Tổng hợp đề thi HSG Toán 9 – Tỉnh Đà Nẵng
Tổng hợp đề thi HSG Toán 9 – Tỉnh Đà Nẵng
ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH ĐÀ NẴNG NĂM HỌC 2018 – 2019
Câu 1 (1,0 điểm)
Tính $A=\frac{1}{2-\sqrt{3}}-\frac{2}{3-\sqrt{3}}-\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
Câu 2 (2,0 điểm)
Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai điểm $B\left( 6;0 \right)$, $C\left( 0;3 \right)$ và đường thẳng ${{d}_{m}}$ có phương trình $y=mx-2m+2$, với m là tham số, $m\ne 0,m=-\frac{1}{2}$.
a) Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng ${{d}_{m}}$và $BC$.
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng ${{d}_{m}}$chia tam giác $OBC$ thành hai phần có diện tích bằng nhau ($O$ là gốc tọa độ).
Câu 3 (2,0 điểm)
a) Tìm x biết: $\sqrt{24+8\sqrt{9-{{x}^{2}}}}=x+2\sqrt{3-x}+4$.
b) Giải hệ phương trình: \[\left\{ \begin{align}& \frac{12}{x-1}+\frac{7}{y+3}=19 \\& \frac{2x+6}{x-1}+\frac{3y+14}{y+3}=18 \\\end{align} \right.\]
Câu 4 (1,0 điểm)
Điểm số trung bình của một vận động viên bắn súng sau 100 lần bắn là 8,35 điểm. Kết quả cụ thể được ghi trong bằng sau, trong đó có ba ô bị mờ ở chữ số hàng đơn vị không đọc được (tại vị trí đánh dấu *).
| Điểm số của mỗi lần bắn | 10 | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 |
| Số lần bắn | 2* | 40 | 1* | 1* | 9 | 7 |
Em hãy tìm lại các chữ số hàng đơn vị trong ba ô đó.
Câu 5 (3,0 điểm)
Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp trong đường tròn tâm $O$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$. Lấy hai điểm $D,E$lần lượt nằm trên các cạnh $AB,AC$sao cho $DB<DA<AB$, $EA<EC$ và $OD=OE.$
a) Chứng minh rằng: $M{{A}^{2}}-M{{D}^{2}}=DA.DB$.
b) Chứng minh rằng: $O{{A}^{2}}-O{{D}^{2}}=DA.DB$ và $DA.DB=EA.EC$.
c) Gọi $G,H,K$lần lượt là trung điểm của đoạn $BE$, $CD$ và $ED$. Chứng minh rằng đường thẳng $ED$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $GHK$.
Câu 6 (1,0 điểm)
Cho ba số $x,y,z$ thỏa các hệ thức $\left( z-1 \right)x-y=1$ và $x+zy=2$. Chứng minh rằng $\left( 2x-y \right)\left( {{z}^{2}}-z+1 \right)=7$ và tìm tất cả các số nguyên $x,y,z$ thỏa hệ thức trên.
……………….HẾT…………….
LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH ĐÀ NẴNG NĂM HỌC 2018 – 2019
Câu 1 (1,0 điểm)
Tính $A=\frac{1}{2-\sqrt{3}}-\frac{2}{3-\sqrt{3}}-\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
Lời giải
Ta có:
$\frac{1}{2-\sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{4-3}=2+\sqrt{3}$
$\frac{2}{3-\sqrt{3}}=\frac{2\left( 3+\sqrt{3} \right)}{9-3}=1+\frac{\sqrt{3}}{3}$
Þ $A=2+\sqrt{3}-\left( 1+\frac{\sqrt{3}}{3} \right)-\frac{2\sqrt{3}}{3}=2+\sqrt{3}-1-\frac{3\sqrt{3}}{3}$
Þ $A=1$
Câu 2 (2,0 điểm)
Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai điểm $B\left( 6;0 \right)$, $C\left( 0;3 \right)$ và đường thẳng ${{d}_{m}}$ có phương trình $y=mx-2m+2$, với m là tham số, $m\ne 0,m=-\frac{1}{2}$.
a) Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng ${{d}_{m}}$và $BC$.
