Tọa độ Vecto – SBT Toán 10 Cánh Diều Tập 2
Chương VII PHƯƠNG PHÁP TOA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
§1 TOẠ ĐỘ CỦA VECTO
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Toạ độ của một điểm
Để xác định toạ độ của một điểm $M$ tuỳ ỳ trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, ta làm như sau (Hinh I):
Từ $M$ kẻ đường thẳng vuông góc với trục hoành và cắt trục hoành tại điểm $H$ ứng với số $a$. Số $a$ là hoành độ của điểm $M$.
Từ $M$ kẻ đường thẳng vuông góc với trục tung và cắt trục tung tại điểm $K$ ứng với số $b$. Số $b$ là tung độ của điểm $M$.
Cặp số $\left( a;b \right)$ là toạ độ của điểm $M$ trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$. Ta kí hiệu là $M\left( a;b \right)$.
Toạ độ của một vectơ
Toạ độ của điểm $M$ được gọi là toạ độ của vectơ $\overrightarrow{OM}$. Nếu $\overrightarrow{OM}$ có toạ độ $\left( a;b \right)$ thì ta viết $\overrightarrow{OM}=\left( a;b \right)$ hay $\overrightarrow{OM}\left( a;b \right)$, trong đó $a,b$ lần lượt là hoành độ, tung độ của vectơ $\overrightarrow{OM}$.
Vectơ $\vec{i}$ có điểm gốc là $O$ và có toạ độ $\left( 1;0 \right)$ gọi là vectơ đơn vị trên trục $Ox$; vectơ $\vec{j}$ có điểm gốc là $O$ và có toạ độ $\left( 0;1 \right)$ gọi là vectơ đơn vị trên trục $Oy$.
Với mỗi vectơ $\vec{u}$ trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, toạ độ của vectơ $\vec{u}$ là tọa độ của điểm $A$, trong đó $A$ là điễm sao cho $\overrightarrow{OA}=\vec{u}$. Nếu $\vec{u}$ có toạ độ $\left( a;b \right)$ thi ta viết $\vec{u}=\left( a;b \right)$ hay $\vec{u}\left( a;b \right)$, trong đó $a,b$ lần lượt là hoành độ, tung độ của vectơ $\vec{u}$.
Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, nếu $\vec{u}=\left( a;b \right)$ thì $\vec{u}=a\vec{i}+b\vec{j}$. Ngược lại, nếu $\vec{u}=a\vec{i}+b\vec{j}$ thi $\vec{u}=\left( a;b \right)$.
Với $\vec{a}=\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right);\vec{b}=\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$, ta có $\vec{a}=\vec{b}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}{{x}_{1}}={{x}_{2}} \\{{y}_{1}}={{y}_{2}} \\\end{array} \right.$.
Liên hệ giữa toạ độ của điểm và toạ độ của vectơ
Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho hai điểm $A\left( {{x}_{A}};{{y}_{A}} \right)$ và $B\left( {{x}_{B}};{{y}_{B}} \right)$.
Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left( {{x}_{B}}-{{x}_{A}};{{y}_{B}}-{{y}_{A}} \right)$.
B. ví dụ
Vấn đề 1 . Tìm toạ độ của vectơ
Ví dụ 1 Tim toạ độ của các vectơ trong Hinh 2.
Hinh 2
Hinh 3
Giải
Trong Hinh 3, ta có:
Vẽ $\overrightarrow{OA}=\vec{a}$, ta có: $A\left( -5;-3 \right)$ nên $\vec{a}=\left( -5;-3 \right)$.
Vẽ $\overrightarrow{OB}=\vec{b}$, ta có: $B\left( 3;-4 \right)$ nên $\vec{b}=\left( 3;-4 \right)$.
Vẽ $\overrightarrow{OC}=\vec{c}$, ta có: $C\left( -1;3 \right)$ nên $\vec{c}=\left( -1;3 \right)$.
Vẽ $\overrightarrow{OD}=\vec{d}$, ta có: $D\left( 2;5 \right)$ nên $\vec{d}=\left( 2;5 \right)$.
