Tổng hợp đề thi HSG Toán 9 – Huyện Hương Sơn
Tổng hợp đề thi HSG Toán 9 – Huyện Hương Sơn
ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN HƯƠNG SƠN NĂM HỌC 2018-2019
PHẦN GHI KẾT QUẢ (thí sinh chỉ ghi kết quả vào tờ giấy thi).
- Tính $A=\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+…+\frac{1}{\sqrt{2018}+\sqrt{2019}}$.
- Tìm nghiệm nguyên của phương trình $xy-2x-y=1$.
- Với giá trị nào của $x$ thì $B=-x+3+2\sqrt{x-2}$ có giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.
- Một đoàn tàu chạy ngang qua một cột điện hết $8$ giây. Cũng với vận tốc đó đoàn tàu chui qua một đường hầm dài $260$ m hết $1$ phút. Tính chiều dài và vận tốc của đoàn tàu.
- Cho $x$, $y$ thỏa mãn ${{x}^{2}}+3{{y}^{2}}=4xy$. Tính $P=\frac{2x+5y}{x-2y}$.
- Cho $x>0$ và ${{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}=7$. Tính giá trị của $A={{x}^{5}}+\frac{1}{{{x}^{5}}}$.
- Giải phương trình $\sqrt{x-4}+\sqrt{6-x}={{x}^{2}}-10x+27$.
- Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi I là một điểm nằm trên cạnh AB. Tia DI cắt tia CB tại K. Tính tổng $\frac{1}{D{{I}^{2}}+D{{K}^{2}}}$.
- Cho hình thang ABCD có $\widehat{A}=\widehat{D}=90{}^\circ $, $\widehat{B}=60{}^\circ $, $CD=30$ cm, $CA\bot CB$. Tính diện tích của hình thang ABCD.
- Cho $\Delta ABC$ đều điểm M nằm trong $\Delta ABC$ sao cho $A{{M}^{2}}=B{{M}^{2}}+C{{M}^{2}}$. Tính $\widehat{BMC}$.
PHẦN TỰ LUẬN (thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi).
11. Cho biểu thức $P=\frac{x}{x-\sqrt{x}}+\frac{2}{x+2\sqrt{x}}+\frac{x+2}{\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( x+2\sqrt{x} \right)}$ với $x>0$, $x\ne 1.$
a) Rút gọn $P.$
b) Tìm giá trị nguyên của $x$ để $P$ nhận giá trị nguyên.
12. Cho tam giác $\Delta ABC$ có $\widehat{A}=90{}^\circ $, $G$ là trọng tâm, $BD$ là phân giác của $\widehat{B}$. Biết $GD\bot AC.$ Tính số đo $\widehat{ADB}$.
13. Cho tam giác $\Delta ABC$, phân giác góc $\widehat{A}$ cắt $BC$ tại $D$, trên các đoạn thẳng $DB,\,\,DC$ lần lượt lấy điểm $E$ và $F$ sao cho $\widehat{EAD}=\widehat{FAD}$. Chứng minh rằng $\frac{BE}{CE}.\frac{BF}{CF}=\frac{A{{B}^{2}}}{A{{C}^{2}}}$.
14. Cho $x,\,\,y,\,\,z>0$ thỏa mãn $x+y+z=1$. Chứng minh rằng $\frac{1}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}+\frac{1}{xyz}\ge 30.$
……………….HẾT…………….
LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG HƯƠNG SƠN NĂM HỌC 2018-2019
PHẦN GHI KẾT QUẢ (thí sinh chỉ ghi kết quả vào tờ giấy thi).
Tính $A=\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+…+\frac{1}{\sqrt{2018}+\sqrt{2019}}$.
Đáp số: $A=\sqrt{2019}-1$.
Tìm nghiệm nguyên của phương trình $xy-2x-y=1$.
Đáp số: $\left( x;y \right)$ là $\left( -2;1 \right)$, $\left( 0;-1 \right)$, $\left( 2;5 \right)$, $\left( 4;3 \right)$.
Với giá trị nào của $x$ thì $B=-x+3+2\sqrt{x-2}$ có giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.
Đáp số: Giá trị lớn nhất là $2$ khi đó $x=3$.
Một đoàn tàu chạy ngang qua một cột điện hết $8$ giây. Cũng với vận tốc đó đoàn tàu chui qua một đường hầm dài $260$ m hết $1$ phút. Tính chiều dài và vận tốc của đoàn tàu.
Đáp số: $40$ m và $5$ m/s.
Cho $x$, $y$ thỏa mãn ${{x}^{2}}+3{{y}^{2}}=4xy$. Tính $P=\frac{2x+5y}{x-2y}$.
Đáp số: $P=-5$, $P=11$.
Cho $x>0$ và ${{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}=7$. Tính giá trị của $A={{x}^{5}}+\frac{1}{{{x}^{5}}}$.
Đáp số: $A=123$.
Giải phương trình $\sqrt{x-4}+\sqrt{6-x}={{x}^{2}}-10x+27$.
Đáp số: $x=5$.
Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi I là một điểm nằm trên cạnh AB. Tia DI cắt tia CB tại K. Tính tổng $\frac{1}{D{{I}^{2}}+D{{K}^{2}}}$.
Đáp số: $\frac{1}{D{{I}^{2}}+D{{K}^{2}}}=\frac{1}{{{a}^{2}}}$.
Cho hình thang ABCD có $\widehat{A}=\widehat{D}=90{}^\circ $, $\widehat{B}=60{}^\circ $, $CD=30$ cm, $CA\bot CB$. Tính diện tích của hình thang ABCD.
Đáp số: $350\sqrt{3}$ cm2.
