HĐT và ứng dụng phần 6 – Liên quan đến số nguyên tố

Bài 43. Cho $\mathrm{p}$ là số nguyên tố lớn hơn 3 và $\mathrm{n}$ là số tự nhiên khác 0 . Chứng minh rằng $\mathrm{p}^{\mathrm{n}}$ không thể là tổng của hai lập phương của hai số nguyên dương khác nhau.

\section{Lời giải}

Giả sử n là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho $\mathrm{p}^{\mathrm{n}}$ là tổng của hai lập phương của hai số nguyên dương khác nhau. Tức là ta có $\mathrm{p}^{\mathrm{n}}=\mathrm{a}^{3}+\mathrm{b}^{3}$ với $\mathrm{a}, \mathrm{b} \in \mathrm{Z}^{+}$. Khi đó ta được $p^{n}=(a+b)\left(a^{2}-a b+b^{2}\right)$.

Do $\mathrm{p}$ là số nguyên tố nên từ $\mathrm{p}^{\mathrm{n}}=(\mathrm{a}+\mathrm{b})\left(\mathrm{a}^{2}-\mathrm{ab}+\mathrm{b}^{2}\right)$ ta được $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}+\mathrm{b}=\mathrm{p}^{\mathrm{k}} \\ \mathrm{a}^{2}-\mathrm{ab}+\mathrm{b}^{2}=\mathrm{p}^{\mathrm{n}-\mathrm{k}}\end{array}\right.$.

Dễ thấy $a+b>2$ nên $k>0$. Lại thấy $a^{2}-a b+b^{2} \geq a b>1$, do đó ta được $n-k>0$ hay $\mathrm{n}>\mathrm{k}$. Lại có $3 \mathrm{ab}=(\mathrm{a}+\mathrm{b})^{2}-\left(\mathrm{a}^{2}-\mathrm{ab}+\mathrm{b}^{2}\right)=\mathrm{p}^{2 \mathrm{k}}-\mathrm{p}^{\mathrm{n}-\mathrm{k}}$, do đó ta được 3ab chia hết cho p. Do p là số nguyên tố nên a chia hết cho p hoặc b chia hết cho p. Mà ta lại có $\mathrm{a}+\mathrm{b}=\mathrm{p}^{\mathrm{k}}$ nên ta được $\mathrm{a}$ và $\mathrm{b}$ cùng chia hết cho $\mathrm{p}$. Đặt $\mathrm{a}=\mathrm{a}_{1} \mathrm{p} ; \mathrm{b}=\mathrm{b}_{1} \mathrm{p}$ với $\mathrm{a}_{1} ; \mathrm{b}_{1} \in \mathrm{N}^{*}$, khi đó từ $\mathrm{p}^{\mathrm{n}}=\mathrm{a}^{3}+\mathrm{b}^{3}$ ta được $\mathrm{p}^{\mathrm{n}-3}=\mathrm{a}_{1}^{3}+\mathrm{b}_{1}^{3}$, điều này trái với giải sử $\mathrm{n}$ là số tự nhiên bé nhất thỏa mãn yêu câu bài toán.

Vậy không thỏa mãn số tự nhiên $\mathrm{n}$ thỏa mãn yêu câu bài toán.

\section{MỘT SỐ BÀI TẬP TỤ LUYỆN}

Bài 1. Tính giá trị các biểu thức sau
a) $\mathrm{A}=3^{24}-\left(27^{4}+1\right)\left(9^{6}-1\right)$
b) $B=85^{2}+75^{2}+65^{2}+55^{2}-45^{2}-35^{2}-25^{2}-15^{2}$

Bài 2. So sánh các số sau.
a) $\mathrm{A}=2018.2020+2019.2021$ và $\mathrm{B}=2019^{2}+2020^{2}-2$
b) $A=10 \cdot\left(9^{2}+1\right)\left(9^{4}+1\right)\left(9^{8}+1\right)\left(9^{16}+1\right)\left(9^{32}+1\right)$ và $B=9^{64}-1$
c) $A=\frac{x-y}{x+y}$ và $B=\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+x y+y^{2}}$ với $x>y>0$
d) $A=\frac{(x+y)^{3}}{x^{2}-y^{2}}$ và $B=\frac{x^{2}-x y+y^{2}}{x-y}$ với $x>y>0$.

Bài 3. Cho $a+b+c+d=0$. Chứng minh rằng $a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3}=3(a b-c d)(c+d)$

Bài 4. Cho $\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=4 \mathrm{~m}$. Chứng minh rằng:

$$
\left(\frac{a+b-c}{2}\right)^{2}+\left(\frac{b+c-a}{2}\right)^{2}+\left(\frac{c+a-b}{2}\right)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-4 m^{2}
$$

Bài 5. Cho $x$, $y$ là các số thực thỏa mãn $x^{4}+x^{2} y^{2}+y^{4}=4$ và $x^{8}+x^{4} y^{4}+y^{8}=8$.