Vi đụ 2 Tìm toạ độ của các vectơ sau:
a) $\vec{a}=-2\vec{i}$
b) $\vec{b}=3\vec{j}$
c) $\vec{c}=-4\vec{i}+\vec{j}$
d) $\vec{d}=\sqrt{5i}+\frac{1}{2}\vec{j}$.
Giải
a) $\vec{a}=\left( -2;0 \right)$;
b) $\vec{b}=\left( 0;3 \right)$;
c) $\vec{c}=\left( -4;1 \right)$
d) $\vec{d}=\left( \sqrt{5};\frac{1}{2} \right)$.
Vấn đề 2 . Tìm điều kiện để hai vectơ bằng nhau, chứng minh hai vectơ bằng nhau
Vi dụ 3 Tim các số thực $a$ và $b$ sao cho mỗi cặp vectơ sau bằng nhau:
a) $\vec{m}=\left( 3a-1;2b+1 \right)$ và $\vec{n}=\left( -4;2 \right)$;
b) $\vec{u}=\left( 2a-1;-3 \right)$ và $\vec{v}=\left( 3;4b+1 \right)$
c) $\vec{x}=\left( a+b;-2a+3b \right)$ và $\vec{y}=\left( 2a-3;4b \right)$.
Giải
a) $\vec{m}=\vec{n}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}3a-1=-4 \\2b+1=2 \\\end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}a=-1 \\b=\frac{1}{2} \\\end{array} \right. \right.$
b) $\vec{u}=\vec{v}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}2a-1=3 \\-3=4b+1 \\\end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}a=2 \\b=-1 \\\end{array} \right. \right.$
Vi dụ 4 Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho bốn điểm $A\left( -2;1 \right),B\left( 2;3 \right),C\left( 1;0 \right)$, $D\left( -3;-2 \right)$. Chứng $\text{minh}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.
Giải
Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left( 4;2 \right),\overrightarrow{DC}=\left( 4;2 \right)$. Suy ra $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.
Vấn đề 3 . Tìm toạ độ của một điểm thoả mãn điều kiện cho trước
Vi dụ 5 Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho ba điểm $A\left( 2;3 \right),B\left( -1;1 \right),C\left( 3;-1 \right)$.
a) Tìm toạ độ điểm $M$ sao cho $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BC}$.
b) Tìm toạ độ trung điểm $N$ của đoạn thẳng $AC$. Chứng minh $\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{NM}$.
Giải
a) Giả sử $M\left( x;y \right)$. Ta có: $\overrightarrow{AM}=\left( x-2;y-3 \right),\overrightarrow{BC}=\left( 4;-2 \right)$. $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BC}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}x-2=4 \\y-3=-2 \\\end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}x=6 \\y=1. \\\end{array} \right. \right.$ Vậy $M\left( 6;1 \right)$.
b) Giả sử $N\left( x;y \right)$. Ta có: $\overrightarrow{AN}=\left( x-2;y-3 \right),\overrightarrow{NC}=\left( 3-x;-1-y \right)$.
Vi $N$ là trung điểm của đoạn thẳng $AC$ nên ta có:
$\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{NC}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}x-2=3-x \\y-3=-1-y \\\end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}x=\frac{5}{2} \\y=1 \\\end{array} \right. \right.$ Vậy $N\left( \frac{5}{2};1 \right)$.
Ta có: $\overrightarrow{BN}=\left( \frac{7}{2};0 \right),\overrightarrow{NM}=\left( \frac{7}{2};0 \right)$. Suy ra $\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{NM}$ Vi dụ 6 Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$. Các điểm $M\left( 1;-2 \right)$, $N\left( 4;-1 \right)$ và $P\left( 6;2 \right)$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,CA,AB$. Tìm toạ độ của các điểm $A,B,C$.
Giải
Vi $M,N,P$ lần lượt là trung điềm của $BC,CA,AB$ nên tứ giác $ANMP$ là hình binh hành, suy ra $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{PM}$. Giả sử $A\left( {{x}_{A}};{{y}_{A}} \right)$.
