SGK Toán 8 CTST – Chương 5 – Bài 4. Hệ số góc của đường thẳng

Bài 4. Hệ số góc của đường thẳng

Khi nào thì hai đường thẳng

$y=ax+b\left( a\ne 0 \right)$

và $y={a}’x+{b}’\left( {{a}^{2}}\ne 0 \right)$

song song với nhau,

trùng nhau, cắt nhau?

HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNNG THẲNG $y=ax+b\left( a\ne 0 \right)$

a) Trong mặt phẳng tọa độ $\text{Oxy}$, cho đường thẳng $\text{y}=\text{ax}+\text{b}\left( \text{a}\ne 0 \right)$ cắt $\text{Ox}$ tại điểm $\text{A}$ và $\text{T}$ là một điểm trên đường thẳng $\text{y}=\text{ax}+\text{b}\left( \text{a}\ne 0 \right)$ có tung độ dương (Hình 1$)$.

Ta gọi $\alpha =\widehat{xAT}$ là góc tạo bởi đường thẳng $\text{y}=\text{ax}+\text{b}\left( \text{a}\ne 0 \right)$ và trục $\text{Ox}$.

Hãy nêu nhận xét của em về số đo của góc $\alpha $ và hệ số a trong hai trường hợp dưới đây.

a)

b)

Hinh 1

b) Hãy so sánh các hệ số $a$ của các đường thẳng $\text{y}=\text{ax}+\text{b}$ trong mỗi hình ở Hình 2 và so sánh các góc $\alpha $ hoặc các góc $\beta $ tạo bởi các đường thẳng đó với trục $\text{Ox}$.

a)

b)

$\text{Hinh}2$ Ta nhận thấy:

Khi hệ số $\text{a}$ dương $(\text{a}>0$ ) thì góc $\alpha $ tạo bời đường thẳng $\text{y}=\text{ax}+\text{b}$ và trục $\text{Ox}$ là góc nhọn. Hệ số $\text{a}$ càng lớn thì góc $\alpha $ càng lớn nhưng vẫn nhỏ hơn ${{90}^{\circ }}$.

Khi hệ số $\text{a}$ âm $(\text{a}<0)$ thì góc $\beta $ tạo bởi đường thẳng $\text{y}=\text{ax}+\text{b}$ và trục $\text{Ox}$ là góc tù. Hệ số $\text{a}$ càng lớn thì góc $\beta $ càng lớn nhưng vẫn nhó hơn ${{180}^{\circ }}$.

Hệ số $\text{a}$ là hệ số góc của đường thẳng $\text{y}=\text{ax}+\text{b}\left( \text{a}\ne 0 \right)$.

Ví du 1 . Tìm hệ số góc của các đường thẳng sau đây:
a) $\text{y}=0,7\text{x}$
b) $y=-2x+2022$
c) $y=-\frac{2}{3}x-2023$

Giải

a) Đường thẳng $\text{y}=0,7\text{x}$ có hệ số góc $\text{a}=0,7$.

b) Đường thẳng $\text{y}=-2\text{x}+2022$ có hệ số góc $\text{a}=-2$.

c) Đường thẳng $\text{y}=-\frac{2}{3}\text{x}-2023$ có hệ số góc $\text{a}=-\frac{2}{3}$.

Thực hành 1. Tìm hệ số góc của các đường thẳng sau đây:
a) $y=-5x-5$;
b) $y=\sqrt{3}x+3$
c) $y=\sqrt{11}x+\sqrt{7}$

Vận dụng 1. Trong các đường thẳng sau đây, đường thẳng nào tạo với $\text{Ox}$ một góc nhọn, đường thẳng nào tạo với $\text{Ox}$ một góc tù?
a) $y=3x+6$
b) $y=-4x+1$
c) $y=-3x-6$.

HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, HAI ĐƯỜNG THẲNG CẮT NHAU

Nhận biết hai đường thẳng song song

Quan sát Hình 3.

a) So sánh hệ số góc của hai đường thẳng: $d:y=2x+3$ và ${d}’:y=2x-2$.

Nêu nhận xét về vị trí giữa hai đường thẳng này.

b) Tìm đường thẳng $\text{d}$ ” đi qua gốc $\text{O}$ và song song với đường thẳng $\text{d}$.

Hinh 3

Hai đường thẳng phân biệt có hệ số góc bằng nhau thì song song với nhau và ngược lại, hai đường thẳng song song thì có hệ số góc bằng nhau.

Vídu 2.

a) Nêu nhận xét về vị trí giữa hai đường thẳng ${{\text{d}}_{1}}:\text{y}=-\text{x}+1$ và ${{\text{d}}_{2}}:\text{y}=-\text{x}-2$.
b) Tìm phương trình đường thẳng ${{\text{d}}_{3}}$ song song với đường thẳng ${{\text{d}}_{1}}$ và cắt trục $\text{Oy}$ tại điểm $\left( 0;3 \right)$.

