Tư liệu soạn giáo án Toán 8 CTST – Bài 1 – Đơn thức và đa thức nhiều biến

Tư liệu soạn giáo án Toán 8 CTST – Bài 1 – Đơn thức và đa thức nhiều biến

Phần Số Và Đại số

BIỂU THỨC ĐẠI SỐ

Trong chương này, các em sẽ học vể đơn thức và đa thức nhiều biến, kế tiếp chúng ta sẽ tìm hiểu bảy hằng đằng thức đáng nhớ và sau cùng là học vể phân thức đại số.

Một đội thuyền dự cuộc đua trên một khúc sông dài $4\text{ }\!\!~\!\!\text{ km}$. Lúc xuôi dòng thì đội thuyền có tốc độ trung bình là $\text{km}/\text{h}$, còn khi ngược dòng thì tốc độ chậm hơn $1\text{ }\!\!~\!\!\text{ km}/\text{h}$. Thời gian đội thuyền đi ngược dòng là $\frac{4}{x-1}$ giờ. Biểu thức $\frac{4}{x-1}$ được gọi là phân thức đại số.

Bài 1: Đơn thức và đa thức nhiều biến

Hình bên là bản vẽ sơ lược nền của một ngôi nhà (các kich thước tính theo $\text{m}$ ).

Có thể biểu thị diện tích của nến nhà bằng một biểu thức chứa biến $\text{x}$ và $\text{y}$ không? Nếu có, trong biểu thức đó chứa các phép tính nào?

1. ĐƠN THỨC VÀ ĐA THỨC

Một số biểu thức được phân chia thảnh các nhóm như dưới đây:

Nhóm $\text{A}$ Nhóm B Nhóm C
          $2\text{xy};-3{{\text{x}}^{2}};\frac{1}{2}\text{xy}{{\text{y}}^{2}};10$       ${{\text{x}}^{2}}-2\text{x}+1;{{\text{x}}^{2}}-\frac{1}{2}\text{xy}$ $\frac{\text{x}}{\text{y}};2-\sqrt{\text{x}}$

 

a) Các biểu thức ở nhóm $\text{A}$ có đặc điểm gi phân biệt với các biểu thức ở nhóm $\text{B}$ và nhóm C?

b) Các biểu thức ở nhóm $\text{A}$ và nhóm $\text{B}$ có đặc điểm gì chung, phân biệt với các biểu thức ở nhóm C?

Các biểu thức như ở nhóm $\text{A}$ gọi là đon thúc’ các biểu thức như ở nhóm $\text{A}$ hoặc nhóm $\text{B}$ gọi là đa thức. Các biểu thức như ở nhóm $\text{C}$ không phải là đơn thức, cũng không phải là đa thức. Tổng quát, ta có định nghĩa sau đây.

Đơn thi̛c là biểu thức đại số chi gồm một số, hoặc một biến, hoặc một tích giữa các số và các biến.

Đa thưc là một tổng của những đơn thức. Mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tị của đa thức đó.

Chú y:

a) Mỗi đơn thức cũng được coi là một đa thức (chi chứa một hạng tử).

b) Số 0 được gọi đơn thúrc không, cũng gọi là đa thức không.

Ví dụ 1. Cho các biểu thức sau:

$-3x;2xy+x-1;\frac{1}{2}{{x}^{2}}yz;-xy+\frac{1}{4}xz;-\sqrt{2};\sqrt{x};3xy\left( -\frac{1}{4} \right){{y}^{2}};\frac{x}{y}$.

Trong số các biểu thức trên, hãy chỉ ra:

a) Các đơn thức;

b) Các đa thức và số hạng tử của chúng.

Giải

a) Các đơn thức là: $-3\text{x};\frac{1}{2}{{\text{x}}^{2}}\text{yz};-\sqrt{2};3\text{xy}\left( -\frac{1}{4} \right){{\text{y}}^{2}}$.

b) Các đa thức gồm:

Các đơn thức ở câu a) đều có một hạng tử;

Read:   Tư liệu soạn giáo án Toán 8 CTST – Bài 3 Hình thang - Hình thang cân

Đa thức $2xy+x-1$ có ba hạng tử và đa thức $-xy+\frac{1}{4}xz$ có hai hạng tử.

