Tổng hợp đề thi HSG Toán 9 – Tỉnh Quảng Ngãi

Tổng hợp đề thi HSG Toán 9 – Tỉnh Quảng Ngãi

ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2018-2019

Câu 1

a) Cho $a,\text{ }b,\text{ }c~$ là các số nguyên thỏa mãn $a+b={{c}^{3}}-2018c$. Chứng minh rằng $A={{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}$chia hết cho 6.

b) Tìm các số nguyên $x,$$y$ thỏa mãn ${{4}^{x}}=1+{{3}^{y}}$.

c) Cho $B=1.2.3+2.3.4+3.4.5+…+n.\left( n-1 \right).\left( n-2 \right)$ với $n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$. Chứng minh rằng B không là số chính phương.

Câu 2

a) Giải phương trình $3{{x}^{2}}-4x-11=\left( 2x-5 \right)\sqrt{3x+7}$.

b) Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{align}& {{x}^{2}}+x={{y}^{2}}+y+5 \\& {{x}^{3}}+{{y}^{3}}={{x}^{2}}y+x{{y}^{2}}+6 \\\end{align} \right.$.

Câu 3

a) Rút gọn biểu thức $C=\sqrt{1+{{x}^{2}}+\frac{{{x}^{2}}}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}}+\frac{x}{x+1}$ với $x>0$.

b) Cho các số thực $a,$$b,$$c,$thỏa mãn $a+b+c=1$. Tìm giá trị lớn nhất của $D=ab+ac$.

c) Với $x,\text{ }y,\text{ }z$ là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Chứng minh rằng $\left( y+z-x \right)\left( z+x-y \right)\left( x+y-z \right)\le xyz$.

Câu 4

Cho tam giác $ABC$ nhọn $\left( AB<AC \right)$, đường phân giác $AD$ ($D$ thuộc $BC$). Các điểm $E$ và $F$ lần lượt chuyển động trên các cạnh $AB$ và $AC$ sao cho $BE=CF$. Trên cạnh $BC$ lấy các điểm $P$ và $Q$ sao cho $EP$ và $FQ$ cùng song song với $AD$.

a) So sánh $BP$ và $CQ$.

b) Chứng minh rằng trọng tâm $G$ của tam giác $AEF$ thuộc một đường thẳng cố định.

Câu 5

Cho nửa đường tròn tâm $O$ đường kính $AB=2R$. Gọi $C$ là trung điểm của $AO$, vẽ tia $Cx$vuông góc với $AB$ cắt nữa đường tròn tại $I$. Lấy $K$ là điểm bất kỳ trên đoạn $CI$($K$ khác $C$ và $I$). Tia $AK$ cắt nữa đường tròn $\left( O \right)$ tại $M$, tia $BM$cắt tia $Cx$ tại $D$. Vẽ tiếp tuyến với đường tròn $\left( O \right)$ tại $M$ cắt tia $Cx$ tại $N$.

a) Chứng minh rằng $\Delta KMN$ cân.

b) Tính diện tích $\Delta ABD$ theo $R$ khi $K$ là trung điểm của $CI$.

c) Khi $K$ di động trên $CI$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp $\Delta AKD$ đi qua điểm cố định thứ hai khác $A$.

……………….HẾT…………….

LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH QUÃNG NGÃI NĂM HỌC 2018-2019

Câu 1

a) Cho $a,\text{ }b,\text{ }c~$ là các số nguyên thỏa mãn $a+b={{c}^{3}}-2018c$. Chứng minh rằng $A={{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}$chia hết cho 6.

b) Tìm các số nguyên $x,$$y$ thỏa mãn ${{4}^{x}}=1+{{3}^{y}}$.

c) Cho $B=1.2.3+2.3.4+3.4.5+…+n.\left( n-1 \right).\left( n-2 \right)$ với $n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$. Chứng minh rằng B không là số chính phương.

Lời giải

a) Ta có $a+b={{c}^{3}}-2018c\Leftrightarrow a+b+c=\left( c-1 \right).c.\left( c+1 \right)-2016c$ chia hết cho 6. Mặt khác $\left( {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}} \right)-\left( a+b+c \right)=\left( a-1 \right).a.\left( a+1 \right)+\left( b-1 \right).b.\left( b+1 \right)+\left( c-1 \right).c.\left( c+1 \right)$ chia hết cho 6

Do đó $A={{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}$chia hết cho 6.

b) Xét $x=1\Rightarrow y=1$.

Xét $x\ge 2$ thì ${{4}^{x}}\vdots 8$. Nếu $y$ chẵn, đặt $y=2k\left( k\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right)\Rightarrow 1+{{3}^{y}}=1+{{9}^{k}}\equiv 2\left( \bmod 8 \right)$, vô lí

Nếu $y$ lẻ $y=2k+1\left( k\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right)\Rightarrow 1+{{3}^{y}}=1+{{9}^{k}}.3\equiv 4\left( \bmod 8 \right)$, vô lí.