Giải

a) Hai đường thẳng ${{\text{d}}_{1}}$ và ${{\text{d}}_{2}}$ phân biệt (cắt $\text{Oy}$ tại hai điểm khác nhau) và có hệ số góc bằng nhau (cùng bằng $-1$ ), suy ra ${{\text{d}}_{1}}//{{\text{d}}_{2}}$.

b) Đường thẳng ${{\text{d}}_{3}}$ song song với ${{\text{d}}_{1}}$, suy ra ${{\text{d}}_{3}}$ phải có hệ số góc bằng $-1$. Ta lại có ${{\text{d}}_{3}}$ đi qua điểm $\left( 0;3 \right)$. Vậy ${{\text{d}}_{3}}$ có phương trình $\text{y}=-\text{x}+3$.

Nhận biết hai đưòng thẳng cắt nhau

Quan sát Hình 4.

a) Tìm giao điểm của hai đường thẳng

$d:y=2x\text{ }\!\!~\!\!\text{ v }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{  }\!\!~\!\!\text{ }{d}’:y=x\text{. }\!\!~\!\!\text{ }$

b) Nêu nhận xét về hai đường thẳng có hệ số góc khác nhau.

c) Cho đường thẳng ${d}”:y=ax+b$ và cho biết $\text{{d}”}$ cắt $\text{d}$. Hệ số góc a của $\text{{d}”}$ có thể nhận các giá trị nào?

Hinh 4

Hai đường thẳng có hệ số góc khác nhau thì cắt nhau và ngược lại, hai đường thẳng cắt nhau thì có hệ số góc khác nhau.

Vidu3.

a) Tìm các cặp đường thẳng cắt nhau trong các đường thẳng sau:

${{\text{d}}_{1}}:\text{y}=5\text{x}+4;\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\text{d}}_{2}}:\text{y}=-2\text{x}-3;\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\text{d}}_{3}}:\text{y}=5\text{x}\text{. }\!\!~\!\!\text{ }$

b) Cho đường thẳng ${{\text{d}}_{4}}:\text{y}=\text{mx}+\text{n}$. Tìm điều kiện của $\text{m}$ để ${{\text{d}}_{4}}$ cắt ${{\text{d}}_{1}}$ và cắt ${{\text{d}}_{2}}$.

Giải

a) Ta có các cặp đường thẳng cắt nhau là: ${{\text{d}}_{1}}$ và ${{\text{d}}_{2}};{{\text{d}}_{2}}$ và ${{\text{d}}_{3}}$ vì hai đường thẳng trong mỗi cặp có hệ số góc khác nhau.

b) Điều kiện của $\text{m}$ đề ${{\text{d}}_{4}}$ cắt ${{\text{d}}_{1}}$ và cắt ${{\text{d}}_{2}}$ là $\text{m}\ne 5$ và $\text{m}\ne -2$. Ví du 4. Tìm các cặp đường thẳng cắt nhau hay song song trong các đường thẳng sau:

${{d}_{1}}:y=3x+2;\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{d}_{2}}:y=3x-6;\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{d}_{3}}:y=4x+2$

Giải

Hai đường thẳng ${{\text{d}}_{1}}$ và ${{\text{d}}_{2}}$ song song vì có hệ số góc bằng nhau.

Hai đường thẳng ${{\text{d}}_{1}}$ và ${{\text{d}}_{3}}$ cắt nhau vì có hệ số góc khác nhau.

Hai đường thẳng ${{\text{d}}_{2}}$ và ${{\text{d}}_{3}}$ cắt nhau vì có hệ số góc khác nhau.

Thực hành 2. Hãy chỉ ra ba cặp đường thẳng cắt nhau và các cặp đường thẳng song song với nhau trong các đường thẳng sau:

$\begin{array}{*{35}{l}}

{{d}_{1}}:y=3x; & {{d}_{2}}:y=-7x+9; & {{d}_{3}}:y=3x-0,8  \\

{{d}_{4}}:y=-7x-1; & {{d}_{5}}:y=\sqrt{2}x+10; & {{d}_{6}}:y=\sqrt{2}x+\sqrt{10}  \\

\end{array}$

Vận dụng 2.

Hinh 5

Hai ô tô khởi hành cùng lúc và cùng với tốc độ $50\text{ }\!\!~\!\!\text{ km}/\text{h}$, một ô tô bắt đầu từ $\text{B}$, một ô tô bắt đầu từ $\text{C}$ và cùng đi về phía $\text{D}$.

a) Viết công thức của hai hàm số biểu thị khoảng cách từ $\text{A}$ đến mỗi xe sau $\text{x}$ giờ.

b) Chứng tỏ đồ thị của hai hàm số trên là hai đường thẳng song song.

