức cần chưng minh làm xuất hiện đại lượng nhu trên.

\section{Lời giải}

Biến đổi biểu thức và kết hợp với $(\mathrm{a}-\mathrm{b})^{2}+(\mathrm{b}-\mathrm{c})^{2}+(\mathrm{c}-\mathrm{a})^{2}=6 \mathrm{abc}$ ta được

$$
\begin{aligned}
& a^{3}+b^{3}+c^{3}-3 a b c=a^{3}+b^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+c^{3}-3 a^{2} b-3 a b^{2}-3 a b c \\
= & (a+b)^{3}+c^{3}-3 a b(a+b+c)=(a+b+c)\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}-a b-b c-c a\right) \\
= & \frac{1}{2}(a+b+c)\left[(a-b)^{2}+(a-c)^{2}+(c-a)^{2}\right] =\frac{1}{2}(a+b+c) \cdot 6 a b c=3 a b c(a+b+c)
\end{aligned}
$$

Như vậy ta được $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3 a b c=3 a b c(a+b+c)$ hay

$$
\mathrm{a}^{3}+\mathrm{b}^{3}+\mathrm{c}^{3}=3 \mathrm{abc}(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}+1)
$$

Bài 11. Cho $a, b$ là hai số thực lần lượt thỏa mãn các hệ thức $a^{3}-3 a^{2}+5 a-17=0$ và $b^{3}-3 b^{2}+5 b+11=0$. Chứng minh rằng $a+b=2$.

– Định huóng tu duy. Giả thiêt bài toán cho hai biêu thúc bậc 3 của hai biên a và b. Quan sát hai biêu thức đó ta thấy có các hạng tư của một hẳng đẳng thức bậc 3. Nhu vậy để chứng minh được $\mathrm{a}+\mathrm{b}=2$ ta cần chứng minh được $\mathrm{a}^{3}=(2-\mathrm{b})^{3}$. Tù đó ta có các lời giải nhus sau.

\section{Lời giải}

+ Lời giải 1. Từ $b^{3}-3 b^{2}+5 b+11=0$ ta được

$$
\begin{aligned}
& b^{3}-3 b^{2}+5 b+11=0 \Leftrightarrow\left(b^{3}-6 b^{2}+12 b-8\right)+3\left(b^{2}-4 b+4\right)+5(b-2)+17=0 \\
\Leftrightarrow & (b-2)^{3}+3(b-2)^{2}+5(b-2)+17=0 \Leftrightarrow-(2-b)^{2}+3(b-2)^{2}-5(2-b)+17=0 \\
\Leftrightarrow & -\left[(2-b)^{2}-3(b-2)^{2}+5(2-b)-17\right] =0 \Leftrightarrow(2-b)^{2}-3(b-2)^{2}+5(2-b)-17=0
\end{aligned}
$$

Từ đó kết hợp với $\mathrm{a}^{3}-3 \mathrm{a}^{2}+5 \mathrm{a}-17=0$ ta suy ra được

$$
a^{3}-3 a^{2}+5 a-17=(2-b)^{2}-3(b-2)^{2}+5(2-b)-17=0
$$

Do vậy ta có $\mathrm{a}=2-\mathrm{b}$ hay $\mathrm{a}+\mathrm{b}=2$

+ Lời giải 2. Xét $a=2-b$ thay vào vế trái của $a^{3}-3 a^{2}+5 a-17=0$, ta có

$$
\begin{aligned}
& a^{3}-3 a^{2}+5 a-17=(2-b)^{3}-3(2-b)^{2}+5(2-b)-17 \\
= & 8-12 b+6 b^{2}-b^{3}-12+12 b-3 b^{2}+10-5 b-17 \\
= & -b^{3}+3 b^{2}-5 b-11=-\left(b^{3}-3 b^{2}+5 b+11\right)=0
\end{aligned}
$$

Điều này dẫn đến $a=2-b$ thỏa mãn $a^{3}-3 a^{2}+5 a-17=0$. Từ đó suy ra $a+b=2$.

– Lời giải 3. Ta có $\mathrm{a}^{3}-3 \mathrm{a}^{2}+5 \mathrm{a}-17=\mathrm{a}^{3}-3 \mathrm{a}^{2}+3 \mathrm{a}-1+2 \mathrm{a}-16=(\mathrm{a}-1)^{3}+2(\mathrm{a}-1)-14$.