Vậy $x=y=1$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

c) Ta có $4B=1.2.3.4+2.3.4.\left( 5-1 \right)+3.4.5.\left( 6-2 \right)+…+n.\left( n-1 \right).\left( n-2 \right).\left[ \left( n+3 \right)-\left( n-1 \right) \right] $

$=n.\left( n+1 \right).\left( n+2 \right).\left( n+3 \right)={{n}^{4}}+6{{n}^{3}}+11{{n}^{2}}+6n<{{n}^{4}}+6{{n}^{3}}+11{{n}^{2}}+6n+1={{\left( {{n}^{2}}+3n+1 \right)}^{2}}$

Mặt khác${{n}^{4}}+6{{n}^{3}}+11{{n}^{2}}+6n>{{n}^{4}}+6{{n}^{3}}+9{{n}^{2}}={{\left( {{n}^{2}}+3n \right)}^{2}}\Rightarrow {{\left( {{n}^{2}}+3n \right)}^{2}}<4B<{{\left( {{n}^{2}}+3n+1 \right)}^{2}}$

Do đó $B$ không phải là số chính phương.

Câu 2

a) Giải phương trình $3{{x}^{2}}-4x-11=\left( 2x-5 \right)\sqrt{3x+7}$.

b) Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{align}& {{x}^{2}}+x={{y}^{2}}+y+5 \\& {{x}^{3}}+{{y}^{3}}={{x}^{2}}y+x{{y}^{2}}+6 \\\end{align} \right.$.

Lời giải

a) ĐKXĐ : $x\ge \frac{-7}{3}$. Khi đó phương trình tương đương $3{{x}^{2}}+3x-3x\sqrt{3x+7}-4x-4+4\sqrt{3x+7}-x\sqrt{3x+7}+\sqrt{3x+7}-3x-7$

$\Leftrightarrow 3x\left( x+1-\sqrt{3x+7} \right)-4\left( x+1-\sqrt{3x+7} \right)-\sqrt{3x+7}\left( x+1-\sqrt{3x+7} \right)=0$

$\Leftrightarrow \left( x+1-\sqrt{3x+7} \right)\left( 3x-4+\sqrt{3x+7} \right)=0$.

Xét trường hợp : $\sqrt{3x+7}=x+1\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 3x+7={{\left( x+1 \right)}^{2}} \\& x\ge 1 \\\end{align} \right.\Rightarrow x=3.$

Xét trường hợp : $\sqrt{3x+7}=4-3x\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 3x+7={{\left( 4-3x \right)}^{2}} \\& \frac{-7}{3}\le x\le \frac{4}{3} \\\end{align} \right.\Rightarrow x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm.

b) Hệ phương trình $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& \left( x-y \right)\left( x+y+1 \right)=5 \\& \left( x+y \right){{\left( x-y \right)}^{2}}=6 \\\end{align} \right.$. Đặt $\left\{ \begin{align}& a=x+y \\& b=x-y \\\end{align} \right.$, ta có $\left\{ \begin{align}& \left( a+1 \right)b=5 \\& a{{b}^{2}}=6 \\\end{align} \right.$

Nếu $b=0\Rightarrow x=y$, vô nghiệm. Vậy $b\ne 0$ta có $a{{b}^{2}}=6\Rightarrow a=\frac{6}{{{b}^{2}}}$. Thế vào $\left( a+1 \right)b=5$ được ${{b}^{2}}-5b+6=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& b=2 \\& b=3 \\\end{align} \right.$.

Với
$b = 2 \Rightarrow a = {3 \over 2} \Rightarrow \left\{ \matrix{
x + y = {3 \over 2} \hfill \cr
x – y = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {7 \over 4} \hfill \cr
y = – {1 \over 4} \hfill \cr} \right.$

Với
$b = 3 \Rightarrow a = {2 \over 3} \Rightarrow \left\{ \matrix{
x + y = {2 \over 3} \hfill \cr
x – y = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {{11} \over 6} \hfill \cr
y = – {7 \over 6} \hfill \cr} \right.$

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm : $\left( \frac{7}{4};-\frac{1}{4} \right),\left( \frac{11}{6};-\frac{7}{6} \right)$.

Câu 3

a) Rút gọn biểu thức $C=\sqrt{1+{{x}^{2}}+\frac{{{x}^{2}}}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}}+\frac{x}{x+1}$ với $x>0$.

b) Cho các số thực $a,$$b,$$c,$thỏa mãn $a+b+c=1$. Tìm giá trị lớn nhất của $D=ab+ac$.

c) Với $x,\text{ }y,\text{ }z$ là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Chứng minh rằng $\left( y+z-x \right)\left( z+x-y \right)\left( x+y-z \right)\le xyz$.

Lời giải

 a) Ta có $C=\sqrt{{{x}^{2}}+\frac{2{{x}^{2}}+2x+1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}}+\frac{x}{x+1}=\sqrt{{{x}^{2}}+\frac{2x}{x+1}+\frac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}}+\frac{x}{x+1}$

$=\sqrt{{{\left( x+\frac{1}{x+1} \right)}^{2}}}+\frac{x}{x+1}=x+\frac{1}{x+1}+\frac{x}{x+1}=x+1$

b) Ta có $D=a\left( b+c \right)=a\left( 1-a \right)=-{{a}^{2}}+a=-{{\left( a-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{1}{4}\le \frac{1}{4}$

Vậy giá trị lớn nhất của D bằng $\frac{1}{4}$ khi $a-\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow a=\frac{1}{2}$.

c) Vì $x,\text{ }y,\text{ }z$ là ba cạnh của một tam giác nên $y+z-x>0$ ; $z+x-y>0$ ; $x+y-z>0$.