Tính giá trị của biêu thức $\mathrm{A}=\mathrm{x}^{12}+\mathrm{x}^{2} \mathrm{y}^{2}+\mathrm{y}^{12}$.

Bài 6. Cho $x$, y là các số thực tỏa mãn $x+y=1$. Tính giá trị các biểu thức sau:
a) $A=3 x^{2}-2 x+3 y^{2}-2 y+6 x y-100$
b) $B=x^{3}+y^{3}-2 x^{2}-2 y^{2}+3 x y(x+y)-4 x y+3(x+y)+10$
c) $C=x^{3}+y^{3}+3 x y\left(x^{2}+y^{2}\right)+6 x^{2} y^{2}(x+y)$

Bài 7. Cho $a^{2}+b^{2}+c^{2}=m$. Tính giá trị của biêu thức sau theo $m$.

$$
A=(2 a+2 b-c)^{2}+(2 b+2 c-a)^{2}+(2 c+2 a-b)^{2}
$$

Bài 8. Đơn giản biêu thức sau: $A=(x+y+z)^{3}-(x+y-z)^{3}-(y+z-x)^{3}-(z+x-y)^{3}$.

Bài 9. Cho $x+y=a ; x y=b\left(a^{2} \geq 4 b\right)$. Tính giá trị của các biểu thức sau :
a) $x^{2}+y^{2}$
b) $\mathrm{x}^{3}+\mathrm{y}^{3}$
c) $x^{4}+y^{4}$
d) $x^{5}+y^{5}$

Bài 10. Chứng minh các hằng đẳng thức :
a) $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3 a b c=(a+b+c)\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}-a b-b c-c a\right)$
b) $(a+b+c)^{3}-a^{3}-b^{3}-c^{3}=3(a+b)(b+c)(c+a)$

Bài 11. Cho $x+y+z=0$. Chứng minh rằng $2\left(x^{5}+y^{5}+z^{5}\right)=5 x y z\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)$

Bài 12. Cho $x+y+z=0$ và $x y+y z+z x=0$. Tính giá trị của biểu thức:

$$
\mathrm{B}=(\mathrm{x}-1)^{2018}+\mathrm{y}^{2019}+(\mathrm{z}+1)^{2020}
$$

Bài 13. Cho $a^{2}-b^{2}=4 c^{2}$. Chứng minh rằng $(5 a-3 b+8 c)(5 a-3 b-8 c)=(3 a-5 b)^{2}$.

Bài 14. Cho các biểu thức sau

$$
\begin{aligned}
& A=(x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2} \\
& B=(x+y-2 z)^{2}+(y+z-2 x)^{2}+(z+x-2 y)^{2}
\end{aligned}
$$

Chứng minh rằng $\mathrm{A}=\mathrm{B}$ khi và chỉ khi $\mathrm{x}=\mathrm{y}=\mathrm{z}$.

Bài 15. Cho $x+y+z=0$. Chứng minh rằng:

$$
5\left(x^{3}+y^{3}+z^{3}\right)\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)=6\left(x^{5}+y^{5}+z^{5}\right)
$$

Bài 16. Chứng minh các hằng đằng thức sau :
a) $(a+b+c)^{2}+a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a+b)^{2}+(b+c)^{2}+(c+a)^{2}$
b) $x^{4}+y^{4}+(x+y)^{4}=2\left(x^{2}+x y+y^{2}\right)^{2}$

Bài 17. Cho các số $a, b, c$, $d$ thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+(a+b)^{2}=c^{2}+d^{2}+(c+d)^{2}$.

Chứng minh rằng $\mathrm{a}^{4}+\mathrm{b}^{4}+(\mathrm{a}+\mathrm{b})^{4}=\mathrm{c}^{4}+\mathrm{d}^{4}+(\mathrm{c}+\mathrm{d})^{4}$ Bài 18. Cho $x+y=3$ và $x^{2}+y^{2}=5$. Tính giá trị của các biểu thức sau
a) $x^{3}+y^{3}$
b) $x^{4}+y^{4}$
c) $x^{5}+y^{5}$
d) $x^{6}+y^{6}$
e) $\mathrm{x}^{2019}+\mathrm{y}^{2019}$

Bài 19. Cho $a+b+c=0$. Tính giá trị của các biểu thức sau :

$$
A=\frac{1}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}-a^{2}}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}-b^{2}}
$$

Bài 20. Cho các số $a, b, c$ khác 0 thỏa mãn điều kiện $a^{3}+b^{3}+c^{3}=3 a b c$. Tính giá trị của biểu thức $\mathrm{A}=\left(1+\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}\right)\left(1+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}}\right)\left(1+\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}\right)$.

