Tổng hợp đề thi HSG Toán 9 – Tỉnh Quảng Trị
Tổng hợp đề thi HSG Toán 9 – Tỉnh Quảng Trị
ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH QUẢNG TRỊ NĂM HỌC 2018-2019
Câu 1 (4,0 điểm)
Cho $a=\sqrt{4+\sqrt{10+2\sqrt{5}}}+\sqrt{4-\sqrt{10+2\sqrt{5}}}$.
a) Chứng minh $a$ là nghiệm phương trình${{a}^{2}}-2a-4=0.$
b) Tính giá trị của biểu thức $T=\frac{{{a}^{4}}-4{{a}^{3}}+{{a}^{2}}+6a+4}{{{a}^{2}}-2a+12}.$
Câu 2 (4,0 điểm)
a) Giải hệ phương trình:$\left\{ \begin{align}& {{x}^{3}}+{{y}^{3}}=8 \\& x+y+2xy=2 \\\end{align} \right.$
b) Giải phương trình $\left( x+1 \right)\left( x+2 \right){{\left( x+3 \right)}^{2}}\left( x+4 \right)\left( x+5 \right)=360.$
Câu 3 (4,0 điểm)
a) Cho$a$ , $b$ , $c$là các số thực bất kì. Chứng minh ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge ab+bc+ca.$
b) Cho $a$ , $b$ , $c$ là các số thực thỏa mãn: $a\ge 1,b\ge 1,c\ge 1$và $ab+bc+ca=9$.
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức $P={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}$
Câu 4 (6,0 điểm)
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$$(AC<AB);$Gọi $H$ là hình chiếu của $A$trên $BC$, $D$là điểm nằm trên đoạn thẳng $AH$($D\ne A$,$D\ne H$) . Đường thẳng $BD$ cắt đường tròn tâm $C$ bán kính $CA$ tại $E$ và $F$($F$ nằm giữa $B$và $D$ ); $M$là điểm trên đoạn thẳng $AB$ sao cho $\widehat{ACF}=2\widehat{BFM}$; $MF$ cắt $AH$ tại $N$ .
a) Chứng minh $BH.BC=BE.BF$ và tứ giác $EFHC$ nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh $HD$ là phân giác góc $\widehat{EHF}$
c) Chứng minh $F$ là trung điểm $MN$
Câu 5 (2,0 điểm)
Cho các số nguyên $a$ , $b$ , $c$ thỏa mãn $\frac{{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+\frac{{{c}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}=\frac{2c}{b+c}$ . Chứng minh $bc$ là một số chính phương
……………….HẾT…………….
LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH QUẢNG TRỊ NĂM HỌC 2018-2019
Câu 1 (4,0 điểm)
Cho $a=\sqrt{4+\sqrt{10+2\sqrt{5}}}+\sqrt{4-\sqrt{10+2\sqrt{5}}}$.
a) Chứng minh $a$ là nghiệm phương trình${{a}^{2}}-2a-4=0.$
b) Tính giá trị của biểu thức $T=\frac{{{a}^{4}}-4{{a}^{3}}+{{a}^{2}}+6a+4}{{{a}^{2}}-2a+12}.$
Lời giải
a) Ta có ${{a}^{2}}=8+2\sqrt{16-(10+2\sqrt{5})}=8+2\sqrt{6-2\sqrt{5}}$
$=8+2\sqrt{{{(\sqrt{5}-1)}^{2}}}=6+2\sqrt{5}={{\left( \sqrt{5}+1 \right)}^{2}}$
Do $a>0$ nên $a=\sqrt{5}+1$
$a=\sqrt{5}+1\Rightarrow {{(a-1)}^{2}}=5$hay ${{a}^{2}}-2a-4=0$
Vậy $a$ là nghiệm của phương trình ${{a}^{2}}-2a-4=0$
b) Ta có $T=\frac{{{a}^{4}}-4{{a}^{3}}+{{a}^{2}}+6a+4}{{{a}^{2}}-2a+12}=\frac{{{a}^{4}}-2{{a}^{3}}-4{{a}^{2}}-2{{a}^{3}}+4{{a}^{2}}+8a+{{a}^{2}}-2a-4+8}{{{a}^{2}}-2a-4+16}$
$=\frac{{{a}^{2}}({{a}^{2}}-2a-4)-2a({{a}^{2}}-2a-4)+{{a}^{2}}-2a-4+8}{{{a}^{2}}-2a-4+16}=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$(vì ${{a}^{2}}-2a-4=0$)
Câu 2 (4,0 điểm)
a) Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{align}& {{x}^{3}}+{{y}^{3}}=8 \\& x+y+2xy=2 \\\end{align} \right.$
b) Giải phương trình $\left( x+1 \right)\left( x+2 \right){{\left( x+3 \right)}^{2}}\left( x+4 \right)\left( x+5 \right)=360.$
Lời giải
a)Ta có
$\left\{ \matrix{
{x^3} + {y^3} = 8 \hfill \cr
x + y + 2xy = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{(x + y)^3} – 3xy(x + y) = 8 \hfill \cr
x + y + 2xy = 2 \hfill \cr} \right.$
Đặt $\left\{ \begin{align}& S=x+y \\& P=x.y \\\end{align} \right.\,\,({{S}^{2}}-4P\ge 0)$. Ta có hệ phương trình