Chú ý: Các biểu thức $\sqrt{\text{x}};\frac{\text{x}}{\text{y}}$ không phải là đơn thức (do đó cũng không phải là đa thức), vì biểu thức đầu chứa phép toán lấy căn bậc hai số học của biến $\text{x}$, biểu thức sau chứa phép toán chia giữa hai biến $\text{x}$ và $\text{y}$.

Vi dụ 2. Tính giá trị của các đơn thức, đa thức sau tại $x=3,y=-\frac{1}{2}$.
a) $6{{x}^{2}}y$;
b) ${{x}^{2}}-4xy+4{{y}^{2}}$.

a) Thay $\text{x}=3,\text{y}=-\frac{1}{2}$ vào đơn thức $6{{\text{x}}^{2}}\text{y}$ ta được $6\cdot {{3}^{2}}\cdot \left( -\frac{1}{2} \right)=-27$.

b) Thay $\text{x}=3,\text{y}=-\frac{1}{2}$ vào đa thức ${{\text{x}}^{2}}-4\text{xy}+4{{\text{y}}^{2}}$ ta được

${{3}^{2}}-4\cdot 3\cdot \left( -\frac{1}{2} \right)+4\cdot {{\left( -\frac{1}{2} \right)}^{2}}=9+6+1=16$

Thực hành 1. Cho các biểu thức sau:

$ab-\pi {{r}^{2}};\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\frac{4\pi {{r}^{3}}}{3};\frac{\text{p}}{2\pi };\text{x}-\frac{1}{\text{y}};0;\frac{1}{\sqrt{2}};{{\text{x}}^{3}}-\text{x}+1.$

Trong các biểu thức trên, hãy chỉ ra:

a) Các đơn thức;

b) Các đa thức và số hạng tử của chúng.

Vận dụng 1. Một bức tường hình thang có cửa sổ hình tròn với các kích thước như Hình 1 (tính bằng $\text{m}$ ).

a) Viết biểu thức biểu thị diện tích bức tường (không tính phần cửa sổ).

b) Tính giá trị diện tích trên khi a $=2\text{ }\!\!~\!\!\text{ m};\text{h}=3\text{ }\!\!~\!\!\text{ m};\text{r}=0,5\text{ }\!\!~\!\!\text{ m}$ (lấy $\pi =3,14$; làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

 

Hình 1

2. ĐƠN THỨC THU GỌN

Đề tính thể tích của hình hộp chữ nhật ở Hinh 2, bạn An viết $\text{V}=3\text{xy}\cdot 2\text{x}$, còn bạn Tâm viết $\text{V}=6{{\text{x}}^{2}}\text{y}$. Nêu nhận xét về kết quả của hai bạn.

 

Hinh 2

Đơn thức thu gọn là đơn thức chỉ gồm tích của một số với các biến mà mỗi biến chỉ xuất hiện một lần dưới dạng nâng lên luỹ thừa với số mũ nguyên dương.

Thừa số là một số nói trên được gọi là hệ số, tích của các thừa số còn lại gọi là phần biến của đơn thức thu gọn.

Chú ý:

a) Tổng số mũ của tất cả các biến có trong đơn thức (có hệ số khác 0 ) gọi là bậc của đon thức đó.

b) Ta coi một số khác 0 là đơn thức thu gọn, có hệ số bằng chính số đó và có bậc bằng 0.

c) Đơn thức không (số 0 ) không có bậc.

d) Khi viết đơn thức thu gọn ta thường viết hệ số trước, phần biến sau và các biến được viết theo thứ tự bảng chữ cái.

Vídu 3.

a) Đơn thức nào sau đây là đơn thức thu gọn? Chỉ ra hệ số và bậc của mỗi đơn thức đó.

$3xyz;-{{x}^{3}}{{y}^{2}}z;-\sqrt{2};-2x\cdot 3y{{z}^{2}};-\frac{1}{3}xy{{x}^{2}}$

b) Hãy thu gọn các đơn thức còn lại.

Giải

a) Các đơn thức thu gọn là:

$3xyz$, có hệ số là 3, bậc bằng $1+1+1=3$;

$-{{x}^{3}}{{y}^{2}}z$, có hệ số là $-1$, bậc bằng $3+2+1=6$;

$-\sqrt{2}$, có hệ số bằng $-\sqrt{2}$, bậc bằng 0.