Bài 21. Cho $a, b$, c là các số thực thỏa mãn $a+b+c=9$ và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=53$. Tính giá trị của $\mathrm{A}=\mathrm{ab}+\mathrm{bc}+\mathrm{ca}$.

Bài 22. Cho $a, b$, c là các số thực thỏa mãn $a+b+c=7$ và $a b+b c+c a=9$. Tính $a^{2}+b^{2}+c^{2}$

Bài 23. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn:

$$
a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2} v a ̀ a b+b c+c a=9
$$

Tính $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ và $(a+b+c)^{2}$

Bài 24. Cho $a, b$, c là các số thực khác 0 thỏa mãn $a+b+c=1$ và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0$. Tính giá trị biểu thức $\mathrm{A}=\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}+\mathrm{c}^{2}$.

Bài 25. Cho $a, b, c$ là các số thực khác 0 thỏa mãn $a+b+c=a b c$ và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2$.

Tính giá trị $\frac{1}{\mathrm{a}^{2}}+\frac{1}{\mathrm{~b}^{2}}+\frac{1}{\mathrm{c}^{2}}$.

Bài 26. Cho các số thực $a, b, c$ và $x, y, z$ khác 0 thỏa mãn các hệ thức $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ và $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{y}}+\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{z}}=0$. Tính giá trị của $A=\frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{~b}^{2}}+\frac{\mathrm{z}^{2}}{\mathrm{c}^{2}}$.

Bài 27. Cho $a, b$, c là các số thực thỏa mãn $a+b+c=0$ và $a b+b c+c a=0$. Tính giá trị biểu thức $\mathrm{A}=(\mathrm{a}-1)^{2018}+\mathrm{b}^{2019}+\mathrm{c}^{2020}$. Bài 28. Cho $a, b$, c là các số thực thỏa mãn $a+2 b+3 c=0$ và $2 a b+6 b c+3 c a=0$.

Tính giá trị biểu thức $\mathrm{A}=\frac{(\mathrm{a}-1)^{2018}-(1-\mathrm{b})^{2019}+(3 \mathrm{~b}-1)^{2020}}{(\mathrm{a}+1)^{2018}+2(\mathrm{~b}-\mathrm{c})^{2019}+\mathrm{c}^{2020}}$.

Bài 29. Cho $a, b, c$ là các số thực khác 0 thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0$. Tính giá trị của biểu thức $\mathrm{A}=\frac{\mathrm{bc}}{\mathrm{a}^{2}}+\frac{\mathrm{ca}}{\mathrm{b}^{2}}+\frac{\mathrm{ab}}{\mathrm{c}^{2}}$.

Bài 30. Cho $a, b, c$ là các số thực khác 0 thỏa mãn $(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}$. Chứng minh rằng $\frac{1}{\mathrm{a}^{3}}+\frac{1}{\mathrm{~b}^{3}}+\frac{1}{\mathrm{c}^{3}}=\frac{3}{\mathrm{abc}}$.

Bài 31. Cho các số thực $a$ và $b$ thỏa mãn $a^{3}-3 a b^{2}=10$ và $b^{3}-3 a^{2} b=5$. Tính $M=a^{2}+b^{2}$

Bài 32. Cho $x^{2}+y^{2}=2$ và biểu thức $M=\left(x^{2}-1\right)^{2}+\left(y^{2}-1\right)^{2}+2 x^{2} y^{2}$. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức $\mathrm{M}$ không phụ thuộc vào giá trị của biến số $\mathrm{x}$ và $\mathrm{y}$

Bài 33. Tìm các số nguyên $x, y$ thỏa mãn đẳng thức $x^{3}+2 x^{2}+3 x+2=y^{3}$.

Bài 34. Cho $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ là các số thực bất kì. Chứng minh rằng:

$$
a(b-c)(b+c-a)^{2}+c(a-b)(a+b-c)^{2}=b(a-c)(a+c-b)^{2}
$$

Bài 35. Biết $4 a^{2}+b^{2}=5 a b$ với $2 a>b>0$. Tính giá trị biểu thức $C=\frac{a b}{4 a^{2}-b^{2}}$.

