Phân tích đa thức thành nhân tử – 2324

Phân tích đa thức thành nhân tử – 2324

Phần kiến thức và bài tập

Định lí bổ sung:

+ Đa thức $f(x)=a_{n} \cdot x^{n}+a_{n-1} \cdot x^{n-1}+\ldots+a_{0}$ có nghiệm nguyên thì nghiệm đó là ước của $\mathrm{a}_{0}$, có nghiệm hữu tỉ $\mathrm{p} / \mathrm{q}$ thì $\mathrm{p}$ là ước của hệ số tự do $\mathrm{a}_{0}, \mathrm{q}$ là ước dương của hệ số cao nhất $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}$.

+ Đa thức $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ có nghiệm $\mathrm{x}=\mathrm{a}$ thì $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ có một nhân tử là $\mathrm{x}-\mathrm{a}$

+ Nếu $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ có tổng các hệ số bằng 0 thì $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ có một nhân tử là $\mathrm{x}-1$

+ Nếu $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ thì $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ có một nhân tử là $\mathrm{x}+1$

Ngoài những phương pháp đã học trong SGK ta cần chú ý những phương pháp sau:

I. PHƯƠNG PHÁP NHẨM VÀ TÁCH NGHIỆM

1.1. Dạng bậc hai $a x^{2}+b x+c$
1. $x^{2}+x-12$
4. $6 x^{2}-x-1$
2. $3 x^{2}-8 x+4$
5. $\mathrm{x}^{2}-4 \mathrm{x}-12$
3. $8 x^{2}+10 x-12$

1.2. Dạng từ bậc 3 trở lên
6. $\mathrm{x}^{3}-\mathrm{x}^{2}-4$
7. $3 x^{3}-7 x^{2}+17 x-5$
8. $x^{3}+5 x^{2}+8 x+4$
9. $x^{5}-2 x^{4}+3 x^{3}-4 x^{2}+2$
10. $\mathrm{x}^{2}-\mathrm{x}-2001.2002$
11. $a^{3}+4 a^{2}-29 a+24$
12. $x^{3}+6 x^{2}+11 x+6$

II. THÊM, BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỦ’:

1. $4 x^{4}+81$
2. $x^{7}+x^{2}+1$
3. $\mathrm{x}^{7}+\mathrm{x}^{5}+1$

Ghi nhớ:

Các đa thức có dạng $\mathrm{x}^{3 \mathrm{~m}+1}+\mathrm{x}^{3 \mathrm{n}+2}+1$ như: $\mathrm{x}^{7}+\mathrm{x}^{2}+1 ; \mathrm{x}^{7}+\mathrm{x}^{5}+1 ; \mathrm{x}^{8}+\mathrm{x}^{4}+1$; $x^{5}+x+1 ; x^{8}+x+1 ; \ldots$ đều có nhân tử chung là $x^{2}+x+1$

III. ĐẶT BIẾN PHỤ:

1. $\mathrm{x}(\mathrm{x}+4)(\mathrm{x}+6)(\mathrm{x}+10)+128$

2. $\mathrm{A}=\left(\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}+\mathrm{z}^{2}\right)(\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z})^{2}+(\mathrm{xy}+\mathrm{yz}+\mathrm{zx})^{2}$.

IV. PHU’O’NG PHÁP ĐU’A VỀ ĐA THÚ’C ĐẶC BIỆT

Đưa về đa thức: $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3 a b c$

1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3 a b c$
b) $(x-y)^{3}+(y-z)^{3}+(z-x)^{3}$.

Đưa về đa thức: $(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c})^{3}-\mathrm{a}^{3}-\mathrm{b}^{3}-\mathrm{c}^{3}$}

2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) $(a+b+c)^{3}-a^{3}-b^{3}-c^{3}$.
b) $8(x+y+z)^{3}-(x+y)^{3}-(y+z)^{3}-(z-x)^{3}$

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) $a b(a-b)+b c(b-c)+c a(c-a)$
b) $a\left(b^{2}-c^{2}\right)+b\left(c^{2}-a^{2}\right)+c\left(a^{2}-b^{2}\right)$
c) $a\left(b^{3}-c^{3}\right)+b\left(c^{3}-a^{3}\right)+c\left(a^{3}-b^{3}\right)$

Bài 2:
a) $x^{2}-4 x y+4 y^{2}-2 x+4 y-35$
b) $\left(x^{2}+x+1\right)\left(x^{2}+x+2\right)-12$
c) $(x+2)(x+4)(x+6)(x+8)+16$
d) $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)-24$
e) $x(x+4)(x+6)(x+10)+128$

Bài 3 : Cho biểu thức: $A=\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)^{2}-4 b^{2} c^{2}$

Chứng minh rằng: Nếu $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ là độ dài các cạnh của 1 tam giác thì $\mathrm{A}<0$

Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

1. $x^{2}+y^{2}-z^{2}+2 x y-2 z-1$

2. $x^{2}-y^{2}+z^{2}-2 x z+2 y-1$

3. $x^{6}-2 x^{4}-x^{3} y^{3}+2 x y^{3}$

4. $x^{6}-x^{4}-9 x^{3}+9 x^{2}$

5. $(a+b+c)^{2}+(a-b+c)^{2}-4 b^{2}$

6. $x y(x+y)+y z(y+z)+z x(x+z)+3 x y z$

7. $x y(x+y)-y z(y+z)-z x(z-x)$

8. $x^{4}(y-z)+y^{4}(z-x)+z^{4}(x-y)$

9. $(a+b+c)(a b+b c+c a)-a b c$

10. $(a+b+c)^{3}-(a+b-c)^{3}-(b+c-a)^{3}-(c+a-b)^{3}$

11. $a^{2}(b-c)+b^{2}(c-a)+c^{2}(a-b)$

12. $\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)(x+y+z)^{2}+(x y+y z+z x)^{2}$

13. $2\left(x^{4}+y^{4}+z^{4}\right)-\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}-2\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)(x+y+z)^{2}+(x+y+z)^{4}$

14. $-c^{2}(a-b)+b^{2}(a-c)-a^{2}(b-c)$

15. $(x-y) z^{3}+(y-z) x^{3}+(z-x) y^{3}$

16. $a b(a+b)-b c(b+c)-a c(c-a)$

17. $(x-y)-x^{3}(1-y)+y^{3}(1-x)$

18. $4 a^{2} b^{2}(2 a+b)+b^{2} c^{2}(c-b)-4 c^{2} a^{2}(2 a+c)$

19. $x^{3}(y-z)+y^{3}(z-x)+z^{3}(x-y)$

20. $b c(a+d)(b-c)-a c(b+d)(a-c)+a b(c+d)(a-b)$

21. $(a-x) y^{3}-(a-y) x^{3}+(x-y) a^{3}$

22. $a(b+c)^{2}+b(a+c)^{2}+c(a+b)^{2}-4 a b c$

23. $a\left(b^{2}+c^{2}\right)+b\left(c^{2}+a^{2}\right)+c\left(a^{2}+b^{2}\right)+2 a b c$

24. $a^{3}(b-c)+b^{3}(c-a)+c^{3}(a-b)$

25. $a b c-(a b+b c+c a)+(a+b+c-1)$

26. $x^{2} y+x y^{2}+x z^{2}+y z^{2}+x^{2} z+y^{2} z+2 x y z$

Phần hướng dẫn giải

Bạn nào thắc mắc câu nào, nhắn tin thầy hướng dẫn giải