$\left\{ \matrix{
{S^3} – 3SP = 8 \hfill \cr
S + 2P = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
P = {{2 – S} \over 2} \hfill \cr
{S^3} – 3S.{{2 – S} \over 2} – 8 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
P = {{2 – S} \over 2} \hfill \cr
2{S^3} + 3{S^2} – 6S – 16 = 0 \hfill \cr} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
P = {{2 – S} \over 2} \hfill \cr
(S – 2)(2{S^2} + 7S + 8) = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
P = 0 \hfill \cr
S = 2 \hfill \cr} \right.$
(Vì $2{{S}^{2}}+7S+8=2{{(S+\frac{7}{4})}^{2}}+\frac{15}{8}>0$ )
Khi đó $\,\left\{ \begin{align}& x+y=2 \\& x.y=0 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow $$\left[ \begin{align}& x=2,\,y=0 \\& x=0,\,y=2 \\\end{align} \right.\,$
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là: $S=\left\{ (0;2);(2;0) \right\}$.
b) Phương trình: $\left( x+1 \right)\left( x+2 \right){{\left( x+3 \right)}^{2}}\left( x+4 \right)\left( x+5 \right)=360$
$\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}+6x+5 \right)\left( {{x}^{2}}+6x+8 \right)\left( {{x}^{2}}+6x+9 \right)=360$
Đặt $y={{x}^{2}}+6x$ ta có phương trình: $\left( y+5 \right)\left( y+8 \right)\left( y+9 \right)=360$
$\Leftrightarrow y\left( {{y}^{2}}+22y+157 \right)=0$
$\Leftrightarrow y=0$
(Vì ${{y}^{2}}+22y+157={{(y+11)}^{2}}+36>0)$
Ta có: ${{x}^{2}}+6x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=0 \\& x=-6 \\\end{align} \right.$
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: $x=0;x=-6$
Câu 3 (4,0 điểm)
a) Cho $a$ , $b$ , $c$là các số thực bất kì. Chứng minh ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge ab+bc+ca.$
b) Cho $a$ , $b$ , $c$ là các số thực thỏa mãn: $a\ge 1,b\ge 1,c\ge 1$và $ab+bc+ca=9$.
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức $P={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}$
Lời giải
a) Ta có: ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge 2ab$ , ${{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge 2bc$ , ${{c}^{2}}+{{a}^{2}}\ge 2ca$
Cộng vế theo vế ta được:
$2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\ge 2(ab+bc+ca)\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge ab+bc+ca$
b) Từ câu a) ta có: $\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\ge (ab+bc+ca)=2.9=18\Rightarrow 2P\ge 18\Rightarrow P\ge 9$
Dấu bằng xảy ra khi: $a=b=c=\sqrt{3}$
Vậy $MinP=9$ khi $a=b=c=\sqrt{3}$
Vì $a\ge 1$, $b\ge 1$ ,$c\ge 1$nên $(a-1)(b-1)\ge 0\Leftrightarrow ab-a-b+1\ge 0\Leftrightarrow ab+1\ge a+b$
Tương tự ta có: $bc+1\ge b+c$, $ca+1\ge c+a$
Do đó: $ab+bc+ca+3\ge 2(a+b+c)\Leftrightarrow a+b+c\le \frac{9+3}{2}=6$
Mà $P={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}={{\left( a+b+c \right)}^{2}}-2\left( ab+bc+ca \right)={{\left( a+b+c \right)}^{2}}18$
$\Rightarrow P\le 36-18=18$ . Dấu bằng xảy ra khi: $\left[ \begin{align}& a=4;b=c=1 \\& b=4;a=c=1 \\& c=4;a=b=1 \\\end{align} \right..$
Vậy $MaxP=18$ khi: $\left[ \begin{align}& a=4;b=c=1 \\& b=4;a=c=1 \\& c=4;a=b=1 \\\end{align} \right..$
Câu 4 (6,0 điểm)
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$$(AC<AB);$Gọi $H$ là hình chiếu của $A$trên $BC$, $D$là điểm nằm trên đoạn thẳng $AH$($D\ne A$,$D\ne H$) . Đường thẳng $BD$ cắt đường tròn tâm $C$ bán kính $CA$ tại $E$ và $F$($F$nằm giữa $B$ và $D$); $M$là điểm trên đoạn thẳng $AB$ sao cho $\widehat{ACF}=2\widehat{BFM}$; $MF$ cắt $AH$ tại $N$ .