Áp dụng BĐT CauChy ta có $\sqrt{\left( y+z-x \right)\left( z+x-y \right)}\le z$; $\sqrt{\left( z+x-y \right)\left( x+y-z \right)}\le x$;

$\sqrt{\left( x+y-z \right)\left( y+z-x \right)}\le y$.

Nhân theo vế các BĐT này ta được điều cần chứng minh.

Câu 4

Cho tam giác $ABC$ nhọn $\left( AB<AC \right)$, đường phân giác $AD$ ($D$ thuộc $BC$). Các điểm $E$ và $F$ lần lượt chuyển động trên các cạnh $AB$ và $AC$ sao cho $BE=CF$. Trên cạnh $BC$ lấy các điểm $P$ và $Q$ sao cho $EP$ và $FQ$ cùng song song với $AD$.

a) So sánh $BP$ và $CQ$.

b) Chứng minh rằng trọng tâm $G$ của tam giác $AEF$ thuộc một đường thẳng cố định.

Lời giải

a) Vì  $AD$ là phân giác nên $\frac{BD}{CD}=\frac{BA}{CA}\Rightarrow \frac{BD}{BA}=\frac{CD}{CA}$ Lại có $PE//AD//QF$ $\Rightarrow \frac{BP}{BE}=\frac{BD}{BA}=\frac{CD}{CA}=\frac{CQ}{CF}$ Mà $BE=CF$ nên $BP=CQ$

b) Gọi $M$,$N$lần lượt là trung điểm của $BC$ và $EF$. Khi đó $MN$ là đường trung bình của hình thang $PEFQ$ nên $MN\text{//}PE\text{//}AD$. Mà $AD$ cố định, $M$ cố định nên $MN$ cố định .

Gọi $O$ là trọng tâm tam giác $ABC$ , ta có $\frac{AG}{AN}=\frac{AO}{AM}=\frac{1}{3}\Rightarrow OG\text{//}MN$. Mà $O$ cố định nên $G$ di động trên đường thẳng qua $O$ song song với $MN$cố định .

Câu 5

Cho nửa đường tròn tâm $O$ đường kính $AB=2R$. Gọi $C$ là trung điểm của $AO$, vẽ tia $Cx$vuông góc với $AB$ cắt nữa đường tròn tại $I$. Lấy $K$ là điểm bất kỳ trên đoạn $CI$($K$ khác $C$ và $I$). Tia $AK$ cắt nữa đường tròn $\left( O \right)$ tại $M$, tia $BM$cắt tia $Cx$ tại $D$. Vẽ tiếp tuyến với đường tròn $\left( O \right)$ tại $M$ cắt tia $Cx$ tại $N$.

a) Chứng minh rằng $\Delta KMN$ cân.

b) Tính diện tích $\Delta ABD$ theo $R$ khi $K$ là trung điểm của $CI$.

c) Khi $K$ di động trên $CI$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp $\Delta AKD$ đi qua điểm cố định thứ hai khác $A$.

Lời giải

a) Ta có $\widehat{KMN}=\widehat{MBA}$   (1) Tứ giác $BMKC$ có $\widehat{BMK}=\widehat{BCK}={{90}^{0}}$ nên nội tiếp $\Rightarrow \widehat{MKN}=\widehat{MBA}$     (2) Từ (1) và (2) suy ra : $\widehat{KMN}=\widehat{MKN}$ $\Rightarrow \Delta KMN$ cân tại $N$.

b) Ta có $\widehat{KAC}=\widehat{BDC};\widehat{ACK}=\widehat{BCD}$nên $\Delta ACK\sim \Delta DCB\Rightarrow \frac{AC}{DC}=\frac{KC}{CB}$

$\Rightarrow DC=\frac{AC.BC}{KC}=\left( \frac{R}{2}.\frac{3R}{2} \right):\frac{\sqrt{{{R}^{2}}-\frac{{{R}^{2}}}{4}}}{2}=R\sqrt{3}$

Do đó ${{S}_{\Delta ABD}}=\frac{DC.AB}{2}=\frac{R\sqrt{3}.2R}{2}={{R}^{2}}\sqrt{3}$.

c) Gọi E là điểm đối xứng với B qua C. Ta có $\widehat{CDE}=\widehat{CDB}=\widehat{CKA}$ nên tứ giác $AKDE$ nội tiếp. Do đó đường tròn ngoại tiếp $\Delta AKD$ cũng là đường tròn ngoại tiếp tứ giác $AKDE$.

Ta có $A$, $C$, $B$ cố định nên $AE$ cố định. Vậy đường tròn ngoại tiếp $\Delta AKD$ đi qua điểm cố định thứ hai khác $A$ là E.