Bài 36. Cho $10 a^{2}=10 b^{2}+c^{2}$. Chứng minh rằng:

$$
(7 a-3 b-2 c)(7 a-3 b+2 c)=(3 a-7 b)^{2}
$$

Bài 37. Cho ba số $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ thỏa mãn $\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=0$. Chứng minh rằng $\mathrm{ab}+\mathrm{bc}+\mathrm{ca} \leq 0$.

Bài 38. Cho các số nguyên $a, b, c$ thỏa mãn $(a-b)^{3}+(b-c)^{3}+(c-a)^{3}=210$. Tính giá trị của biểu thức $\mathrm{A}=|\mathrm{a}-\mathrm{b}|+|\mathrm{b}-\mathrm{c}|+|\mathrm{c}-\mathrm{a}|$.

Bài 39. Cho $a, b$, c là các số thực thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=a+2 b+3 c=14$. Tính giá trị của biểu thức $\mathrm{T}=\mathrm{abc}$.

Bài 40. Cho $a+b+c=0$. Chứng minh rằng $a^{4}+b^{4}+c^{4}=\frac{1}{2}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{2}$ Bài 41. Cho ba số thực $a, b, c$ thỏa mãn $b \neq c ; a+b \neq c$ và $a^{2}+b^{2}=(a+b-c)^{2}$.

Chứng minh rằng $\frac{\mathrm{a}^{2}+(\mathrm{a}-\mathrm{c})^{2}}{\mathrm{~b}^{2}+(\mathrm{b}-\mathrm{c})^{2}}=\frac{\mathrm{a}-\mathrm{c}}{\mathrm{b}-\mathrm{c}}$.

Bài 42. Cho các số thực $x, y, z$ đôi một khác nhau thỏa mãn các điều kiện

$$
x^{3}=3 x-1 ; y^{3}=3 y-1 ; z^{3}=3 z-1
$$

Chứng minh rằng $\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}+\mathrm{z}^{2}=6$.

Bài 43. Cho $x$, $y$ là hai số thực thỏa mãn $a x+b y=c ; b x+c y=a ; c x+a y=b$. Chứng minh rằng $\mathrm{a}^{3}+\mathrm{b}^{3}+\mathrm{c}^{3}=3 \mathrm{abc}$.

Bài 44. Giả sử $a, b$ là hai số thực phân biệt thỏa mãn $a^{2}+3 a=b^{2}+3 b=2$
a) Chứng minh rằng $\mathrm{a}+\mathrm{b}=-3$
b) Chứng minh rằng $\mathrm{a}^{3}+\mathrm{b}^{3}=-45$

Bài 45. Cho $a$, b là số hữu tỉ thỏa mãn $\left(a^{2}+b^{2}-2\right)(a+b)^{2}+(1-a b)^{2}=-4 a b$.

Chứng minh rằng $\sqrt{1+\mathrm{ab}}$ là số hữu tỉ

Bài 46. Tìm tích $M=\frac{1^{4}+4}{3^{4}+4} \cdot \frac{5^{4}+4}{7^{4}+4} \cdot \frac{9^{4}+4}{11^{4}+4} \ldots \cdot \frac{17^{4}+4}{19^{4}+4}$

Bài 47. Cho $\mathrm{a}>\mathrm{b}>0$

a) Biết $3 a^{2}+3 b^{2}=10 a b$. Tính $P=\frac{a-b}{a+b}$

b) $2 a^{2}+2 b^{2}=5 a b$. Tính $Q=\frac{a+b}{a-b}$.

Bài 48. Chứng minh rằng các số sau đây là số chính phương:

$$
\begin{aligned}
& A=\underbrace{111 \ldots 1}_{2 n c / s 1}+\underbrace{444 \ldots 4}_{n c / s 4}+1 \\
& B=\underbrace{111 \ldots 1}_{2 n c / s 1}+\underbrace{111 \ldots 1}_{n+1 c / s 1}+\underbrace{666 \ldots 6}_{n c / s 6}+8 \\
& C=\underbrace{444 \ldots 4}_{2 n c / s 4}+\underbrace{222 \ldots 2}_{n+1 c / s 2}+\underbrace{888 \ldots 8}_{n c / s 8}+7
\end{aligned}
$$

Bài 49. Cho $\mathrm{a}, \mathrm{m}, \mathrm{n}$ là các số nguyên dương với $\mathrm{a} \neq 1$. Chứng minh rằng $\left(\mathrm{a}^{\mathrm{m}}-1\right)$ chia hết cho $\left(a^{n}-1\right)$ khi và chỉ khi m chia hết cho $n$. Bài 50. Chữ số hàng đơn vị trong hệ thập phân của số $M=a^{2}+a b+b^{2}(v o ̛ ́ i ~ a, b$ là các số tự nhiên khác 0 ) là 0
a) Chứng minh M chia hết cho 20.
b) Tìm chữ số hàng chục của $M$.