Ta có: $\overrightarrow{AN}=\left( 4-{{x}_{A}};-1-{{y}_{A}} \right);\overrightarrow{PM}=\left( -5;-4 \right)$.
Suy ra: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}4-{{x}_{A}}=-5 \\-1-{{y}_{A}}=-4 \\\end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}{{x}_{A}}=9 \\{{y}_{A}}=3. \\\end{array} \right. \right.$ Vậy $A\left( 9;3 \right)$.
Tương tự, từ $\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{MN},\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{NP}$, ta tính được $B\left( 3;1 \right),C\left( -1;-5 \right)$.
BÀl TẬP
Toạ độ của vectơ $\vec{u}=-3\vec{i}+2\vec{j}$ là:
A. $\left( -3;2 \right)$.
B. $\left( 2;-3 \right)$.
C. $\left( -3\vec{i};2\vec{j} \right)$.
D. $\left( 3;2 \right)$.
Tọa độ của vectơ $\vec{u}=5\vec{j}$ là:
A. $\left( 5;0 \right)$.
B. $\left( 5;\vec{j} \right)$.
C. $\left( 0;5\vec{j} \right)$.
D. $\left( 0;5 \right)$.
Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho $A\left( 2;-5 \right)$. Toạ độ của vectơ $\overrightarrow{OA}$ là:
A. $\left( 2;5 \right)$.
B. $\left( 2;-5 \right)$.
C. $\left( -2;-5 \right)$.
D. $\left( -2;5 \right)$.
Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho $A\left( -1;3 \right),B\left( 2;-1 \right)$. Toạ độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là:
A. $\left( 1;-4 \right)$.
B. $\left( -3;4 \right)$.
C. $\left( 3;-4 \right)$.
D. $\left( 1;-2 \right)$.
Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho $\vec{u}=\left( -2;-4 \right),\vec{v}=\left( 2x-y;y \right)$. Hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ bằng nhau nếu:
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}x=1 \\y=-4 \\\end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}x=-3 \\y=-4 \\\end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}x=1 \\y=4 \\\end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}x=-3 \\y=4 \\\end{array} \right.$
Cho hình binh hành $ABCD$ có $A\left( -1;-2 \right)$, $B\left( 3;2 \right),C\left( 4;-1 \right)$. Toạ độ của đinhh $D$ là:
A. $\left( 8;3 \right)$.
B. $\left( 3;8 \right)$.
C. $\left( -5;0 \right)$.
D. $\left( 0;-5 \right)$.
Tìm toạ độ của các vectơ trong Hinh 4.
Hinh 4 8. Tìm các số thực $a$ và $b$ sao cho mỗi cặp vectơ sau bằng nhau:
a) $\vec{m}=\left( 2a+3;b-1 \right)$ và $\vec{n}=\left( 1;-2 \right)$;
b) $\vec{u}=\left( 3a-2;5 \right)$ và $\vec{v}=\left( 5;2b+1 \right)$;
c) $\vec{x}=\left( 2a+b;2b \right)$ và $\vec{y}=\left( 3+2b;b-3a \right)$.
Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho ba điểm không thẳng hàng $A\left( -4;2 \right),B\left( 2;4 \right)$, $C\left( 8;-2 \right)$. Tìm toạ độ của điểm $D$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.
Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho tứ giác $ABCD$ có $A\left( {{x}_{A}};{{y}_{A}} \right);B\left( {{x}_{B}};{{y}_{B}} \right)$; $C\left( {{x}_{C}};{{y}_{C}} \right);D\left( {{x}_{D}};{{y}_{D}} \right)$. Chứng minh rằng tứ giác $ABCD$ là hinh binh hành khi và chỉ khi ${{x}_{A}}+{{x}_{C}}={{x}_{B}}+{{x}_{D}}$ và ${{y}_{A}}+{{y}_{C}}={{y}_{B}}+{{y}_{D}}$
Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho ba điểm không thẳng hàng $M\left( 1;-2 \right),N\left( 3;1 \right)$, $P\left( -1;2 \right)$. Tìm toạ độ điểm $Q$ sao cho tứ giác $MNPQ$ là hình thang có $MN//PQ$ và $PQ=2MN$.
