Nhị thức Newton – Sách bài tập toán 10 Cánh Diều Tập 2
Nhị thức Newton – Sách bài tập toán 10 Cánh Diều
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Công thức khai triển nhi thức Newton với :
${{(a+b)}^{4}}=\text{C}_{4}^{0}{{a}^{4}}+\text{C}_{4}^{1}{{a}^{3}}b+\text{C}_{4}^{2}{{a}^{2}}{{b}^{2}}+\text{C}_{4}^{3}a{{b}^{3}}+\text{C}_{4}^{4}{{b}^{4}}={{a}^{4}}+4{{a}^{3}}b+6{{a}^{2}}{{b}^{2}}+4a{{b}^{3}}+{{b}^{4}}$
${{(a+b)}^{5}}=\text{C}_{5}^{0}{{a}^{5}}+\text{C}_{5}^{1}{{a}^{4}}b+\text{C}_{5}^{2}{{a}^{3}}{{b}^{2}}+\text{C}_{5}^{3}{{a}^{2}}{{b}^{3}}+\text{C}_{5}^{4}a{{b}^{4}}+\text{C}_{5}^{5}{{b}^{5}}={{a}^{5}}+5{{a}^{4}}b+10{{a}^{3}}{{b}^{2}}+10{{a}^{2}}{{b}^{3}}+5a{{b}^{4}}+{{b}^{5}}$
Nhân xét: ${{(a-b)}^{4}}={{a}^{4}}-4{{a}^{3}}b+6{{a}^{2}}{{b}^{2}}-4a{{b}^{3}}+{{b}^{4}}$.
${{(a-b)}^{5}}={{a}^{5}}-5{{a}^{4}}b+10{{a}^{3}}{{b}^{2}}-10{{a}^{2}}{{b}^{3}}+5a{{b}^{4}}-{{b}^{5}}$.
B. ví dụ
Vấn đề 1. Khai triển nhị thức ${{(a+b)}^{n}}$ vơii $n=4,n=5$
Vi dụ 1 Khai triễn các biễu thức sau:
a) ${{(a+2)}^{4}}$;
b) ${{(a-2)}^{4}}$.
Giải
a) ${{(a+2)}^{4}}={{a}^{4}}+4\cdot {{a}^{3}}\cdot 2+6\cdot {{a}^{2}}\cdot {{2}^{2}}+4\cdot a\cdot {{2}^{3}}+{{2}^{4}}={{a}^{4}}+8{{a}^{3}}+24{{a}^{2}}+32a+16$.
b) ${{(a-2)}^{4}}={{a}^{4}}-4\cdot {{a}^{3}}\cdot 2+6\cdot {{a}^{2}}\cdot {{2}^{2}}-4\cdot a\cdot {{2}^{3}}+{{2}^{4}}={{a}^{4}}-8{{a}^{3}}+24{{a}^{2}}-32a+16$. Vi dụ 2 Cho $x$ là số thực khác 0 . Khai triển các biểu thức sau:
a) ${{\left( x+\frac{1}{x} \right)}^{4}}$
b) ${{\left( x-\frac{1}{x} \right)}^{4}}$
Giåi
a) ${{\left( x+\frac{1}{x} \right)}^{4}}={{x}^{4}}+4{{x}^{3}}\frac{1}{x}+6{{x}^{2}}{{\left( \frac{1}{x} \right)}^{2}}+4x{{\left( \frac{1}{x} \right)}^{3}}+{{\left( \frac{1}{x} \right)}^{4}}={{x}^{4}}+4{{x}^{2}}+6+\frac{4}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{x}^{4}}}$.
b) ${{\left( x-\frac{1}{x} \right)}^{4}}={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}\frac{1}{x}+6{{x}^{2}}{{\left( \frac{1}{x} \right)}^{2}}-4x{{\left( \frac{1}{x} \right)}^{3}}+{{\left( \frac{1}{x} \right)}^{4}}={{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+6-\frac{4}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{x}^{4}}}$.
Vi du 3 Khai triển các biểu thức sau:
a) ${{(2x+1)}^{5}}$.
b) ${{(2x-1)}^{5}}$
Giải
a) ${{(2x+1)}^{5}}={{(2x)}^{5}}+5\cdot {{(2x)}^{4}}\cdot 1+10\cdot {{(2x)}^{3}}\cdot {{1}^{2}}+10\cdot {{(2x)}^{2}}\cdot {{1}^{3}}+5\cdot \left( 2x \right)\cdot {{1}^{4}}+{{1}^{5}}$ $=32{{x}^{5}}+80{{x}^{4}}+80{{x}^{3}}+40{{x}^{2}}+10x+1$
b) ${{(2x-1)}^{5}}={{(2x)}^{5}}-5\cdot {{(2x)}^{4}}\cdot 1+10\cdot {{(2x)}^{3}}\cdot {{1}^{2}}-10\cdot {{(2x)}^{2}}\cdot {{1}^{3}}+5\cdot \left( 2x \right)\cdot {{1}^{4}}-{{1}^{5}}$ $=32{{x}^{5}}-80{{x}^{4}}+80{{x}^{3}}-40{{x}^{2}}+10x-1$. .