Cho $\Delta ABC$ đều điểm M nằm trong $\Delta ABC$ sao cho $A{{M}^{2}}=B{{M}^{2}}+C{{M}^{2}}$. Tính $\widehat{BMC}$.
Đáp số: $\widehat{BMC}=150{}^\circ $.
PHẦN TỰ LUẬN (thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi).
Câu 11
Cho biểu thức $P=\frac{x}{x-\sqrt{x}}+\frac{2}{x+2\sqrt{x}}+\frac{x+2}{\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( x+2\sqrt{x} \right)}$ với $x>0$, $x\ne 1.$
Rút gọn $P.$
Tìm giá trị nguyên của $x$ để $P$ nhận giá trị nguyên.
Lời giải:
Ta có :
$\begin{align}& P=\frac{\sqrt{x}\left( x+2\sqrt{x} \right)+2\left( \sqrt{x}-1 \right)}{\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( x+2\sqrt{x} \right)}+\frac{x+2}{\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( x+2\sqrt{x} \right)} \\&=\frac{x\sqrt{x}+3x+2\sqrt{x}}{\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( x+2\sqrt{x} \right)}=\frac{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}+1 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)}=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1} \\\end{align}$
Ta có : $P=\frac{\sqrt{x}-1+2}{\sqrt{x}-1}=1+\frac{2}{\sqrt{x}-1}$ là số nguyên khi $\sqrt{x}-1\in $ Ư(2)$\Rightarrow x\in \left\{ 4;9 \right\}$ thỏa mãn.
Câu 12
Cho tam giác $\Delta ABC$ có $\widehat{A}=90{}^\circ $, $G$ là trọng tâm, $BD$ là phân giác của $\widehat{B}$. Biết $GD\bot AC.$ Tính số đo $\widehat{ADB}$.
Cho tam giác $\Delta ABC$, phân giác góc $\widehat{A}$ cắt $BC$ tại $D$, trên các đoạn thẳng $DB,\,\,DC$ lần lượt lấy điểm $E$ và $F$ sao cho $\widehat{EAD}=\widehat{FAD}$. Chứng minh rằng $\frac{BE}{CE}.\frac{BF}{CF}=\frac{A{{B}^{2}}}{A{{C}^{2}}}$.
Lời giải:
Gọi $N$ là trung điểm của $AC$, $M$ là trung điểm của cạnh $BC.$
Áp dụng định lí TaLet ta có:
$AB\text{ // }GD$ nên $\frac{DN}{AD}=\frac{GN}{GB}=\frac{1}{2}$.
$\Rightarrow \frac{DN+AD}{AD}=\frac{1+2}{2}\Rightarrow \frac{AN}{AD}=\frac{3}{2}$.
$\Rightarrow \frac{NC}{AD}=\frac{3}{2}\Rightarrow \frac{DN}{AD}+\frac{NC}{AD}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\Rightarrow \frac{DC}{AD}=2.$
Vì $BD$ là phân giác nên $\frac{BC}{AB}=\frac{DC}{AD}=2\Rightarrow \sin C=\frac{AB}{BC}=\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{C}=30{}^\circ \Rightarrow \widehat{ABC}=60{}^\circ $.
Do đó $\widehat{ADB}=90{}^\circ -\frac{\widehat{ABC}}{2}=60{}^\circ .$
Kẻ $EH\bot AB$ tại $H$; $EN\bot AC$ tại $N$; $FM\bot AB$ tại $M$ và $FK\bot AC$ tại $K$.
Vì $\widehat{EAD}=\widehat{FAD}$ và $\widehat{BAD}=\widehat{CAD}$.
$\Rightarrow \widehat{BAE}=\widehat{CAF}$ và $\widehat{BAF}=\widehat{CAE}$.
$\Rightarrow \Delta HAE\sim\Delta KAF\Rightarrow \frac{AE}{AF}=\frac{HE}{KF}$.
Lại có $\frac{{{S}_{ABE}}}{{{S}_{ACF}}}=\frac{BE}{CF}=\frac{HE.AB}{KF.AC}=\frac{AE.AB}{AF.AC}$ $\Rightarrow \frac{BE}{CF}=\frac{AE.AB}{AF.AC}\,\,\left( 1 \right)$.
Chứng minh tương tự ta cũng có $\Rightarrow \frac{BF}{CE}=\frac{AF.AB}{AE.AC}\,\,\left( 2 \right)$.
Nhân theo vế $\left( 1 \right)$ với $\left( 2 \right)$ ta được $\frac{BE}{CE}.\frac{BF}{CF}=\frac{A{{B}^{2}}}{A{{C}^{2}}}$.
Câu 13
Cho $x,\,\,y,\,\,z>0$ thỏa mãn $x+y+z=1$. Chứng minh rằng $\frac{1}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}+\frac{1}{xyz}\ge 30.$
Lời giải:
Với $a,\,\,b,\,\,c>0$. Áp dụng BĐT CauChy ta có :
$\left( a+b+c \right)\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)\ge 3\sqrt[3] {abc}.3.\sqrt[3] {\frac{1}{abc}}=9$
$\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge \frac{9}{a+b+c}$. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c.$
Áp dụng BĐT này ta có:
$\begin{align}& \frac{1}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}+\frac{1}{xyz}=\frac{1}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\ge \frac{1}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}+\frac{9}{xy+yz+zx} \\& =\frac{1}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}+\frac{1}{xy+yz+zx}+\frac{1}{xy+yz+zx}+\frac{7}{xy+yz+zx}\ge \frac{9}{{{\left( x+y+z \right)}^{2}}}+\frac{7}{xy+yz+zx} \\& =9+\frac{21}{3\left( xy+yz+zx \right)}\ge 9+\frac{21}{{{\left( x+y+z \right)}^{2}}}=30. \\\end{align}$
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=\frac{1}{3}.$
