Hoán vị – Chỉnh hợp – Bài tập Toán 10 sách Cánh Diều Tập 2
Hoán vị – Chỉnh hợp – Bài tập Toán 10 sách Cánh Diều
§2 HOÁN VỊ. CHỈNH HỢP
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Hoán vị
Cho tập hợp $A$ gồm $n$ phần tử $\left( n\in {{\mathbb{N}}^{\text{*}}} \right)$.
Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự $n$ phần tử của tập hợp $A$ được gọi là một hoán vị của $n$ phần tử đó.
Kí hiệu ${{\text{P}}_{n}}$ là số các hoán vị của $n$ phần tử. Ta có:
${{\text{P}}_{n}}=n\left( n-1 \right)\ldots .2.1=n!$
Chỉnh hợp
Cho tập hợp $A$ gồm $n$ phần tử và một số nguyên $k$ với $1\le k\le n$.
Mỗi kết quả của việc lấy $k$ phần tở từ $n$ phần tử của tập hợp $A$ và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử đã cho.
Kí hiệu $\text{A}_{n}^{k}$ là số các chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử $\left( 1\le k\le n \right)$.
Ta có: $\text{A}_{n}^{k}=n\left( n-1 \right)\ldots \left( n-k+1 \right)$.
B. VÍ DỤ
Vấn đề 1. Tính số các hoán vị
Ví dụ 1 Trong giờ học thể dục, thầy giáo yêu cầu cả lớp chia thành các nhóm tự luyện tập. Nhóm bạn An có bao nhiêu cách xểp thành một hàng dọc? Biết nhóm của An có 6 người.
Giải
Mỗi cách xếp thứ tự vị trí cho 6 bạn là một hoán vị của 6 phần tử. Vậy số cách xếp nhóm bạn An thành một hàng dọc là: ${{\text{P}}_{6}}=6!=720$.
Ví đụ 2 Từ các chữ số $1,2,3,4,5,6,7$, ta lập được bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số đôi một khác nhau?
Giải
Mỗi số tự nhiên lập được là một hoán vị của 7 chữ số đã cho. Số các số tự nhiên có thể lập được là: ${{P}_{7}}=7!=5040$. Ví dụ 3 Từ các chữ số $0,1,2,3,4,5,6$, 7, ta lập được bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau?
Giải
Xét số tự nhiên có dạng $\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}{{a}_{5}}{{a}_{6}}{{a}_{7}}{{a}_{8}}}$.
Trường hơp 1: ${{a}_{1}}$ có thể bằng 0 hoặc khác 0 .
Với ${{a}_{1}}$ có thể bằng 0 hoặc khác 0 , mỗi số có dạng trên là một hoán vị của 8 chữ số đã cho. Do đó, số các số có thể lập được trong trường hợp 1 là: ${{\text{P}}_{8}}=8!$ = 40320 .
Truoòng hơp 2: ${{a}_{1}}=0$.
Vi ${{a}_{1}}=0$ cố định nên 7 chữ số sau ${{a}_{1}}$ đều khác 0 và chỉ có 7 chữ số đó thay đỗi. Suy ra, mỗi số có dạng $\overline{0{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}{{a}_{5}}{{a}_{6}}{{a}_{7}}{{a}_{8}}}$ là một hoán vị của 7 chữ số khác 0 đã cho. Do đó, số các số có thể lập được trong trường hợp 2 là: ${{P}_{7}}=7!=5040$.
Vậy số các số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau có thể lập được là:
$40320-5040=35280.$
Vi dụ 4 Bạn Nam có 4 quyễn sách Toán, 6 quyển sách Tiếng Anh (các quyển sách là khác nhau). Hỏi có bao nhiêu cách xếp các quyển sách thành hàng ngang sao cho:
a) Các quyển sách cùng môn thi xếp cạnh nhau (không có quyển sách Toán nào nằm giữa hai quyển sách Tiếng Anh và ngược lại)?
b) Các quyển sách Toán thi xếp cạnh nhau?
