Tổng hợp đề thi HSG Toán 9 – Tỉnh Long An

Tổng hợp đề thi HSG Toán 9 – Tỉnh Long An

ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH LONG AN NĂM HỌC 2018-2019

Câu 1 (4,0 điểm)

a) Rút gọn biểu thức: $A=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{5+2\sqrt{6}}-\sqrt{11-6\sqrt{2}}}{\sqrt{2}-\sqrt{6+2\sqrt{5}}+\sqrt{7-2\sqrt{10}}}$.

b) Cho ba số dương $x,\text{ }y,\text{ }z~$thoả mãn điều kiện: $xy\text{ }+\text{ }yz\text{ }+\text{ }zx\text{ }=\text{ }673$.

Chứng minh rằng: $\frac{x}{{{x}^{2}}-yz+2019}+\frac{y}{{{y}^{2}}-zx+2019}+\frac{z}{{{z}^{2}}-xy+2019}\ge \frac{1}{x+y+z}$.

Câu 2 (5,0 điểm)

a) Do bị bệnh bại não nên tay chân của Cảnh (11 tuổi, bản Tà Ọt, xã Châu Hạnh, huyện Quỳnh Châu, tỉnh Nghệ An) bị co quắp, không đi lại được từ lúc mới chào đời. Lên 6 tuổi, nhìn bạn bè cắp sách đến trường em cũng muốn mẹ cho đi học. Thương con ham học, những ngày đầu Cảnh được người thân cõng đến trường. Ít ngày sau, chứng kiến cảnh người thân của bạn phải vất vả bỏ bê công việc, Khanh đã quyết định cõng bạn vượt qua con đường dài 1,8 km nhiều sỏi đá để tới trường.

Lúc về, trên quãng đường dài 1,8 km, trời nắng, Khanh cõng bạn với vận tốc ít hơn lúc đi 0,2 m/s. Do đó, thời gian cõng bạn lúc về của Khanh chậm hơn lúc đi là 12 phút 30 giây. Tính vận tốc lúc cõng bạn đi của Khanh.

b) Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{align}& {{x}^{3}}=2x+y \\& {{y}^{3}}=2y+x \\\end{align} \right.$

Câu 3 (5,0 điểm)

Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn $\left( AB<AC \right)$ nội tiếp đường tròn $\left( O;R \right)$. Vẽ đường tròn tâm $K$ đường kính $BC$ cắt các cạnh $AB,\text{ }AC$ lần lượt tại các điểm $F,\text{ }E$. Gọi $H$ là giao điểm của $BE$ và $CF$.

a) Chứng minh $OA$ vuông góc $EF$.

b) Từ $A$ dựng các tiếp tuyến $AM,\text{ }AN$ với đường tròn $\left( K \right)$ ($M,\text{ }N$ là các tiếp điểm và $N$ thuộc cung nhỏ $EC$). Chứng minh rằng: $M,H,N$ thẳng hàng.

Câu 4 (3,0 điểm)

Cho tam giác đều $ABC$ nội tiếp đường tròn (O; R), điểm $M$ di động trên cung nhỏ $BC$. Xác định vị trí của $M$ để $S=MA+MB+MC$ đạt giá trị lớn nhất và khi đó tính $S$.

Câu 5 (3,0 điểm)

Cho đường tròn $\left( O \right)$ đường kính $AB$. Từ một điểm $C$ thuộc đường tròn $\left( O \right)$ kẻ $CH$ vuông góc $AB$ ($C$ khác $A$ và $B$; $H$ thuộc $AB$). Đường tròn tâm $C$ bán kính $CH$ cắt đường tròn $\left( O \right)$ tại $D$ và $E$. Chứng minh $DE$ đi qua trung điểm của $CH$.

……………….HẾT…………….

LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH LONG AN NĂM HỌC 2018-2019

Câu 1 (4,0 điểm)

a) Rút gọn biểu thức: $A=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{5+2\sqrt{6}}-\sqrt{11-6\sqrt{2}}}{\sqrt{2}-\sqrt{6+2\sqrt{5}}+\sqrt{7-2\sqrt{10}}}$.

b) Cho ba số dương $x,\text{ }y,\text{ }z~$thoả mãn điều kiện: $xy\text{ }+\text{ }yz\text{ }+\text{ }zx\text{ }=\text{ }673$.

Chứng minh rằng: $\frac{x}{{{x}^{2}}-yz+2019}+\frac{y}{{{y}^{2}}-zx+2019}+\frac{z}{{{z}^{2}}-xy+2019}\ge \frac{1}{x+y+z}$

Lời giải

a) Ta có $A=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{5+2\sqrt{6}}-\sqrt{11-6\sqrt{2}}}{\sqrt{2}-\sqrt{6+2\sqrt{5}}+\sqrt{7-2\sqrt{10}}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{{{(\sqrt{2}+\sqrt{3})}^{2}}}-\sqrt{{{(3-\sqrt{2})}^{2}}}}{\sqrt{2}-\sqrt{{{(\sqrt{5}+1)}^{2}}}+\sqrt{{{(\sqrt{5}-\sqrt{2})}^{2}}}}$

$=\frac{\sqrt{3}-\left| \sqrt{2}+\sqrt{3} \right|-\left| 3-\sqrt{2} \right|}{\sqrt{2}-\left| \sqrt{5}+1 \right|+\left| \sqrt{5}-\sqrt{2} \right|}=\frac{\sqrt{3}-\left( \sqrt{2}+\sqrt{3} \right)-\left( 3-\sqrt{2} \right)}{\sqrt{2}-\left( \sqrt{5}+1 \right)+\left( \sqrt{5}-\sqrt{2} \right)}$

$=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}-\sqrt{3}-3+\sqrt{2}}{\sqrt{2}-\sqrt{5}-1+\sqrt{5}-\sqrt{2}}=3$.

b) Chứng minh bất đẳng thức:

$\frac{{{a}^{2}}}{x}+\frac{{{b}^{2}}}{y}+\frac{{{c}^{2}}}{z}\ge \frac{{{\left( a+b+c \right)}^{2}}}{x+y+z}$(*)  với $a,\text{ }b,\text{ }c~\,\in \mathbb{R}$và $x,\text{ }y,\text{ }z>0$.

Với $a,\text{ }b\,~\in \mathbb{R}$ và $x,\text{ }y>0$ ta có:

$\frac{{{a}^{2}}}{x}+\frac{{{b}^{2}}}{y}\ge \frac{{{\left( a+b \right)}^{2}}}{x+y}$                           (**)

$\Leftrightarrow $$\left( {{a}^{2}}y+{{b}^{2}}x \right)\left( x+y \right)\ge xy{{\left( a+b \right)}^{2}}$ $\Leftrightarrow $${{\left( bx-ay \right)}^{2}}\ge 0$ (luôn đúng).

Áp dụng bất đẳng thức (**), ta có: $\frac{{{a}^{2}}}{x}+\frac{{{b}^{2}}}{y}+\frac{{{c}^{2}}}{z}\ge \frac{{{\left( a+b \right)}^{2}}}{x+y}+\frac{{{c}^{2}}}{z}\ge \frac{{{\left( a+b+c \right)}^{2}}}{x+y+z}$.

Vì: $xy\text{ }+\text{ }yz\text{ }+\text{ }zx\text{ }=\text{ }673$ nên $x\left( {{x}^{2}}-yz+2019 \right)$ = $x\left( {{x}^{2}}+xy+zx+1346 \right)>0.$

Tương tự: $y\left( {{y}^{2}}-zx+2019 \right)>0$ và $z\left( {{z}^{2}}-xy+2019 \right)>0$.

Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có:

$\frac{x}{{{x}^{2}}-yz+2019}+\frac{y}{{{y}^{2}}-zx+2019}+\frac{z}{{{z}^{2}}-xy+2019}$

$=\frac{{{x}^{2}}}{x\left( {{x}^{2}}-yz+2019 \right)}+\frac{{{y}^{2}}}{y\left( {{y}^{2}}-zx+2019 \right)}+\frac{{{z}^{2}}}{z\left( {{z}^{2}}-xy+2019 \right)}$

$\ge \frac{{{\left( x+y+z \right)}^{2}}}{{{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}-3xyz+2019\left( x+y+z \right)}$  (1)

Biến đổi:

${{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}-3xyz={{\left( x+y \right)}^{3}}-3xy\left( x+y \right)+{{z}^{3}}-3xyz$

$=\left( x+y+z \right)\left[ {{\left( x+y \right)}^{2}}-\left( x+y \right)z+{{z}^{2}} \right] -3xy\left( x+y+z \right)$

$=\left( x+y+z \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-xy-yz-zx \right)$

Từ đó suy ra:

${{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}-3xyz+2019\left( x+y+z \right)$= $\left( x+y+z \right)$$\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-xy-yz-zx+3.673 \right)$

=$\left( x+y+z \right)$$\left[ {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-xy-yz-zx+3.\left( xy+yz+zx \right) \right] $

= $\left( x+y+z \right)$${{\left( x+y+z \right)}^{2}}$$={{\left( x+y+z \right)}^{3}}$   (2)

Từ (1) và (2) suy ra

$\frac{x}{{{x}^{2}}-yz+2019}+\frac{y}{{{y}^{2}}-zx+2019}+\frac{z}{{{z}^{2}}-xy+2019}$$\ge \frac{{{\left( x+y+z \right)}^{2}}}{{{\left( x+y+z \right)}^{3}}}=\frac{1}{x+y+z}$    (đpcm).

Câu 2 (5,0 điểm)

a) Do bị bệnh bại não nên tay chân của Cảnh (11 tuổi, bản Tà Ọt, xã Châu Hạnh, huyện Quỳnh Châu, tỉnh Nghệ An) bị co quắp, không đi lại được từ lúc mới chào đời. Lên 6 tuổi, nhìn bạn bè cắp sách đến trường em cũng muốn mẹ cho đi học. Thương con ham học, những ngày đầu Cảnh được người thân cõng đến trường. Ít ngày sau, chứng kiến cảnh người thân của bạn phải vất vả bỏ bê công việc, Khanh đã quyết định cõng bạn vượt qua con đường dài 1,8 km nhiều sỏi đá để tới trường.

Lúc về, trên quãng đường dài 1,8 km, trời nắng, Khanh cõng bạn với vận tốc ít hơn lúc đi 0,2 m/s. Do đó, thời gian cõng bạn lúc về của Khanh chậm hơn lúc đi là 12 phút 30 giây. Tính vận tốc lúc cõng bạn đi của Khanh.

b) Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{align}& {{x}^{3}}=2x+y \\& {{y}^{3}}=2y+x \\\end{align} \right.$

Lời giải

a) Gọi x (m/s) là vận tốc lúc cõng bạn đi của Khanh.

Điều kiện $x>0,2$.

Vận tốc lúc cõng bạn về của Khanh là  $x0,2$.

Theo đề bài, ta có phương trình:

$\frac{1800}{x-0,2}-\frac{1800}{x}=750$

$\Leftrightarrow 750{{x}^{2}}150×360=0$ (hay $25{{x}^{2}}5×12=0$)

Giải phương trình ta được ${{x}_{1}}=0,8$ (nhận); ${{x}_{2}}=-0,6$ (loại)

Vậy vận tốc lúc cõng bạn đi của Khanh là $0,8$ (m/s).

b) Ta có

$\left\{ \begin{align}& {{x}^{3}}=2x+y \\& {{y}^{3}}=2y+x\,\, \\\end{align} \right.$

