Tổng hợp đề thi HSG Toán 9 – Huyện Hương Khê

Tổng hợp đề thi HSG Toán 9 – Huyện Hương Khê

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN HƯƠNG KHÊ NĂM 2018 – 2019

PHẦN GHI KẾT QUẢ (Thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi)

Câu 1. Rút gọn biểu thức $A=(2+1)({{2}^{2}}+1)({{2}^{4}}+1)…({{2}^{256}}+1)+1$

Câu 2. Biết $a+b+c=0$. Tính $B=\frac{ab}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}+\frac{bc}{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}+\frac{ac}{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}-{{b}^{2}}}$

Câu 3. Tìm số tự nhiên $a$sao cho $a(a+1)+a(a+2)+(a+1)(a+2)=341$

Câu 4. Tính diện tích hình thang $ABCD$$(AD//BC)$có hai đường chéo cắt nhau tại $O$. Biết diện tích hai tam giác $OBC$ và $OAD$lần lượt là $81c{{m}^{2}}$ và $36c{{m}^{2}}$

Câu 5. Tính giá trị biểu thức $A=\sqrt{2}(\sqrt{2}-2)+{{(\sqrt{2}+1)}^{2}}$

Câu 6. Viết một số tiếp theo của dãy $:1;4;18;96;600;…$

Câu 7. Tìm  $x$ biết $(x-2){{({{x}^{2}}+6x-11)}^{2}}={{(5{{x}^{2}}-10x+1)}^{2}}$

Câu 8. Cho $3$ số $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=3$ và ${{x}^{4}}+{{y}^{4}}+{{z}^{4}}=3xyz$.

Tính giá trị của $M={{x}^{2018}}+{{y}^{2019}}+{{z}^{2020}}$

Câu 9. Tìm đa thức dư của phép chia ${{x}^{2019}}+{{x}^{2018}}+x+2018$ cho${{x}^{2}}-1$

Câu 10. Một túi đựng những quả bóng cùng cỡ có 7 quả bóng màu đỏ, 8 bóng xanh và 3 bóng vàng. Hỏi ít nhất phải lấy bao nhiêu quả để chắc chắn lấy được 3 quả bóng màu đỏ.

PHẦN TỰ LUẬN(Thí sinh trình bày lời giải vào tờ giây thi)

Câu 11. Giải phương trình $\sqrt{x-2\sqrt{x-3}-2}=1$

Câu 12. Cho tam giác $ABC$vuông tại $A$ có $M$ là trung điểm $BC$. Trên nửa mặt phẳng bờ $BC$ có chứa điểm $A$ vẽ các tia $Bx,Cy$ cùng vuông góc với $BC$. Đường thẳng vuông góc với $AM$ tại $A$ cắt $Bx$ ở $D$ và $Cy$ ở $E$, $DC$ cắt $BE$ tại $I$, $AI$ cắt $BC$ tại $K$. Chứng minh rằng

a) Tam giác $DAB$cân tại $D$

b) $AK$vuông góc với $BC$

c) $I$ là trung điểm của $AK$.

Câu 13. Giờ Toán cô giáo trả bài kiểm tra . Bốn bạn Tuấn, Hùng, Lan, Quân ngồi cùng bàn đều đạt điểm 8 trở lên. Giờ ra chơi Phương hỏi điểm của 4 bạn, Tuấn trả lời: Lan không đạt điểm 10, Mình và Quân không đạt điểm 9 còn Hùng không đạt điểm 8, Hùng nói: Mình không đạt điểm 10, Lan không đạt điểm 9 còn Tuấn và Quân đều không đạt điểm 8. Bạn hãy cho biết mỗi người đạt mấy điểm?

 LỜI GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN HƯƠNG KHÊ NĂM 2018 – 2019

PHẦN GHI KẾT QUẢ

Câu 1. Rút gọn biểu thức $A=(2+1)({{2}^{2}}+1)({{2}^{4}}+1)…({{2}^{256}}+1)+1$

Kết quả:$A={{2}^{512}}$

Câu 2. Biết $a+b+c=0$. Tính $B=\frac{ab}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}+\frac{bc}{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}+\frac{ac}{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}-{{b}^{2}}}$

Kết quả:$B=-\frac{3}{2}$

Câu 3. Tìm số tự nhiên $a$sao cho $a(a+1)+a(a+2)+(a+1)(a+2)=341$

Kết quả: Không tồn tại số $a$ thỏa mãn

Câu 4. Tính diện tích hình thang $ABCD$$(AD//BC)$có hai đường chéo cắt nhau tại $O$. Biết diện tích hai tam giác $OBC$ và $OAD$lần lượt là $81c{{m}^{2}}$ và $36c{{m}^{2}}$

Kết quả:$225c{{m}^{2}}$

Câu 5. Tính giá trị biểu thức $A=\sqrt{2}(\sqrt{2}-2)+{{(\sqrt{2}+1)}^{2}}$

Kết quả:$A=5$

Câu 6. Viết một số tiếp theo của dãy $:1;4;18;96;600;…$

Kết quả:$6.6!=4320$

Câu 7. Tìm  $x$ biết $(x-2){{({{x}^{2}}+6x-11)}^{2}}={{(5{{x}^{2}}-10x+1)}^{2}}$

Kết quả:$x=3$

Câu 8. Cho $3$ số $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=3$ và ${{x}^{4}}+{{y}^{4}}+{{z}^{4}}=3xyz$.