Bài 51. Cho hai số nguyên dương $x, y$ với $x>1$ thỏa mãn điều kiện $2 x^{2}-1=y^{15}$. Chứng minh rằng $x$ chia hết cho 15.

Bài 52. Cho các số tự nhiên $a, b, c$ thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}$. Chứng minh rằng các số $\mathrm{ab}$; bc; ca và $\mathrm{ab}+\mathrm{bc}+\mathrm{ca}$ là các số chính phương.

Bài 53. Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố $\mathrm{p}$ thì $\mathrm{p}^{3}+\frac{\mathrm{p}-1}{2}$ không phải là tích của hai số tự nhiên liên tiếp.

Bài 54. Tìm số tự nhiên $\overline{a b c d}$ thỏa mãnđiêu kiện $\overline{\mathrm{abcd}}+72$ là một số chính phương và $\overline{\mathrm{abd}}=(\mathrm{b}+\mathrm{d}-2 \mathrm{a})^{2}$

Bài 55. Tìm các chữ số $a, b, c, d$ thỏa mãn $\overline{a a . . . a b b \ldots . . b c c . . . c}+1=(\overline{\mathrm{dd} \ldots . . d}+1)^{3}$, biết rằng số lần xuất hiện của $a, b, c$, d trong các biểu thức trên là như nhau.

Bài 56. Cho $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ là các số thực bất kì. Chứng minh rằng:

$$
1019 \mathrm{a}^{2}+18 \mathrm{~b}^{4}+1007 \mathrm{c}^{2} \geq 30 \mathrm{ab}^{2}+6 \mathrm{~b}^{2} \mathrm{c}+2008 \mathrm{ca}
$$

Bài 57. Cho $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ là các số thực dương, tìm hằng số $\mathrm{k}$ lớn nhất thỏa mãn bất đẳng thức

$$
\frac{k}{a^{3}+b^{3}}+\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}} \geq \frac{16+4 k}{(a+b)^{3}}
$$

Bài 58. Cho $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

$$
\frac{2\left(a^{3}+b^{3}+c^{3}\right)}{a b c}+\frac{9(a+b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}} \geq 33
$$

Bài 59. Cho $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ là các số thực tùy ý. Chứng minh rằng:

$$
(a+b+c)^{4}+(b+c-a)^{4}+(c+a-b)^{4}+(a+b-c)^{4} \leq 28\left(a^{4}+b^{4}+c^{4}\right)
$$

Bài 60. Cho a, b, c là các số thực bất kì. Chứng minh rẳng:
a) $a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq a b+b c+c a$
b) $a^{2}+b^{2}+c^{2}+3 \geq 2(a+b+c)$ Bài 61. Cho $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ là các số thực bất kì. Chứng minh rẳng:

$$
\frac{\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}+\mathrm{c}^{2}}{3} \geq\left(\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}}{3}\right)^{2}
$$

Bài 62. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=x^{2}+4 y^{2}+z^{2}-2 x+8 y-6 z+15$.

Ta có $A=x^{2}-2 x+1+4 y^{2}+8 y+4+z^{2}-6 z+9+1=(x-1)^{2}+(2 y+2)^{2}+(z-3)^{2}+1 \geq 1$.

Do đó giá trị nhỏ nhất của $A$ là 1 , đạt được tại $x=1 ; y=-1 ; z=3$.

Bài 63. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a) $A=x^{2}+4 y^{2}+z^{2}+4 x+4 y+8 z+22$
b) $B=x^{2}+4 y^{2}+9 z^{2}-2 x-12 y-12 z+1994$

Bài 64. Tìm $x$, $y$ thỏa mãn đẳng thức $\left|x^{2}-2 x y+y^{2}+3 x-2 y-1\right|+4=2 x-\left|x^{2}-3 x+2\right|$.

\section{HƯỚNG DẪN GIẢI}

Bài 1. Tính giá trị các biểu thức sau

a) $A=3^{24}-\left(27^{4}+1\right)\left(9^{6}-1\right)=3^{24}-\left(3^{12}+1\right)\left(3^{12}-1\right)=3^{24}-\left(3^{24}-1\right)=1$

b)

$$
\begin{aligned}
B & =85^{2}+75^{2}+65^{2}+55^{2}-45^{2}-35^{2}-25^{2}-15^{2} \\
& =85^{2}-45^{2}+75^{2}-35^{2}+65^{2}-25^{2}+55^{2}-15^{2} \\
& =(85+45)(85-45)+(75+35)(75-35)+(65+25)(65-25)+(55+15)(55-15) \\
& =130.40+110.40+90.40+70.40=40(130+110+90+70)=40.400=16000
\end{aligned}
$$