a) Chứng minh $BH.BC=BE.BF$ và tứ giác $EFHC$ nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh $HD$ là phân giác góc $\widehat{EHF}$
c) Chứng minh $F$ là trung điểm $MN$
Lời giải
a) $AB$ là tiếp tuyến của đường tròn $(C;CA)$$\Rightarrow B{{A}^{2}}=BE.BF$ (1)
$AH$ là đường cao của tam giác vuông $ABC$$\Rightarrow B{{A}^{2}}=BH.BC$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra: $BE.BF=BH.BC$
Ta có: $BE.BF=BH.BC\Rightarrow \frac{BH}{BF}=\frac{BE}{BC}$
Từ $\frac{BH}{BF}=\frac{BE}{BC}$ và $\widehat{HBF}=\widehat{EBC}$$\Rightarrow \Delta HBF\sim \Delta EBC$$\Rightarrow \widehat{BHF}=\widehat{BEC}$
Suy ra tứ giác $EFHC$ nội tiếp đường tròn.
b) Ta có: $\widehat{BHF}=\widehat{BEC}=\widehat{EFC}=\widehat{EHC}\Rightarrow \widehat{EHD}=\widehat{FHD}$(vì $AH\bot BC$ )
Do $D$ nằm giữa $E,F$ nên $HD$ là phân giác của góc $\widehat{EHF}$
c) Ta có: $\widehat{BFM}=\frac{1}{2}\widehat{ACF}=\widehat{AEF}\Rightarrow AE//MN$ (3)
Theo câu b) và vì $HD\bot HB$nên $HB$ là phân giác ngoài của $\widehat{EHF}.$(4)
Từ (3) và (4) suy ra: $\frac{MF}{AE}=\frac{BF}{BE}=\frac{HF}{HE}=\frac{DF}{DE}=\frac{FN}{AE}\Rightarrow FM=FN.$
Câu 5 (2,0 điểm)
Cho các số nguyên $a$ , $b$ , $c$ thỏa mãn $\frac{{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+\frac{{{c}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}=\frac{2c}{b+c}$ . Chứng minh $bc$ là một số chính phương.
Lời giải
Ta có: $\frac{{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+\frac{{{c}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}=\frac{2c}{b+c}\Leftrightarrow \frac{{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}-\frac{c}{b+c}+\frac{{{c}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}-\frac{c}{b+c}=0$
$\Leftrightarrow \frac{{{a}^{2}}(b+c)-c({{a}^{2}}+{{b}^{2}})}{(b+c)({{a}^{2}}+{{b}^{2}})}+\frac{{{c}^{2}}(b+c)-c({{a}^{2}}+{{c}^{2}})}{(b+c)({{a}^{2}}+{{c}^{2}})}=0$
$\Leftrightarrow \frac{b({{a}^{2}}-bc)}{(b+c)({{a}^{2}}+{{b}^{2}})}+\frac{-c({{a}^{2}}-bc)}{(b+c)({{a}^{2}}+{{c}^{2}})}=0$
$\Leftrightarrow \frac{{{a}^{2}}-bc}{b+c}\left( \frac{b}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+\frac{-c}{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}} \right)=0$
$\Leftrightarrow \frac{{{({{a}^{2}}-bc)}^{2}}(b-c)}{(b+c)({{a}^{2}}+{{b}^{2}})({{a}^{2}}+{{c}^{2}})}=0$$\Rightarrow ({{a}^{2}}-bc)(b-c)=0$
Xét ${{a}^{2}}-bc=0\Rightarrow bc={{a}^{2}}$ là số chính phương
Xét $b-c=0\Rightarrow b=c$. Khi đó $bc={{c}^{2}}$ là số chính phương