Tính giá trị của $M={{x}^{2018}}+{{y}^{2019}}+{{z}^{2020}}$

Kết quả:$M=3$

Câu 9. Tìm đa thức dư của phép chia ${{x}^{2019}}+{{x}^{2018}}+x+2018$ cho${{x}^{2}}-1$

Kết quả:$2x+2019$

Câu 10. Một túi đựng những quả bóng cùng cỡ có 7 quả bóng màu đỏ, 8 bóng xanh và 3 bóng vàng. Hỏi ít nhất phải lấy bao nhiêu quả để chắc chắn lấy được 3 quả bóng màu đỏ.

Kết quả:$14$ quả

PHẦN TỰ LUẬN

Câu 11. Giải phương trình $\sqrt{x-2\sqrt{x-3}-2}=1$

Lời giải

Ta có $x-2\sqrt{x-3}-2=x-3-2\sqrt{x-3}+1={{(\sqrt{x-3}-1)}^{2}}$. Do đó ĐKXĐ: $x\ge 3$

Phương trình
$ \Leftrightarrow \left| {\sqrt {x – 3} – 1} \right| = 1 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\sqrt {x – 3} – 1 = 1 \hfill \cr
\sqrt {x – 3} – 1 = – 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\sqrt {x – 3} = 2 \hfill \cr
\sqrt {x – 3} = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 7 \hfill \cr
x = 3 \hfill \cr} \right.$

Phương trình có các nghiệm: $x=3,x=7.$

Câu 12. Cho tam giác $ABC$vuông tại $A$ có $M$ là trung điểm $BC$. Trên nửa mặt phẳng bờ $BC$ có chứa điểm $A$ vẽ các tia $Bx,Cy$ cùng vuông góc với $BC$. Đường thẳng vuông góc với $AM$ tại $A$ cắt $Bx$ ở $D$ và $Cy$ ở $E$, $DC$ cắt $BE$ tại $I$, $AI$ cắt $BC$ tại $K$. Chứng minh rằng

a) Tam giác $DAB$cân tại $D$

b) $AK$vuông góc với $BC$

c) $I$ là trung điểm của $AK$.

Lời giải

a) Vì $MB=MC$ nên \[MA=MB=MC;\widehat{MAD}=\widehat{MBD}={{90}^{0}}\]

Cạnh huyền $DM$chung nên $\Delta MAD=\Delta MBD$$\Rightarrow DA=DB\Rightarrow \Delta DAB$cân tại $D$

b) Tương tự a) ta có $\Delta MAE=\Delta MCE\Rightarrow EA=EC$. Áp dụng hệ quả định lý Ta-Let ta có:

$DB//EC$ và $\frac{EC}{DB}=\frac{IE}{IB}\Rightarrow \frac{EA}{DA}=\frac{IE}{IB}$. Suy ra $AI//DB$ mà $DB\bot BC\Rightarrow AK\bot BC$

c) Áp dụng hệ quả định lý Ta-Lét ta có: $\frac{IA}{DB}=\frac{IE}{BE}=\frac{IC}{DC}=\frac{IK}{DE}\Rightarrow IA=IK.$

Câu 13. Giờ Toán cô giáo trả bài kiểm tra . Bốn bạn Tuấn, Hùng, Lan, Quân ngồi cùng bàn đều đạt điểm 8 trở lên. Giờ ra chơi Phương hỏi điểm của 4 bạn, Tuấn trả lời: Lan không đạt điểm 10, Mình và Quân không đạt điểm 9 còn Hùng không đạt điểm 8, Hùng nói: Mình không đạt điểm 10, Lan không đạt điểm 9 còn Tuấn và Quân đều không đạt điểm 8. Bạn hãy cho biết mỗi người đạt mấy điểm?

Lời giải

Theo Tuấn và Hùng nói

+ Lan không đạt điểm 10, điểm 9. Suy ra Lan đạt điểm 8

+ Quân không đạt điểm 9, điểm 8. Suy ra Lan đạt điểm 10

+ Hùng không đạt điểm 8, điểm 10. Suy ra Lan đạt điểm 9

+ Tuấn không đạt điểm 9, điểm 8. Suy ra Lan đạt điểm 10