Bài 2. So sánh các số sau.

a) $\mathrm{A}=2018.2020+2019.2021$ và $\mathrm{B}=2019^{2}+2020^{2}-2$

Sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ dạng $\mathrm{a}^{2}-\mathrm{b}^{2}=(\mathrm{a}-\mathrm{b})(\mathrm{a}+\mathrm{b})$ ta có

$$
\begin{aligned}
\mathrm{B} & =2019^{2}-1+2020^{2}-1=(2019-1)(2019+1)+(2020-1)(2020+1) \\
& =2018.2020+2019.2021=\mathrm{A}
\end{aligned}
$$

b) $\mathrm{A}=10 \cdot\left(9^{2}+1\right)\left(9^{4}+1\right)\left(9^{8}+1\right)\left(9^{16}+1\right)\left(9^{32}+1\right)$ và $\mathrm{B}=9^{64}-1$

Ta có $A=(9+1)\left(9^{2}+1\right)\left(9^{4}+1\right)\left(9^{8}+1\right)\left(9^{16}+1\right)\left(9^{32}+1\right)$

Sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ dạng $\mathrm{a}^{2}-\mathrm{b}^{2}=(\mathrm{a}-\mathrm{b})(\mathrm{a}+\mathrm{b})$ ta có

$$
\begin{aligned}
8 \mathrm{~A} & =(9-1)(9+1)\left(9^{2}+1\right)\left(9^{4}+1\right)\left(9^{8}+1\right)\left(9^{16}+1\right)\left(9^{32}+1\right) \\
& =\left(9^{2}-1\right)\left(9^{2}+1\right)\left(9^{4}+1\right)\left(9^{8}+1\right)\left(9^{16}+1\right)\left(9^{32}+1\right) \\
& =\left(9^{4}-1\right)\left(9^{4}+1\right)\left(9^{8}+1\right)\left(9^{16}+1\right)\left(9^{32}+1\right) \\
& =\left(9^{8}-1\right)\left(9^{8}+1\right)\left(9^{16}+1\right)\left(9^{32}+1\right) \\
& =\left(9^{16}-1\right)\left(9^{16}+1\right)\left(9^{32}+1\right)=\left(9^{32}-1\right)\left(9^{32}+1\right)=9^{64}-1=\mathrm{B}
\end{aligned}
$$

Do vậy ta được $8 \mathrm{~A}=\mathrm{B}$.

c) $A=\frac{x-y}{x+y}$ và $B=\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+x y+y^{2}}$ với $x>y>0$

Do $x>y>0$ nên ta có $A=\frac{x-y}{x+y}=\frac{x^{2}-y^{2}}{(x+y)^{2}}=\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+2 x y+y^{2}}$.

Do $x>y>0$ nên $x^{2}-y^{2}>0$ và $x^{2}+2 x y+y^{2}>x^{2}+x y+y^{2}$.

Do đó ta được $\mathrm{A}<\mathrm{B}$.

d) $A=\frac{(x+y)^{3}}{x^{2}-y^{2}}$ và $B=\frac{x^{2}-x y+y^{2}}{x-y}$ với $x>y>0$.

Do $x>y>0$ nên ta có $x-y>0$ và $x^{2}-y^{2}>0$.

Ta có $A=\frac{(x+y)^{3}}{x^{2}-y^{2}}=\frac{(x+y)\left(x^{2}+2 x y+y^{2}\right)}{(x+y)(x-y)}=\frac{x^{2}+2 x y+y^{2}}{x-y}$

Do $x>y>0$ nên suy ra $x^{2}+2 x y+y^{2}>x^{2}-x y+y^{2}>0$ nên suy ra $A>B$.

Bài 3. Từ $\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}+\mathrm{d}=0$ ta được $\mathrm{a}+\mathrm{b}=-(\mathrm{c}+\mathrm{d})$ hay ta được

$$
\begin{aligned}
& (a+b)^{3}=-(c+d)^{3} \Leftrightarrow a^{3}+b^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}=-\left(c^{3}+d^{3}+3 c^{2} d+3 c d^{2}\right) \\
\Leftrightarrow & a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3}=-3 a b(a+b)-3 c d(c+d) \\
\Leftrightarrow & a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3}=3 a b(c+d)-3 c d(c+d) \Leftrightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3}=3(a b-c d)(c+d)
\end{aligned}
$$

Vậy đẳng thức được chứng minh.