Vấn đề 2. Xác định hệ số của ${{x}^{k}}$ trong khai triển biểu thức ${{(ax+b)}^{n}}$ với $n=4$, $n=5$
Ví dụ Xác định hệ số của ${{x}^{3}}$ trong khai triển biểu thức ${{(3x-4)}^{4}}$.
Giải
Số hạng chứa ${{x}^{3}}$ trong khai triển biếu thức ${{(3x-4)}^{4}}$ là $4\cdot {{(3x)}^{3}}\cdot \left( -4 \right)=-432{{x}^{3}}$.
Vậy hệ số của ${{x}^{3}}$ trong khai triển biểu thức ${{(3x-4)}^{4}}$ là $-432$.
Vi dụ 5 Xác định hệ số của ${{x}^{2}}$ trong khai triển biểu thức ${{(3x-2)}^{5}}$.
Giải
Số hạng chứa ${{x}^{2}}$ trong khai triển biểu thức ${{(3x-2)}^{5}}$ là $10\cdot {{(3x)}^{2}}\cdot {{(-2)}^{3}}=-720{{x}^{2}}$.
Vậy hệ số của ${{x}^{2}}$ trong khai triển biểu thức ${{(3x-2)}^{5}}$ là $-720$.
BÀl TẬP
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?
${{(a+b)}^{4}}={{a}^{4}}+4{{a}^{3}}b+6{{a}^{2}}{{b}^{2}}+4a{{b}^{3}}+{{b}^{4}}$.
B. ${{(a-b)}^{4}}={{a}^{4}}-4{{a}^{3}}b+6{{a}^{2}}{{b}^{2}}-4a{{b}^{3}}+{{b}^{4}}$.
C. ${{(a+b)}^{4}}={{b}^{4}}+4{{b}^{3}}a+6{{b}^{2}}{{a}^{2}}+4b{{a}^{3}}+{{a}^{4}}$.
D. ${{(a+b)}^{4}}={{a}^{4}}+{{b}^{4}}$.
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng?
${{(a+b)}^{5}}={{a}^{5}}+5{{a}^{4}}b+10{{a}^{3}}{{b}^{2}}+10{{a}^{2}}{{b}^{3}}+5a{{b}^{4}}+{{b}^{5}}$.
B. ${{(a-b)}^{5}}={{a}^{5}}-5{{a}^{4}}b+10{{a}^{3}}{{b}^{2}}+10{{a}^{2}}{{b}^{3}}-5a{{b}^{4}}+{{b}^{5}}$.
C. ${{(a+b)}^{5}}={{a}^{5}}+{{b}^{5}}$.
D. ${{(a-b)}^{5}}={{a}^{5}}-{{b}^{5}}$.
Hệ số của ${{x}^{3}}$ trong khai triển biểu thức ${{(2x-1)}^{4}}$ là:
32 .
B. $-32$.
C. 8 .
D. $-8$.
Hệ số của $x$ trong khai triển biểu thức ${{(x-2)}^{5}}$ là:
32 .
B. $-32$.
C. 80 .
D. $-80$.
Khai triển các biểu thức sau:
a) ${{(4x+1)}^{4}}$
b) ${{(5x-3)}^{4}}$
${{\left( \frac{1}{3}x+5 \right)}^{5}}$
d) ${{\left( 3x-\frac{1}{3} \right)}^{5}}$
Xác định hệ số của ${{x}^{2}}$ trong khai triển biểu thức ${{(4x-3)}^{4}}$.
Xác định hệ số của ${{x}^{3}}$ trong khai triễn biểu thức ${{\left( \frac{2}{3}x+\frac{1}{4} \right)}^{5}}$.
Cho ${{\left( 2x-\frac{1}{3} \right)}^{4}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+{{a}_{3}}{{x}^{3}}+{{a}_{4}}{{x}^{4}}$. Tính:
a) ${{a}_{2}}$
b) ${{a}_{0}}+{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+{{a}_{4}}$.
Cho ${{\left( \frac{3}{5}x+\frac{1}{2} \right)}^{5}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+{{a}_{3}}{{x}^{3}}+{{a}_{4}}{{x}^{4}}+{{a}_{5}}{{x}^{5}}$. Tính:
a) ${{a}_{3}}$
b) ${{a}_{0}}+{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+{{a}_{4}}+{{a}_{5}}$.
37*. Tính các tổng sau (không sử dụng máy tính cầm tay):
a) $T=\text{C}_{4}^{0}+\frac{1}{2}\text{C}_{4}^{1}+\frac{1}{3}\text{C}_{4}^{2}+\frac{1}{4}\text{C}_{4}^{3}+\frac{1}{5}\text{C}_{4}^{4}$;
b) $S=C_{6}^{1}+2C_{6}^{2}+3C_{6}^{3}+4C_{6}^{4}+5C_{6}^{5}+6C_{6}^{6}$.