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng ${{d}_{m}}$chia tam giác $OBC$ thành hai phần có diện tích bằng nhau ($O$ là gốc tọa độ).
Lời giải
a) Phương trình $BC$ có dạng $y=ax+b$ đi qua $B$ và $C$ nên có hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix}3=b \\0=6a+b \\\end{matrix} \right.$
Þ $a=-\frac{1}{2}$ và $b=3$Þphương trình đường thẳng $BC$ là $y=-\frac{1}{2}x+3$
Phương trình hoành độ giao điểm của ${{d}_{m}}$và $BC$ là: $mx-2m+2=-\frac{1}{2}x+3$
$\Leftrightarrow \left( 2m+1 \right)x=2\left( 2m+1 \right)\Leftrightarrow x=2$ do $m\ne -\frac{1}{2}$ nên giao điểm là $K\left( 2;2 \right)$.
b) Ta có ${{S}_{OBC}}=\frac{1}{2}OC.OB=\frac{1}{2}.3.6=9$ (đvdt)
Nếu ${{d}_{m}}$ cắt cạnh $OC$ tại $D$ thì ${{d}_{m}}$chia thành hai phần đó là tam giác $CDK$ và tứ giác $DOBK$ mà:
${{S}_{CDK}}\le {{S}_{COK}}=\frac{1}{2}\left| {{x}_{K}} \right|.OC=3<\frac{{{S}_{OBC}}}{2}$ nên không thể nhận được.
Khi ${{d}_{m}}$cắt cạnh $OB$ tại $E$ thì ta có: ${{y}_{E}}=0$ và ${{x}_{E}}=2-\frac{2}{m}$đồng thời thỏa:
$0<2-\frac{2}{m}<6$
$\Rightarrow {{S}_{KEB}}=\frac{1}{2}\left| {{y}_{K}} \right|.EB=\frac{1}{2}.2.\left| {{x}_{B}}-{{x}_{E}} \right|$
${{d}_{m}}$chia tam giác $OBC$ thành hai phần có dện tích bằng nhau khi và chỉ khi:
${{S}_{KEB}}=4+\frac{2}{m}=\frac{9}{2}\Leftrightarrow m=4$ (thỏa điều kiện).
(2,0 điểm)
a) Tìm x biết: $\sqrt{24+8\sqrt{9-{{x}^{2}}}}=x+2\sqrt{3-x}+4$.
b) Giải hệ phương trình: \[\left\{ \begin{align}& \frac{12}{x-1}+\frac{7}{y+3}=19 \\& \frac{2x+6}{x-1}+\frac{3y+14}{y+3}=18 \\\end{align} \right.\]
Lời giải
a) Điều kiện: $9-{{x}^{2}}\ge 0$ và $3-x\ge 0\Leftrightarrow \left| x \right|\le 3\Leftrightarrow -3\le x\le 3$
Ta có
$24+8\sqrt{9-{{x}^{2}}}=4\left( 3-x+2\sqrt{3-x}\sqrt{3+x}+3+x \right)=4{{\left( \sqrt{3-x}+\sqrt{3+x} \right)}^{2}}$
Nên phương trình trở thành: $2\left( \sqrt{3-x}+\sqrt{3+x} \right)=x+2\sqrt{3-x}+4$
Hay $2\sqrt{3-x}=x+4$
$\Leftrightarrow 3+x-2\sqrt{3+x}+1=0\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{3-x}-1 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow 3+x=1\Leftrightarrow x=-2$(thỏa)
b) Điều kiện: $x\ne 1;y\ne -3$, biến đổi phương trình thứ hai thành: $\frac{8}{x-1}+\frac{5}{y+3}=13$
Đặt $X=\frac{1}{x-1};Y=\frac{1}{y+3}$ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix}12X+7Y=19 \\8X+5Y=13 \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}X=1 \\Y=1 \\\end{matrix} \right.$
Vậy $\left\{ \begin{matrix}\frac{1}{x-1}=1 \\\frac{1}{y+3}=1 \\\end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x=2 \\y=-2 \\\end{matrix} \right. \right.\Rightarrow $ hệ có 1 nghiệm $\left( 2;-2 \right)$
(1,0 điểm)
Điểm số trung bình của một vận động viên bắn súng sau 100 lần bắn là 8,35 điểm. Kết quả cụ thể được ghi trong bằng sau, trong đó có ba ô bị mờ ở chữ số hàng đơn vị không đọc được (tại vị trí đánh dấu *).