Đặt $x=a-1$, khi đó kết hợp với giả thiết ta được $x^{3}+2 x-14=0$

Ta cũng có $b^{3}-3 b^{2}+5 b+11=b^{3}-3 b^{2}+3 b-1+2 b+12=(b-1)^{3}+2(b-1)+14$

Đặt $\mathrm{y}=\mathrm{b}-1$, khi đó kết hợp với giả thiết ta được $\mathrm{y}^{3}+2 \mathrm{y}+14=0$. Kết hợp hai kết quả ta được

$$
x^{3}+2 x-14+y^{3}+2 y+14=0 \Leftrightarrow x^{3}+y^{3}+2(x+y)=0 \Leftrightarrow(x+y)\left(x^{2}-x y+y^{2}+2\right)=0
$$

Dễ thấy $x^{2}-x y+y^{2}+2=x^{2}-x y+\frac{y^{2}}{4}+\frac{3 y^{2}}{4}+2=\left(x+\frac{y}{2}\right)^{2}+\frac{3 y^{2}}{4}+2>0$.

Do đó ta được $x+y=0$ hay $a-1+b-1=0$ nên $a+b=2$.

– Lời giải 4. Cộng theo vế các hệ thức đã cho ta được

$$
\begin{aligned}
& a^{3}-3 a^{2}+5 a-17+b^{3}-3 b^{2}+5 b+11=0 \\
\Leftrightarrow & (a+b)^{3}-3 a b(a+b)-3(a+b)^{2}+6 a b+5(a+b)-6=0 \\
\Leftrightarrow & {\left[(a+b)^{3}-2(a+b)^{2}\right] -\left[(a+b)^{2}-2(a+b)\right] -3 a b(a+b-2)+3(a+b-2)=0 } \\
\Leftrightarrow & (a+b)^{2}(a+b-2)-(a+b)(a+b-2)-3 a b(a+b-2)+3(a+b-2)=0 \\
\Leftrightarrow & (a+b-2)\left[(a+b)^{2}-(a+b)-3 a b+3\right] =0
\end{aligned}
$$

Để ý rằng $(\mathrm{a}+\mathrm{b})^{2}-(\mathrm{a}+\mathrm{b})-3 \mathrm{ab}+3=\frac{1}{2}(\mathrm{a}-\mathrm{b})^{2}+\frac{1}{2}(\mathrm{a}-1)^{2}+\frac{1}{2}(\mathrm{~b}-1)^{2}+2>0$.

Do đó từ đẳng thức trên ta được $\mathrm{a}+\mathrm{b}-2=0$ hay $\mathrm{a}+\mathrm{b}=2$.

Bài 12. Với $a, b$, c là các số thực thỏa mãn:

$$
(3 a+3 b+3 c)^{3}=24+(3 a+b-c)^{3}+(3 b+c-a)^{3}+(3 c+a-b)^{3}
$$

Chứng minh rằng $(\mathrm{a}+2 \mathrm{~b})(\mathrm{b}+2 \mathrm{c})(\mathrm{c}+2 \mathrm{a})=1$

– Định huớng tư duy. Giả thiêt bài toán cho ta các hẳng đẳng thúc bậc ba nên ta hoàn toàn có thể khai triên giả thiêt và biến đổi về hệ thức cần chưng minh. Tuy nhiên đểy ta nhận thấy có thể đổi biến $3 \mathrm{a}+\mathrm{b}-\mathrm{c}=\mathrm{x} ; 3 \mathrm{~b}+\mathrm{c}-\mathrm{a}=\mathrm{y} ; 3 \mathrm{c}+\mathrm{a}-\mathrm{b}=\mathrm{z}$ rồi mới khai triên hẳng đẳng thức thì phép khai triể sẽ bớt đi sụp phúc tạp.

\section{Lời giải}

Trước hết ta chứng minh $\mathrm{x}^{3}+\mathrm{y}^{3}+\mathrm{z}^{3}=(\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z})^{3}-3(\mathrm{x}+\mathrm{y})(\mathrm{y}+\mathrm{z})(\mathrm{z}+\mathrm{x})$.

Thật vậy, khai triển hẳng đăng thức bậc ba ta có

$$
\begin{aligned}
& (x+y+z)^{3}=(x+y)^{3}+3(x+y)^{2} z+3(x+y) z+z^{3} \\
= & x^{3}+y^{3}+3 x y(x+y)+3(x+y)^{2} z+3(x+y) z^{2}+z^{3} \\
= & x^{3}+y^{3}+z^{3}+3(x+y)\left(x y+x z+y z+z^{2}\right) \\
= & x^{3}+y^{3}+z^{3}+3(x+y)(y+z)(z+x)
\end{aligned}
$$

Do vậy ta được $x^{3}+y^{3}+z^{3}=(x+y+z)^{3}-3(x+y)(y+z)(z+x)$.

