Tổng hợp đề thi HSG Toán 8 Thành phố Móng Cái – Có file word và đáp án

Tổng hợp đề thi HSG Toán 8 Thành phố Móng Cái – Có file word và đáp án

Đề thi HSG Toán 8 Thành phố Móng Cái  – 2011 – 2012

Bài 1. (4,0 điểm)

Cho biểu thức $M=\left( \frac{{{x}^{2}}-2x}{2{{x}^{2}}+8}-\frac{2{{x}^{2}}}{8-4x+2{{x}^{2}}-{{x}^{3}}} \right).\left( 1-\frac{1}{x}-\frac{2}{{{x}^{2}}} \right)$

1. Rút gọn M
2. Tìm $x$nguyên để$M$có giá trị là số nguyên dương
3. Tìm $x$để $M\ge -3$

Bài 2. (6,0 điểm)

1. Cho $x,y$là hai số dương và ${{x}^{2010}}+{{y}^{2010}}={{x}^{2011}}+{{y}^{2011}}={{x}^{2012}}+{{y}^{2012}}.$Tính giá trị của biểu thức $S={{x}^{2020}}+{{y}^{2020}}$
2. Giải phương trình: $\frac{x-2015}{2010}+\frac{x+2007}{2012}=\frac{x+2006}{2011}+\frac{x-2018}{2013}$
3. Tìm $x$và $y$thỏa mãn: ${{y}^{2}}+2\left( {{x}^{2}}+1 \right)=2y\left( x+1 \right)$

Bài 3. (4,0 điểm)

1. Chứng minh $\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\ge a+b+c$với mọi số dương $a,b,c.$
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $L={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+7{{x}^{2}}-12x+20$

Bài 4. (6,0 điểm)

          Cho tam giác $ABC$vuông tại A $\left( AC>AB \right)$. Vẽ đường cao $AH\left( H\in BC \right).$Trên tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho $KH=HA.$Qua K kẻ đường thẳng song song với AH, cắt đường thẳng AC tại P.

1. Chứng minh : Tam giác $AKC$đồng dạng với tam giác $BPC$
2. Gọi Q là trung điểm của BP. Chứng minh tam giác $BHQ$ đồng dạng với tam giác $BPC.$
3. Tia $AQ$cắt BC tại I. Chứng minh $\frac{AH}{HB}-\frac{BC}{IB}=1$

ĐÁP ÁN

Câu 1.

1. $2{{x}^{2}}+8=2\left( {{x}^{2}}+4 \right)\ne 0;8-4x+2{{x}^{2}}-{{x}^{3}}=\left( 2-x \right)\left( {{x}^{2}}+4 \right)\ne 0$và $x\ne 0$

$M$xác định $\Leftrightarrow x\ne 2;x\ne 0$

$\begin{align}& M=\left( \frac{{{x}^{2}}-2x}{2\left( {{x}^{2}}+4 \right)}-\frac{2{{x}^{2}}}{\left( 2-x \right)\left( {{x}^{2}}+4 \right)} \right).\frac{{{x}^{2}}-x-2}{{{x}^{2}}} \\& =\frac{\left( {{x}^{2}}-2x \right)\left( 2-x \right)-4{{x}^{2}}}{2\left( 2-x \right)\left( {{x}^{2}}+4 \right)}.\frac{\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)}{{{x}^{2}}} \\& =\frac{-x\left( {{x}^{2}}+4 \right)}{2\left( 2-x \right)\left( {{x}^{2}}+4 \right)}.\frac{\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)}{{{x}^{2}}}=\frac{x+1}{2x} \\\end{align}$

Với $x\ne 2;x\ne 0,M$ có giá trị nguyên dương $\Leftrightarrow M=\frac{x+1}{2x}$có giá trị nguyên dương $\Rightarrow 2M=\frac{2x+2}{2x}=1+\frac{1}{x}$ nguyên dương

$x\in \mathbb{Z};2M\in \mathbb{Z}\Rightarrow \frac{1}{x}\in \mathbb{Z}\Rightarrow x$là ước của 1$\Rightarrow x=\pm 1$(Thỏa mãn điều kiện)

Thử lại: Với $x=1$ta có: $M=\frac{x+1}{2x}$có giá trị bằng 1(Thỏa mãn)