Bài 4. Ta có

$$
\begin{aligned}
& (a+b-c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2 a b-2 b c-2 c a \\
& (b+c-a)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2 a b+2 b c-2 c a \\
& (c+a-b)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2 a b-2 b c+2 c a \\
& (a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2 a b+2 b c+2 c a
\end{aligned}
$$

Do đó ta được

 

$$
\begin{aligned}
& \left(\frac{a+b-c}{2}\right)^{2}+\left(\frac{b+c-a}{2}\right)^{2}+\left(\frac{c+a-b}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}\left[3\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)-2(a b+b c+c a)\right] \\
& a^{2}+b^{2}+c^{2}+4 m^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{1}{4}(a+b+c)^{2}=\frac{1}{4}\left[3\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)-2(a b+b c+c a)\right]
\end{aligned}
$$

Vậy ta được $\left(\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}-\mathrm{c}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\mathrm{b}+\mathrm{c}-\mathrm{a}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\mathrm{c}+\mathrm{a}-\mathrm{b}}{2}\right)^{2}=\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}+\mathrm{c}^{2}-4 \mathrm{~m}^{2}$

Bài 5. Ta có $\left(x^{4}+x^{2} y^{2}+y^{4}\right)\left(x^{4}-x^{2} y^{2}+y^{4}\right)=\left(x^{4}+y^{4}\right)^{2}-\left(x^{2} y^{2}\right)^{2}=x^{8}+x^{4} y^{4}+y^{8}=8$.

Do đó suy ra $x^{4}-x^{2} y^{2}+y^{4}=2$. Kết hợp với $x^{4}+x^{2} y^{2}+y^{4}=4$ ta được $x^{4}+y^{4}=3$ và $x^{2} y^{2}=1$. Từ đó ta có

$$
\begin{aligned}
A & =x^{12}+x^{2} y^{2}+y^{12}=\left(x^{4}\right)^{3}+\left(y^{4}\right)^{3}+x^{2} y^{2}=\left(x^{4}+y^{4}\right)\left(x^{8}+y^{8}-x^{4} y^{4}\right)+x^{2} y^{2} \\
& =3\left[\left(x^{4}+y^{4}\right)^{2}-3 x^{4} y^{4}\right] +x^{2} y^{2}=3\left(3^{2}-3.1\right)+1=18+1=19
\end{aligned}
$$

Bài 6. Cho $x, y$ là các số thực tỏa mãn $x+y=1$. Tính giá trị các biểu thức.

a) Ta có $A=3 x^{2}-2 x+3 y^{2}-2 y+6 x y-100=3(x+y)^{2}-2(x+y)-100=-99$

b) Ta có

$$
\begin{aligned}
B & =x^{3}+y^{3}-2 x^{2}-2 y^{2}+3 x y(x+y)-4 x y+3(x+y)+10 \\
& =(x+y)^{3}-2(x+y)^{2}+3(x+y)+10=12
\end{aligned}
$$

c) Ta có

$$
\begin{aligned}
C & =x^{3}+y^{3}+3 x y\left(x^{2}+y^{2}\right)+6 x^{2} y^{2}(x+y) \\
& =(x+y)^{3}-3 x y(x+y)+3 x y\left[(x+y)^{2}-2 x y\right] +6 x^{2} y^{2} \\
& =1-3 x y+3 x y-6 x^{2} y^{2}+6 x^{2} y^{2}=1
\end{aligned}
$$

Bài 7. Ta có $A=(2 a+2 b+2 c-3 c)^{2}+(2 a+2 b+2 c-3 a)^{2}+(2 a+2 b+2 c-3 b)^{2}$

Đặt $x=a+b+c$ khi đó ta có

$$
\begin{aligned}
A & =(2 x-3 c)^{2}+(2 x-3 a)^{2}+(2 x-3 b)^{2} \\
& =4 x^{3}-12 x c+9 c^{2}+4 x^{2}-12 x a+9 a^{2}+4 x^{2}-12 x b+9 b^{2} \\
& =12 x^{2}-12 x(a+b+c)+9\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)=9\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)=9 m
\end{aligned}
$$

Bài 8. Đặt $a=x+y-z ; b=y+z-x ; c=z+x-y$. Khi đó ta có $a+b+c=x+y+z$. Do đó $A=(a+b+c)^{3}-a^{3}-b^{3}-c^{3}=3(a+b)(b+c)(c+a)=24 x y z$ Bài 9. Cho $x+y=a ; x y=b\left(a^{2} \geq 4 b\right)$. Tính giá trị của các biểu thức sau :
a) $x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}-2 x y=a^{2}-2 b$
b) $x^{3}+y^{3}=(x+y)^{3}-3 x y(x+y)=a^{3}-3 a b$
c) $x^{4}+y^{4}=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}-2 x^{2} y^{2}=a^{4}-4 a^{2} b+2 b^{2}$
d) $x^{5}+y^{5}=\left(x^{3}+y^{3}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)-x^{2} y^{2}(x+y)=a^{5}-5 a^{3} b+5 a b^{2}$