BÀI TẬP

Cho hàm số bậc nhất $\text{y}=\text{ax}-4$.

a) Tìm hệ số góc a biết rằng đồ thị hàm số đi qua điểm $\text{M}\left( 1;-2 \right)$.

b) Vẽ đồ thị của hàm số.

a) Vẽ đồ thị của hai hàm số $\text{y}=\text{x}$ và $\text{y}=\text{x}+2$ trên cùng một mặt phẳng toạ độ.

b) Dùng thước đo góc để tìm góc tạo bởi hai đường thẳng $\text{y}=\text{x}$ và $\text{y}=\text{x}+2$ với trục $\text{Ox}$.

Hãy chi ra ba cặp đường thẳng cắt nhau và các cặp đường thẳng song song với nhau trong các đường thẳng sau:

$\begin{array}{*{35}{l}}

{{d}_{1}}:y=0,2x; & {{d}_{2}}:y=-2x+4; & {{d}_{3}}:y=0,2x-0,8  \\

{{d}_{4}}:y=-2x-5; & {{d}_{5}}:y=\sqrt{3}x+3; & {{d}_{6}}:y=\sqrt{3}x-\sqrt{5}  \\

\end{array}$

Tìm hệ số góc $\text{a}$ để hai đường thẳng $\text{y}=\text{ax}+2$ và $\text{y}=9\text{x}-9$ song song với nhau.

Cho hai hàm số bậc nhất $\text{y}=2\text{mx}-5$ và $\text{y}=2\text{x}+1$.

Với giá trị nào của $\text{m}$ thỉ đồ thị của hai hàm số đã cho là:

a) Hai đường thẳng song song với nhau?

b) Hai đường thằng cắt nhau?

Cho đường thẳng d: $y=x+2023$. Hãy viết phương trình hai đường thẳng song song với $\text{d}$.

Cho đường thẳng d: $\text{y}=-\text{x}-2022$. Hãy viết phương trình hai đường thẳng cắt $\text{d}$. 8. Lan phụ giúp mẹ bán nước chanh, em nhận thấy số li nước chanh y bán được trong ngày và nhiệt độ trung bình $\text{x}\left( {{~}^{\circ }}\text{C} \right)$ của ngày hôm đó có mối tương quan. Lan ghi lại các giá trị tương ứng của hai đại lượng $\text{x}$ và $\text{y}$ trong bảng sau:

$\text{x}\left( {{~}^{\circ }}\text{C} \right)$	20	22	24	26	28	30
$\text{y}$ (li nước chanh)	10	11	12	13	14	15

 

a) So sánh các giá trị $\text{x}$ và $\text{y}$ tương ứng trong bảng dữ liệu trên với toạ độ $\left( \text{x};\text{y} \right)$ của các điểm A, B, C, D, E, F trên mặt phẳng toạ độ trong Hình 6.

Hinh 6

b) Cho biết đường thẳng d: $\text{y}=\text{mx}$ đi qua các điểm $\text{A},\text{B},\text{C},\text{D},\text{E},\text{F}$ ở câu $\text{a}$. Tìm hệ số góc của $\text{d}$.

Một xe khách khởi hành từ bến xe phía Nam buru điện thành phố Huế để đi vào thành phố Quy Nhơn với tốc độ $50\text{ }\!\!~\!\!\text{ km}/\text{h}$.

Hinh 7

a) Cho biết bến xe cách bưu điện thành phố Huế $4\text{ }\!\!~\!\!\text{ km}$. Sau x giờ, xe khách cách bưu điện thành phố Huế $\text{ykm}$. Tính $\text{y}$ theo $\text{x}$.

b) Tìm hệ số góc của đường thẳng là đồ thị của hàm số $\text{y}$ ở câu $\text{a}$.

Một người bắt đầu mở một vòi nước vào một cái bể đã chứa sã̃n $3\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\text{m}}^{3}}$ nước, mỗi giờ chảy được $1\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\text{m}}^{3}}$.

a) Tính thể tích $\text{y}\left( {{\text{m}}^{3}} \right)$ của nước có trong bể sau $\text{x}$ giờ.

b) Vẽ đồ thị của hàm số $\text{y}$ theo biến số $\text{x}$.

Sau bài học này, em đã làm được những gì?

• Nhận biết được khái niệm hệ số góc của đường thẳng $y=ax+b\left( a\ne 0 \right)$.
• Sử dụng được hệ số góc của đường thẳng để nhận biết và giải thích được sự cắt nhau hoặc song song của hai đường thẳng cho trước.