Với $x=-1$ ta có: $M=\frac{x+1}{2x}$có giá trị bằng 0 (không thỏa mãn)

Vậy $x=1$

$M\ge -3\Leftrightarrow x\ne 2;x\ne 0;\frac{x+1}{2x}\ge -3$

$\frac{x+1}{2x}\ge -3\Leftrightarrow \frac{x+1}{2x}+3\ge 0\Leftrightarrow \frac{7x+1}{2x}\ge 0$

Ta có: $\left\{ \begin{align}& 7x+1\ge 0 \\& 2x>0 \\\end{align} \right.$hoặc $\left\{ \begin{align}& 7x+1\le 0 \\& 2x<0 \\\end{align} \right..$Giải được $x>0$hoặc $x\le \frac{-1}{7}$

Kết hợp với điều kiện ta có: $M\ge -3\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x>0 \\& x\ne 2 \\\end{align} \right.$hoặc $x\le \frac{-1}{7}$

Câu 2.

2a) Có ${{x}^{2012}}+{{y}^{2012}}=\left( {{x}^{2011}}+{{y}^{2011}} \right)\left( x+y \right)-\left( {{x}^{2010}}+{{y}^{2010}} \right).xy$

Do $x,y$là hai số dương và ${{x}^{2010}}+{{y}^{2010}}={{x}^{2011}}+{{y}^{2011}}={{x}^{2012}}+{{y}^{2012}}$

Nên ${{x}^{2010}}+{{y}^{2010}}={{x}^{2011}}+{{y}^{2011}}={{x}^{2012}}+{{y}^{2012}}$$=m>0$

$m=m\left( x+y \right)-mxy\Leftrightarrow 1=x+y-xy\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( 1-y \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=1 \\& y=1 \\\end{align} \right.$

Với $x=1\Rightarrow {{y}^{2010}}={{y}^{2011}}\Leftrightarrow y=0$(loại) hoặc $y=1$

Với $y=1\Rightarrow {{x}^{2010}}={{x}^{2011}}\Leftrightarrow x=0(ktm)$ hoặc $x=1$

2b.

$\begin{align}& \frac{x-2015}{2010}+\frac{x+2007}{2012}=\frac{x+2006}{2011}+\frac{x-2018}{2013} \\  & \Leftrightarrow \left( \frac{x-2015}{2010}+1 \right)+\left( \frac{x+2007}{2012}-1 \right)=\left( \frac{x+2006}{2011}-1 \right)+\left( \frac{x-2018}{2013}+1 \right) \\  & \Leftrightarrow \frac{x-5}{2010}+\frac{x-5}{2012}-\frac{x-5}{2011}-\frac{x-5}{2013}=0 \\& \Leftrightarrow \left( x-5 \right)\left( \frac{1}{2010}+\frac{1}{2012}-\frac{1}{2011}-\frac{1}{2013} \right)=0 \\ & \Leftrightarrow x=5\left( Do\frac{1}{2010}+\frac{1}{2012}-\frac{1}{2011}-\frac{1}{2013}\ne 0 \right) \\ \end{align}$

 2c.

$\begin{array}{l}
{y^2} + 2\left( {{x^2} + 1} \right) = 2y\left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow {y^2} – 2y\left( {x + 1} \right) + 2\left( {{x^2} + 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ {{y^2} – 2y\left( {x + 1} \right) + {{\left( {x + 1} \right)}^2}} \right] + \left( {{x^2} – 2x + 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow {\left( {y – x – 1} \right)^2} + {\left( {x – 1} \right)^2} = 0\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y – x – 1 = 0\\
x – 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y = 2
\end{array} \right.
\end{array}$

Câu 3.