\section{Bài 10.}

a) Biến đổi vế trái của đẳng thức cân chứng minh ta được

$$
\begin{aligned}
& a^{3}+b^{3}+c^{3}-3 a b c=\left(a^{3}+b^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}\right)+c^{3}-3 a^{2} b-3 a b^{2}-3 a b c \\
= & (a+b)^{3}+c^{3}-3 a b(a+b+c)=(a+b+c)\left[(a+b)^{2}-(a+b) c+c^{2}\right] -3 a b(a+b+c) \\
= & (a+b+c)\left[(a+b)^{2}-(a+b) c+c^{2}-3 a b\right] =(a+b+c)\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}-a b-b c-c a\right)
\end{aligned}
$$

b) Biến đổi vế trái của đẳng thức cân chứng minh ta được

$$
\begin{aligned}
& (a+b+c)^{3}-a^{3}-b^{3}-c^{3} \\
= & (a+b+c-a)\left[(a+b+c)^{2}+(a+b+c) a+a^{2}\right] -(b+c)\left(b^{2}-b c+c^{2}\right) \\
= & (b+c)\left(3 a^{2}+3 a b+3 b c+3 c a\right)=3(a+b)(b+c)(c+a)
\end{aligned}
$$

\section{Bài 11.}

+ Lời giải 1. Từ $\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}=0$ ta được $\mathrm{x}+\mathrm{y}=-\mathrm{z}$. Do đó sử dụng nhị thức Newton ta có biến đồi

$$
\begin{aligned}
& (x+y)^{5}=-z^{5} \Leftrightarrow x^{5}+5 x^{4} y+10 x^{3} y^{2}+10 x^{2} y^{3}+5 x y^{4}+y^{5}=-z^{5} \\
\Leftrightarrow & x^{5}+y^{5}+z^{5}+5 x y\left(x^{3}+y^{3}\right)+10 x^{2} y^{2}(x+y)=0 \\
\Leftrightarrow & x^{5}+y^{5}+z^{5}+5 x y\left[(x+y)\left(x^{2}+y^{2}-x y\right)\right] -10 x^{2} y^{2} z=0 \\
\Leftrightarrow & x^{5}+y^{5}+z^{5}-5 x y z\left(x^{2}+y^{2}-x y\right)-10 x^{2} y^{2} z=0 \\
\Leftrightarrow & x^{5}+y^{5}+z^{5}-5 x y z\left(x^{2}+y^{2}+x y\right)=0 \\
\Leftrightarrow & 2\left(x^{5}+y^{5}+z^{5}\right)-5 x y z\left[2\left(x^{2}+y^{2}\right)+2 x y\right] =0 \\
\Leftrightarrow & 2\left(x^{5}+y^{5}+z^{5}\right)-5 x y z\left[x^{2}+y^{2}+(x+y)^{2}\right] =0 \\
\Leftrightarrow & 2\left(x^{5}+y^{5}+z^{5}\right)-5 x y z\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)=0 \\
\Leftrightarrow & 2\left(x^{5}+y^{5}+z^{5}\right)=5 x y z\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)
\end{aligned}
$$

Vậy đẳng thức được chứng minh. + Lời giải 2. Ta có các hẳng đẳng thức quen thuộc

$$
\begin{aligned}
& x^{3}+y^{3}+z^{3}-3 x y z=(x+y+z)\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}-x y-y z-z x\right) \\
& (x+y+z)^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(x y+y z+z x)
\end{aligned}
$$

Từ $x+y+z=0$ ta được $x^{3}+y^{3}+z^{3}=3 x y z$ và $\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{2}=-(x y+y z+z x)$. Ta có

$$
\begin{aligned}
& \left(x^{3}+y^{3}+z^{3}\right)\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)=3 x y z\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \\
\Leftrightarrow & x^{5}+y^{5}+z^{5}+x^{2} y^{2}(x+y)+y^{2} z^{2}(y+z)+z^{2} x^{2}(z+x)=3 x y z\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \\
\Leftrightarrow & x^{5}+y^{5}+z^{5}-x y z(x y+y z+z x)=3 x y z\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \\
\Leftrightarrow & x^{5}+y^{5}+z^{5}+x y z \cdot \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{2}=3 x y z\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \\
\Leftrightarrow & 2\left(x^{5}+y^{5}+z^{5}\right)=5 x y z\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)
\end{aligned}
$$

Xem tiếp: HĐT và ứng dụng phần 7