$\Leftrightarrow $

$\,\left\{ \begin{align}& {{x}^{3}}-{{y}^{3}}=x-y \\& \,{{x}^{3}}+{{y}^{3}}=3(x+y) \\\end{align} \right.$

$\Leftrightarrow $$\,\left\{ \begin{align}& (x-y)({{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}})=x-y \\& (x+y)({{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}})=3(x+y) \\\end{align} \right.$

$\Leftrightarrow $$\,\left\{ \begin{align}& (x-y)({{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}-1)=0 \\& (x+y)({{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}}-3)=0. \\\end{align} \right.$

TH1:$\,\left\{ \begin{align}& x-y=0 \\& x+y=0 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow $$\,\left\{ \begin{align}& x=0 \\& y=0. \\\end{align} \right.$

TH2:$\,\left\{ \begin{align}& x-y=0 \\& {{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}}-3=0 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow $$\,\left\{ \begin{align}& x=y \\& {{x}^{2}}-3=0 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow $ $\,\left[ \begin{align}& x=\sqrt{3},\,y=\sqrt{3} \\& x=-\sqrt{3},\,y=-\sqrt{3} \\\end{align} \right.$

TH3:$\,\left\{ \begin{align}& {{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}-1=0 \\& x+y=0 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow $$\,\left\{ \begin{align}& x=-y \\& {{x}^{2}}-1=0 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow $ $\left[ \begin{align}& x=1,\,y=-1 \\& x=-1,\,y=1 \\\end{align} \right.\,$

TH4:$\,\left\{ \begin{align}& {{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}-1=0 \\& {{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}}-3=0 \\\end{align} \right.$

Đặt $\left\{ \begin{align}& S=x+y \\& P=x.y \\\end{align} \right.\,\,({{S}^{2}}-4P\ge 0)$. Ta có hệ phương trình

$\left\{ \matrix{
{S^2} – P – 1 = 0 \hfill \cr
{S^2} – 3P – 3 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
P = – 1 \hfill \cr
S = 0 \hfill \cr} \right.$

Khi đó$\,\left\{ \begin{align}& x+y=0 \\& x.y=-1 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow $$\left[ \begin{align}& x=1,\,y=-1 \\& x=-1,\,y=1 \\\end{align} \right.\,$

Vậy nghiệm $(x;y)$ của hệ phương trình là: $(0;0);\,\,(\sqrt{3};\sqrt{3});\,\,(-\sqrt{3};-\sqrt{3});\,\,(1;-1);\,\,(-1;1)$.

Câu 3 (5,0 điểm)

Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn $\left( AB<AC \right)$ nội tiếp đường tròn $\left( O;R \right)$. Vẽ đường tròn tâm $K$ đường kính $BC$ cắt các cạnh $AB,\text{ }AC$ lần lượt tại các điểm $F,\text{ }E$. Gọi $H$ là giao điểm của $BE$ và $CF$.

a) Chứng minh $OA$ vuông góc $EF$.

b) Từ $A$ dựng các tiếp tuyến $AM,\text{ }AN$ với đường tròn $\left( K \right)$ ($M,\text{ }N$ là các tiếp điểm và $N$ thuộc cung nhỏ $EC$). Chứng minh rằng: $M,H,N$ thẳng hàng.

Lời giải

a) Chứng minh $OA$ vuông góc $EF$.

Dựng tiếp tuyến $Ax$ của $\left( O \right)$. Ta có:

+ $\widehat{ACB}=\widehat{BAx}$ (hệ quả của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)

+ $\widehat{ACB}=\widehat{AFE}$ (cùng bù với $\widehat{BFE}$, do tứ giác $BFEC$ nội tiếp)

Þ$\widehat{BAx}=\widehat{AFE}$ Þ $Ax$ // $EF$

Mà $OA$ ^ $Ax$ Þ $OA$ ^ $EF$.

b) Chứng minh rằng: $M,H,N$ thẳng hàng.