3a. Với mọi số dương $a,b,c$ta có:

$\begin{align}& \frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\ge a+b+c\Leftrightarrow \frac{{{\left( bc \right)}^{2}}}{abc}+\frac{{{\left( ac \right)}^{2}}}{abc}+\frac{{{\left( ab \right)}^{2}}}{abc}\ge a+b+c \\& \Leftrightarrow {{\left( bc \right)}^{2}}+{{\left( ac \right)}^{2}}+{{\left( ab \right)}^{2}}\ge {{a}^{2}}bc+{{b}^{2}}ac+{{c}^{2}}ab \\& \Leftrightarrow 2{{\left( bc \right)}^{2}}+2{{\left( ac \right)}^{2}}+2{{\left( ab \right)}^{2}}-2{{a}^{2}}bc-2{{b}^{2}}ac-2{{c}^{2}}ab\ge 0 \\& \Leftrightarrow \left[ {{\left( ac \right)}^{2}}-2{{a}^{2}}bc+{{\left( ab \right)}^{2}} \right] +\left[ {{\left( bc \right)}^{2}}-2{{b}^{2}}ac+{{\left( ab \right)}^{2}} \right] +\left[ {{\left( ac \right)}^{2}}-2{{c}^{2}}ab+{{\left( bc \right)}^{2}} \right] \ge 0 \\\end{align}$

$\Leftrightarrow {{\left( ac-ab \right)}^{2}}+{{\left( bc-ab \right)}^{2}}+{{\left( ac-bc \right)}^{2}}\ge 0$

BĐT cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh.

3b.

$\begin{array}{l}
L = {x^4} – 4{x^3} + 7{x^2} – 12x + 20 = {x^4} – 4{x^3} + 4{x^2} + 3{x^2} – 12x + 12 + 8\\
= {x^2}\left( {{x^2} – 4x + 4} \right) + 3\left( {{x^2} – 4x + 4} \right) + 8 = {\left( {x – 2} \right)^2}\left( {{x^2} + 3} \right) + 8
\end{array}$

Do ${{\left( x-2 \right)}^{2}}\ge 0(\forall x);\left( {{x}^{2}}+3 \right)>0\left( \forall x \right)\Rightarrow L\ge 8\forall x$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow x=2.$ Vậy với $x=2$thì L có giá trị nhỏ nhất.

Giá trị nhỏ nhất của L là 8

 Câu 4.

1. $PK//AH\Rightarrow \Delta CKP\sim \Delta CAB\Rightarrow \frac{CK}{CP}=\frac{CA}{CB}$

Suy ra $\Delta AKC\sim \Delta BPC\left( c.g.c \right)(1)$

1. $\Delta AKH$vuông cân tại H $\Rightarrow \widehat{{{K}_{1}}}={{45}^{0}}.$Từ (1)$\Rightarrow \widehat{{{K}_{1}}}=\widehat{{{P}_{1}}}={{45}^{0}}\Rightarrow $$\Delta BAP$vuông cân tại A$\Rightarrow BP=AB\sqrt{2}$

Chứng minh $\Delta BHA\sim \Delta BAC\Rightarrow \frac{BH}{AB}=\frac{AB}{BC}$

$\begin{align}& \Rightarrow \frac{BH}{AB}=\frac{\sqrt{2}AB}{\sqrt{2}BC}\Rightarrow \frac{BH}{\sqrt{2}AB}=\frac{AB}{\sqrt{2}BC}\Rightarrow \frac{BH}{\sqrt{2}AB}=\frac{\sqrt{2}AB}{2BC} \\& \Rightarrow \frac{BH}{BP}=\frac{BP}{2BC}\Rightarrow \frac{BH}{BP}=\frac{BQ}{BC}\left( BP=2BQ \right) \\\end{align}$

$\Delta BHQ$và $\Delta BPC$có: $\frac{BH}{BP}=\frac{BQ}{BC};\widehat{PBC}$chung $\Rightarrow \Delta BHQ\sim \Delta BPC\left( c.g.c \right)$

$\Delta BAP$vuông cân tại A, AQ là trung tuyến nên cũng là phân giác $\Rightarrow AI$là phân giác ngoài của $\Delta ABC\Rightarrow \frac{IC}{IB}=\frac{AC}{AB}(2)$

$\Delta ABC\sim \Delta HBA\Rightarrow \frac{AC}{AB}=\frac{AH}{HB}(3)$

Từ (2) và (3) ta có:

$\begin{align}& \frac{IC}{IB}=\frac{AH}{HB}\Rightarrow \frac{IB+BC}{IB}=\frac{AH}{HB}\Rightarrow 1+\frac{BC}{IB}=\frac{AH}{HB} \\& \Rightarrow \frac{AH}{HB}-\frac{BC}{IB}=1\left( dfcm \right) \\\end{align}$