| Điểm số của mỗi lần bắn | 10 | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 |
| Số lần bắn | 2* | 40 | 1* | 1* | 9 | 7 |
Em hãy tìm lại các chữ số hàng đơn vị trong ba ô đó.
Lời giải
Tổng các số tại các ô bị mờ số là $100-\left( 40+9+7 \right)=44$
Tổng số điểm trong 100 lần bắn là $8,35.100=835$
Tổng số điểm tại các vị trí ô không bị mất số là $9.40+6.9+5.3=449$
Suy ra tổng số điểm bắn được tại vị trí các ô bị mất là $835-449=386$, đây là số chẵn
Suy ra tại ô 7 điểm số lần bắn chỉ có thể là số chẵn, vì vậy chỉ có 3 khả năng là 10, 12, 14.
Gọi x, y lần lượt là số lần bắn được 10 điểm và 8 điểm
Điều kiện: $x,y\in N;20\le x<30;10\le x<20$
Trường hợp 1: Ô 7 điểm nhận giá trị 10, khi đó theo đề bài ta có hệ phương trình.
$\left\{ \begin{matrix}x+y=34 \\449+10x+8y+70=835 \\\end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x+y=34 \\10x+8y=316 \\\end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x=22 \\y=12 \\\end{matrix} \right. \right. \right.$ thỏa điều kiện
Trường hợp 2: Ô 7 điểm nhận giá trị 12, khi đó theo đề bài ta có hệ phương trình
$\left\{ \begin{matrix}x+y=32 \\449+10x+8y+84=835 \\\end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x+y=32 \\10x+8y=316 \\\end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x=23 \\y=9 \\\end{matrix} \right. \right. \right.$ loại
Trường hợp 3: Ô 7 điểm nhận giá trị 14, khi đó x = 20 và y = 10 suy ra
Tổng số điểm bắn được là:
$20.10+9.40+8.10+7.14+6.9+5.7=827$ không phù hợp
Vậy chữ số hàng đơn vị tại các ô 10 điểm, 8 điểm, 7 điểm lần lượt là 2, 2, 0
(3,0 điểm)
Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp trong đường tròn tâm $O$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$. Lấy hai điểm $D,E$lần lượt nằm trên các cạnh $AB,AC$ sao cho $DB<DA<AB$, $EA<EC$ và $OD=OE.$
a) Chứng minh rằng: $M{{A}^{2}}-M{{D}^{2}}=DA.DB$.
b) Chứng minh rằng: $O{{A}^{2}}-O{{D}^{2}}=DA.DB$ và $DA.DB=EA.EC$.
c) Gọi $G,H,K$lần lượt là trung điểm của đoạn $BE$, $CD$ và $ED$. Chứng minh rằng đường thẳng $ED$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $GHK$.