$\Delta ABC$ có  $BE,CF$ là hai đường cao và $H$ là trực tâm.

Kẻ đường cao thứ 3 là $AS$ của $\Delta ABC$.

$M,N,S$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AK$.

Þ $\widehat{AMN}=\widehat{ASN}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $AN$).

Mà $\widehat{AMN}=\widehat{ANM}$($\Delta AMN$ cân vì $AM=AN$theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Do đó $\widehat{ANM}=\widehat{ASN}$                                                                      (1)

Ta có: $\Delta ANE$ đồng dạng $\Delta ACN$ (g.g) Þ $A{{N}^{2}}=AE.AC$

$\Delta AEH$ đồng dạng $\Delta ASC$ (g.g) Þ $AH.AS=AE.AC$

Þ $A{{N}^{2}}=AH.AS$

Þ $\frac{AN}{AH}=\frac{AS}{AN}$ Þ  $\Delta ASN$đồng dạng $\Delta ANH$ (c.g.c)

Þ $\widehat{ANH}=\widehat{ASN}$    (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{ANM}=\widehat{ANH}$Þ $M,\text{ }H,\text{ }N$ thẳng hàng.

Câu 4 (3,0 điểm)

Cho tam giác đều $ABC$ nội tiếp đường tròn (O; R), điểm $M$ di động trên cung nhỏ $BC$. Xác định vị trí của $M$ để $S=MA+MB+MC$ đạt giá trị lớn nhất và khi đó tính $S$.

Lời giải

Trên tia đối của $MB$ lấy điểm $D$ sao cho $MD=MC$

$\widehat{BAC}={{60}^{o}}$ ($\vartriangle ABC$đều) $\Rightarrow \widehat{BMC}={{120}^{o}}\Rightarrow \widehat{CMD}=60{}^\circ $

$\Rightarrow \vartriangle MCD$đều $\Rightarrow $$CM=CD$

$\vartriangle ACM=\vartriangle BCD$ (c.g.c)$\Rightarrow AM=BD$.

Mà $BD=MB+MD=MB+MC$

$\Rightarrow S=MA+MB+MC=2MA$

Mà $AM\le 2R$

Vậy $S$ đạt giá trị lớn nhất khi $MA$ là đường kính $\Leftrightarrow $ $M$ là điểm chính giữa của cung nhỏ $BC$.

Khi đó $S=2.2R=4R$.

Câu 5 (3,0 điểm)

Cho đường tròn $\left( O \right)$ đường kính $AB$. Từ một điểm $C$ thuộc đường tròn $\left( O \right)$ kẻ $CH$ vuông góc $AB$ ($C$ khác $A$ và $B$; $H$ thuộc $AB$). Đường tròn tâm $C$ bán kính $CH$ cắt đường tròn $\left( O \right)$ tại $D$ và $E$. Chứng minh $DE$ đi qua trung điểm của $CH$.

Vẽ đường kính $CM$ của đường tròn $\left( O \right)$. Gọi $N,I$ lần lượt là giao điểm của $DE$ với $CH$và $CM$.

$\left( O \right)$và $\left( C \right)$ cắt nhau tại $D,E$ Þ $OC$^ $DE$

$\Delta CEM$ vuông tại $E$, $EI$ là đường cao nên $C{{E}^{2}}=CI.CM$

Mà $CM=2CO$ và $CE=CH$ nên $C{{H}^{2}}=2CI.CO$ hay $\frac{C{{H}^{2}}}{2}=CI.CO$     (1)

$\Delta CIN$đồng dạng $\Delta CHO$(g.g)$\Rightarrow \frac{CI}{CH}=\frac{CN}{CO}$ $\Rightarrow CN.CH=CI.CO$    (2)

Từ (1), (2) suy ra $CH=2CN$Þ $N$ là trung điểm của $CH$.

Vậy $DE$ đi qua trung điểm của $CH$.

……………..HẾT……………