Đặt $3 a+b-c=x ; 3 b+c-a=y ; 3 c+a-b=z$. Ta có

$$
\begin{aligned}
& (3 a+3 b+3 c)^{3}=24+(3 a+b-c)^{3}+(3 b+c-a)^{3}+(3 c+a-b)^{3} \\
\Leftrightarrow & (x+y+z)^{3}=24+x^{3}+y^{3}+z^{3} \\
\Leftrightarrow & (x+y+z)^{3}=24+(x+y+z)^{3}-3(x+y)(y+z)(z+x) \\
\Leftrightarrow & 24-3(x+y)(y+z)(z+x)=0 \Leftrightarrow 24-3(2 a+4 b)(2 b+4 c)(2 c+4 a)=0 \\
\Leftrightarrow & 24-24(a+2 b)(b+2 c)(c+2 a)=0 \Leftrightarrow(a+2 b)(b+2 c)(c+2 a)=1
\end{aligned}
$$

Vậy ta có điêu cân chứng minh.

Bài 13. Các số thực $a, b, c$ thỏa mãn đồng thời các đẳng thức sau:
i. $(a+b)(b+c)(c+a)=a b c$
ii. $\left(a^{3}+b^{3}\right)\left(b^{3}+c^{3}\right)\left(c^{3}+a^{3}\right)=a^{3} b^{3} c^{3}$

Chứng minh rằng $\mathrm{abc}=0$.

– Định hương tư duy. Biên đổi giả thiêt thú hai của bài toán ta thu được

$$
a b c\left(a^{2}-a b+b^{2}\right)\left(b^{2}-b c+c^{2}\right)\left(c^{2}-c a+a^{2}\right)=a^{3} b^{3} c^{3}
$$

Do đó ta thu được $\mathrm{abc}=0$ hoặc $\left(\mathrm{a}^{2}-\mathrm{ab}+\mathrm{b}^{2}\right)\left(\mathrm{b}^{2}-\mathrm{bc}+\mathrm{c}^{2}\right)\left(\mathrm{c}^{2}-\mathrm{ca}+\mathrm{a}^{2}\right)=\mathrm{a}^{2} \mathrm{~b}^{2} \mathrm{c}^{2}$. Nếu $\mathrm{abc}=0$ thì xem nhu bài toán được chứng minh. Nếu $\mathrm{abc} \neq 0$ thì đẳng thúc thú hai phải xẩy ra. Chú ý rằng nếu đẳng thúc thú hai xẩy ra thì ta có $\mathrm{a}=\mathrm{b}=\mathrm{c}$. Kêt hợp với giả thiêt của bài toán thì ta được $\mathrm{a}=\mathrm{b}=\mathrm{c}=0$, điêu này mâu thuẫn với $\mathrm{abc} \neq 0$. Do đó đẳng thúc thứ hai không thể xây ra, túc là ta có điêu cần chưng minh.

\section{Lời giải}

Từ hệ thức $\left(a^{3}+b^{3}\right)\left(b^{3}+c^{3}\right)\left(c^{3}+a^{3}\right)=a^{3} b^{3} c^{3}$ ta được

$$
(a+b)(b+c)(c+a)\left(a^{2}-a b+b^{2}\right)\left(b^{2}-b c+c^{2}\right)\left(c^{2}-c a+a^{2}\right)=a^{3} b^{3} c^{3}
$$

Kết hợp với hệ thức $(\mathrm{a}+\mathrm{b})(\mathrm{b}+\mathrm{c})(\mathrm{c}+\mathrm{a})=\mathrm{abc}$ ta được

$$
\begin{aligned}
& a b c\left(a^{2}-a b+b^{2}\right)\left(b^{2}-b c+c^{2}\right)\left(c^{2}-c a+a^{2}\right)=a^{3} b^{3} c^{3} \\
\Leftrightarrow & {\left[\begin{array}{l}
a b c=0 \\
\left(a^{2}-a b+b^{2}\right)\left(b^{2}-b c+c^{2}\right)\left(c^{2}-c a+a^{2}\right)=a^{2} b^{2} c^{2}
\end{array}\right.}
\end{aligned}
$$

Nếu $a b c \neq 0$ khi đó ta được $\left(a^{2}-a b+b^{2}\right)\left(b^{2}-b c+c^{2}\right)\left(c^{2}-c a+a^{2}\right)=a^{2} b^{2} c^{2}$

Dễ thấy $a^{2}-a b+b^{2} \geq|a b| ; b^{2}-b c+c^{2} \geq|b c| ; c^{2}-c a+a^{2} \geq|c a|$ Do đó ta được $\left(a^{2}-a b+b^{2}\right)\left(b^{2}-b c+c^{2}\right)\left(c^{2}-c a+a^{2}\right) \geq a^{2} b^{2} c^{2}$. Kết hợp với hệ thức trên ta được $a=b=c$, thay vào hệ thức thứ hai ta được $8 a^{3}=a^{3} \Leftrightarrow a=0 \Rightarrow a b c=0$, Điều này mâu thuẫn với $\mathrm{abc} \neq 0$.

Vậy $\mathrm{abc}=0$.

Xem tiếp: HĐT và ứng dụng phần 4