Lời giải
a) Ta có $M{{A}^{2}}-M{{D}^{2}}=\left( MA+MD \right)\left( MA-MD \right)$
Mà $MA+MD=DA;MA-MD=MB-MD=DB$ nên $M{{A}^{2}}-M{{D}^{2}}=DA.DB$
b) Do $M$ là trung điểm $AB$ nên $OM\bot AB$
$\Rightarrow O{{D}^{2}}=O{{M}^{2}}+M{{D}^{2}}$ và $O{{M}^{2}}=O{{A}^{2}}-M{{A}^{2}}$
$\Rightarrow O{{D}^{2}}=O{{A}^{2}}-\left( M{{A}^{2}}-M{{D}^{2}} \right)=O{{A}^{2}}-DA.DB$ (1)
$\Rightarrow O{{A}^{2}}-O{{D}^{2}}=DA.DB$
Tương tự ta cũng có $O{{A}^{2}}-O{{E}^{2}}=EA.EC$ (2)
Mà theo giả thiết ta có $OD=OE$ nên từ (1) và (2) cho ta: $DA.DB=EA.EC$
c) Do $G,H,K$lần lượt là trung điểm của các đoạn $BE$, $CD$ và $ED$ nên
$KG//AB$ và $KH//AC\Rightarrow \widehat{GKH}=\widehat{DAE}$ (3)
Mặc khác theo tính chất đường trung bình ta có:
$\frac{KG}{DB}=\frac{1}{2}$ và $\frac{KH}{EC}=\frac{1}{2}$ nên $\frac{KG}{DB}=\frac{DB}{EC}$ (3)
Theo câu b: $DA.DB=EA.EC\Rightarrow \frac{DB}{EC}=\frac{EA}{DA}\Rightarrow \frac{KG}{KH}=\frac{AE}{AD}$ (4)
Từ (3) và (4) cho ta hai tam giác $AED$ và $KGH$ đồng dạng nên $\widehat{KGH}=\widehat{AED}$.
Mà $KH//AC$ nên $\widehat{EKH}=\widehat{AED}$.
Suy ra $\widehat{KGH}=\widehat{EKH}$ nên $ED$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $GHK$
(1,0 điểm)
Cho ba số $x,y,z$ thỏa các hệ thức $\left( z-1 \right)x-y=1$ và $x+zy=2$. Chứng minh rằng $\left( 2x-y \right)\left( {{z}^{2}}-z+1 \right)=7$ và tìm tất cả các số nguyên $x,y,z$ thỏa hệ thức trên.
Lời giải
Từ hai hệ thức đã cho, xem $z$là tham số giải hệ phương trình 2 ẩn $x,y$ theo $z$ ta được
$x=\frac{z+2}{{{z}^{2}}-z+1}$ và $y=\frac{2z-3}{{{z}^{2}}-z+1}$.
$\Rightarrow 2x-y=\frac{2z+4}{{{z}^{2}}-z+1}-\frac{2z-3}{{{z}^{2}}-z+1}=\frac{7}{{{z}^{2}}-z+1}\Rightarrow $ điều phải chứng minh.
Do ${{z}^{2}}-z+1={{\left( z-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}>0$ nên từ hệ thức $\left( 2x-y \right)\left( {{z}^{2}}-z+1 \right)=7$ cho ta $2x-y>0$.
Mà $x,y,z\in \mathbb{Z}$ suy ra ${{z}^{2}}-z+1=7$ hoặc ${{z}^{2}}-z+1=1$.
Trường hợp 1: ${{z}^{2}}-z+1=7$
Ta có ${{z}^{2}}-z-6=0\Leftrightarrow \left( z-3 \right)\left( z+2 \right)=0\Rightarrow z=3;z=-2$.
Với $z=3\Rightarrow x=\frac{5}{2}$ (loại).
Với $z=-2\Rightarrow x=0$ và $y=-1$ (nhận).
Trường hợp 2: ${{z}^{2}}-z+1=1\Leftrightarrow {{z}^{2}}-z=0\Leftrightarrow z\left( z-1 \right)=0\Rightarrow z=0;z=1$.
Với $z=0\Rightarrow x=2$ và $y=-3$ (nhận).
Với $z=1\Rightarrow x=3$ và $y=-1$ (nhận).