Giải
a) Xếp 4 quyển sách Toán cạnh nhau thành một nhóm có ${{\text{P}}_{4}}=4$ ! = 24 (cách).
Xếp 6 quyển sách Tiếng Anh cạnh nhau thành một nhóm có ${{\text{P}}_{6}}=6!=720$ (cách).
Có ${{\text{P}}_{2}}=2!=2$ cách xếp hai nhóm sách trên.
Vậy số cách xếp các quyển sách sao cho các quyển sách cùng môn thỉ xếp cạnh nhau là:
$24.720.2=34560.\text{ }\!\!~\!\!\text{ }$
b) Xếp 4 quyển sách Toán cạnh nhau thành một nhóm có
${{\text{P}}_{4}}=4\text{ }\!\!~\!\!\text{ ! }\!\!~\!\!\text{ =24 }\!\!~\!\!\text{ (c }\!\!\acute{\mathrm{a}}\!\!\text{ ch)}\text{. }\!\!~\!\!\text{ }$
Coi nhóm sách Toán là một quyển sách, gọi là $A$, xếp quyển sách $A$ và 6 quyển sách Tiếng Anh có
${{P}_{7}}=7!\text{ }\!\!~\!\!\text{ = }\!\!~\!\!\text{ }5040\text{ }\!\!~\!\!\text{ (c }\!\!\acute{\mathrm{a}}\!\!\text{ ch)}\text{. }\!\!~\!\!\text{ }$
Vậy số cách xếp các quyển sách sao cho các quyển sách Toán thi xếp cạnh nhau là:
$24.5040=120960.\text{ }\!\!~\!\!\text{ }$
Vấn đề 2. Tính số các chỉnh hợp
Vi dụ 5 Bạn Dũng mới mua điện thoại và muốn lập mật khẩu có 6 chữ số đôi một khác nhau. Hỏi bạn Dũng có bao nhiêu cách để lập một mật khẩu?
Giải
Mỗi mật khẩu có thể lập được là một cách chọn 6 chữ số từ 10 chữ số và sắp xếp thứ tự của chúng, tức là một chỉnh hợp chập 6 của 10 phần tử.
Vậy bạn Dũng có $\text{A}_{10}^{6}=151200$ (cách lập mật khẩu).
Ví dụ 6 Từ các chữ số $1,2,3,4,5,6,7$, ta lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau?
Giải
Mỗi số tự nhiên lập được là một chỉnh hợp chập 5 của 7 chữ số đã cho. Số các số tự nhiên có thể lập được là: $\text{A}_{7}^{5}=2520$.
Ví dụ 7 Trong một buỗi kỉ niệm ngày thảnh lập trường, bí thư Đoàn trường cần chọn 4 tiết mục từ 6 tiết mục hát và 4 tiết mục từ 5 tiết mục múa rồi xếp thứ tự biễu diễn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn và xếp thứ tự sao cho các tiết mục hát và múa xen kẽ nhau?
Giải
Giả sử các tiết mục được biểu diễn đánh số thứ tự từ 1 đến 8 . Vì số lượng tiết mục hát và múa bằng nhau nên có hai trường hợp:
Trường hợp 1: Tiết mục hát diễn ra đầu tiên
Khi đó, các tiết mục hát có số thứ tự là số lẻ, còn các tiết mục múa có số thứ tự là số chã̃n. Như vậy, thứ tự của các tiết mục múa và hát được cố định, chỉ thay đổi thứ tự giữa các tiết mục múa, hoặc giữa các tiết mục hát.
Chọn 4 tiết mục hát từ 6 tiết mục hát và xếp thứ tự có $\text{A}_{6}^{4}=360$ (cách).
Chọn 4 tiết mục múa từ 5 tiết mục múa và xếp thứ tự có $\text{A}_{5}^{4}=120$ (cách).
Khi đó, số cách chọn và xếp thứ tự các tiết mục văn nghệ trong trường hợp tiết mục hát diễn ra đầu tiên là: $360\cdot 120=43200$.
Trường hợp 2: Tiết mục múa diễn ra đầu tiên
Tương tự, số cách chọn và xếp thứ tự các tiết mục văn nghệ trong trường hợp tiết mục múa diễn ra đầu tiên là: $120\cdot 360=43200$.
Vậy số cách chọn và xếp thứ tự các tiết mục văn nghệ sao cho các tiết mục hát và múa xen kẽ nhau là: $43200+43200=86400$.
BÀl TẬP
Cho tập hợp $A$ gồm $n$ phần tử $\left( n\in {{\mathbb{N}}^{\text{*}}} \right)$. Mỗi hoán vị của $n$ phần tử đó là:
Một kết quả của sự sắp xếp thứ tự $n$ phần tử của tập hợp $A$.
B. Tất cả kết quả của sự sắp xếp thứ tự $n$ phần tử của tập hợp $A$.
C. Một số được tính bằng $n\left( n-1 \right)\ldots .2$. 1 .
D. Một số được tính bằng $n!$ !
Cho tập hợp $A$ gồm $n$ phần tử và một số nguyên $k$ với $1\le k\le n$. Mỗi chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử đã cho là:
Một kết quả của sự sắp xếp thứ tự $n$ phần tử của tập hợp $A$.
B. Tất cả kết quả của việc lấy $k$ phần tử từ $n$ phần tử của tập hợp $A$ và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó.
C. Một kết quả của việc lấy $k$ phần tử từ $n$ phần tử của tập hợp $A$ và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó.
D. Một số được tính bằng $n\left( n-1 \right)\ldots \left( n-k+1 \right)$.
Cho $k,n$ là các số nguyên dương, $k\le n$. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?
$\text{A}_{n}^{k}=n\left( n-1 \right)\ldots \left( n-k+1 \right)$.
B. ${{\text{P}}_{n}}=n\left( n-1 \right)\ldots 2.1$.
C. ${{\text{P}}_{n}}=n!$.
D. $\text{A}_{n}^{k}=\frac{n!}{k!}$.
Từ các chữ số $1,2,3,4,5,6,7,8$, 9, ta lập được bao nhiêu số tự nhiên:
a) Gồm 9 chữ số đôi một khác nhau?
b) Gồm 7 chữ số đôi một khác nhau?
Từ các chữ số $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$, ta lập được bao nhiêu số tự nhiên:
a) Gồm 10 chữ số đôi một khác nhau?
b) Gồm 6 chữ số đôi một khác nhau?
Một tổ có 8 học sinh gồm 4 nữ và 4 nam. Có bao nhiêu cách xếp các học sinh trong tổ:
a) Thành một hàng dọc?
b) Thành một hàng dọc sao cho nam, nữ đứng xen kẽ nhau?
90 học sinh được trường tổ chức cho đi xem kịch ở rạp hát thành phố. Các ghế ở rạp được sắp thành các hàng. Mỗi hàng có 30 ghế.
a) Có bao nhiêu cách sắp xếp 30 học sinh để ngồi vào hàng đầu tiên?
b) Sau khi sắp xếp xong hàng đầu tiên, có bao nhiêu cách sắp xếp 30 học sinh đễ ngồi vào hàng thứ hai?
c) Sau khi sắp xếp xong hai hàng đầu, có bao nhiêu cách sắp xếp 30 học sinh để ngồi vào hàng thứ ba?
Bạn Đan chọn mật khẩu cho email của minh gồm 6 kí tự đôi một khác nhau, trong đó, 2 kí tự đầu tiên là 2 chữ cái trong bảng gồm 26 chữ cái in thường, 3 ki tự tiếp theo là chữ số, ki tự cuối cùng là 1 trong 3 ki tự đặc biệt. Bạn Đan có bao nhiêu cách tạo ra một mật khẩu?
Một lớp có 40 học sinh chụp ảnh tổng kết năm học. Lớp đó muốn trong bức ảnh có 18 học sinh ngồi ở hàng đầu và 22 học sinh đứng ở hàng sau. Có bao nhiêu cách xếp vị trí chụp ảnh như vậy?
Tải về File word Hoán vị – Chỉnh hợp – Bài tập Toán 10 sách Cánh Diều