Read:   Bài tập Toán 8 – Bài 2: Đa Thức – Sách Kết nối tri thức

$-2x.3y{{z}^{2}}$ và $-\frac{1}{3}xy{{x}^{2}}$ không phải là đơn thức thu gọn, vì trong tích $-2x.3y{{z}^{2}}$ có hai số là $-2$ và $3;-\frac{1}{3}xy{{x}^{2}}$ có biến $x$ xuất hiện hai lần.

b) Thu gon:

$-2x\cdot 3y{{z}^{2}}=\left( -2\cdot 3 \right)xy{{z}^{2}}=-6xy{{z}^{2}}\text{; }\!\!~\!\!\text{ }$

$\begin{array}{*{35}{r}}{} & ~-\frac{1}{3}xy{{x}^{2}}=-\frac{1}{3}\cdot \left( x\cdot {{x}^{2}} \right)\cdot y=-\frac{1}{3}\cdot {{x}^{1+2}}\cdot y=-\frac{1}{3}{{x}^{3}}y  \\\end{array}$

Chú ý:

a) Để thu gọn một đơn thức, ta nhóm các thừa số là các số rồi tính tích của chúng; nhóm các thừa số cùng một biến rồi viết tích của chúng thành luỹ thừa của biến đó.

b) Từ nay, khi nói đến đơn thức, nếu không nói gì thêm, ta hiểu đó là đơn thức thu gọn. Thực hành 2. Thu gọn các đơn thức sau đây. Chỉ ra hệ số và bậc của chúng.
a) $12x{{y}^{2}}x$
b) $-y\left( 2z \right)y$;
c) ${{\text{x}}^{3}}\text{yx}$
d) $5{{x}^{2}}{{y}^{3}}{{z}^{4}}y$

CỘNG, TRỪ ĐƠN THỨC ĐỒNG DẠNG

Cho hai hình hộp chữ nhật $\text{A}$và $\text{B}$có các

kích thước như Hình 3.

a) Tính tông thể tích của hình hộp chữ nhật $A$ và $B$.

b) Thể tích của $\text{A}$ lớn hơn thể tích của $\text{B}$ bao nhiêu?

 

A

Hinh 3

 

B

Hai đơn thức $3{{x}^{2}}y$ và $2{{x}^{2}}y$ có phần biến như nhau, đều là ${{x}^{2}}\text{y}$. Để cộng, trừ hai đơn thức này, áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng, ta thực hiện như sau:

$3{{x}^{2}}y+2{{x}^{2}}y=\left( 3+2 \right){{x}^{2}}y=5{{x}^{2}}y;\text{ }\!\!~\!\!\text{ }3{{x}^{2}}y-2{{x}^{2}}y=\left( 3-2 \right){{x}^{2}}y={{x}^{2}}y$

Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có hệ số khác 0 và có cùng phần biến. Để cộng, trừ (hay tìm tổng, hiệu) hai đơn thức đồng dạng, ta cộng, trừ hệ số của chúng và giữ nguyên phần biến.

Vídu 4. Mỗi cặp đơn thức sau có đồng dạng không? Nếu có, hãy tìm tổng và hiệu của chúng.
a) $4x{{y}^{3}}$ và $7x{{y}^{3}}$
b) $xyx$ và $-3{{x}^{2}}y$
c) $2xy$ và $xy{{z}^{2}}$.

Giải

a) $4x{{y}^{3}}$ và $7x{{y}^{3}}$ là hai đơn thức đồng dạng, vì có hệ số khác 0 và cùng phần biến là $x{{y}^{3}}$. Ta có:

$\begin{array}{*{35}{r}}{} & 4x{{y}^{3}}+7x{{y}^{3}}=\left( 4+7 \right)x{{y}^{3}}=11x{{y}^{3}}  \\{} & 4x{{y}^{3}}-7x{{y}^{3}}=\left( 4-7 \right)x{{y}^{3}}=-3x{{y}^{3}}  \\\end{array}$

b) Ta có $xyx=xxy={{x}^{2}}y$. Vậy hai đơn thức $xyx$ và $-3{{x}^{2}}y$ có hệ số khác 0 và cùng phần biến là ${{\text{x}}^{2}}\text{y}$, do đó chúng là hai đơn thức đồng dạng. Ta có:

$\begin{array}{*{35}{r}}{} & xyx+\left( -3{{x}^{2}}y \right)={{x}^{2}}y-3{{x}^{2}}y=\left( 1-3 \right){{x}^{2}}y=-2{{x}^{2}}y  \\{} & xyx-\left( -3{{x}^{2}}y \right)={{x}^{2}}y+3{{x}^{2}}y=\left( 1+3 \right){{x}^{2}}y=4{{x}^{2}}y  \\\end{array}$

c) Ta thấy đơn thức $xy{{z}^{2}}$ chứa biến $z$, trong khi đơn thức $2xy$ không chứa biến này, do đó chúng có phần biến khác nhau. Bởi vậy, chúng không phải là hai đơn thức đồng dạng. Thực hành 3. Mỗi cặp đơn thức sau có đồng dạng không? Nếu có, hãy tìm tổng và hiệu của chúng.
a) xy và $-6xy$;
b) $2xy$ và $x{{y}^{2}}$;
c) $-4yz{{x}^{2}}$ và $4{{x}^{2}}yz$.

4. ĐA THỨC THU GỌN

Cho hai đa thức $\text{A}=5{{\text{x}}^{2}}-4\text{xy}+2\text{x}-4{{\text{x}}^{2}}+\text{xy};\text{B}={{\text{x}}^{2}}-3\text{xy}+2\text{x}$.

Read:   Tư liệu soạn giáo án Toán 8 CTST – Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử

Tính giá trị của $\text{A}$ và $\text{B}$ tại $\text{x}=-2;\text{y}=\frac{1}{3}$. Nêu nhận $\text{x }\!\!\acute{\mathrm{e}}\!\!\text{ t}$ về hai giá trị này.

Sử dụng tính chất của các phép tính (giao hoán, kết hợp, phân phối), ta có thể biến đổi đa thức $\text{A}$ như sau:

$\begin{array}{*{35}{r}}A=5{{x}^{2}}-4xy+2x-4{{x}^{2}}+xy & ~=\left( 5{{x}^{2}}-4{{x}^{2}} \right)-\left( 4xy-xy \right)+2x  \\{} & ~=\left( 5-4 \right){{x}^{2}}-\left( 4-1 \right)xy+2x  \\{} & ~={{x}^{2}}-3xy+2x\left( =3\right).  \\\end{array}$

Đa thức $\text{B}$ không có hai hạng từ nào đồng dạng. Ta nói $\text{B}$ là một đa thúc thu gọn.

Đa thúc thu gọn là đa thức không chứa hai hạng tử nào đồng dạng.

Chú ý:

a) Biến đổi một đa thức thành đa thức thu gọn gọi là thu gọn đa thức đó.

b) Để thu gọn một đa thức, ta nhóm các hạng tử đồng dạng với nhau và cộng các hạng từ đồng dạng đó với nhau.

c) Bậc của hạng từ có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức gọi là bậc của đa thúc đó.

Ví du 5. Thu gọn và tìm bậc của mỗi đa thức sau:
a) $\text{A}=2\text{a}-3\text{ }\!\!~\!\!\text{ b}+1-\text{a}-5-2\text{ }\!\!~\!\!\text{ b}$;
b) $B={{x}^{2}}y+3x-x{{y}^{2}}+xy-2{{x}^{2}}y-x$.

Giải

a) $A=\left( 2a-a \right)+\left( -3b-2b \right)+\left( 1-5 \right)=a-5b-4$.

Ba hạng tử của $\text{A}$ lần lượt có bậc là $1;1;0$. Do đó, bậc của $\text{A}$ bằng 1.

b) $B=\left( {{x}^{2}}y-2{{x}^{2}}y \right)+\left( 3x-x \right)-x{{y}^{2}}+xy=-{{x}^{2}}y+2x-x{{y}^{2}}+xy$.

Bốn hạng tử của $\text{B}$ lần lượt có bậc là $3;1;3;2$. Do đó, bậc của $\text{B}$ bằng 3.

Thực hành 4. Thu gọn và tìm bậc của mỗi đa thức sau:
a) $A=x-2y+xy-3x+{{y}^{2}}$
b) $B=xyz-{{x}^{2}}y+xz-\frac{1}{2}xyz+\frac{1}{2}xz$.

Thực hành 5. Tính giá trị của đa thức $\text{A}=3{{\text{x}}^{2}}\text{y}-5xy-2{{\text{x}}^{2}}\text{y}-3\text{xy}$ tại $\text{x}=3;\text{y}=-\frac{1}{2}$. Vận dụng 2. Cho hình hộp chữ nhật có các kích thước như Hình 4 (tính theo $\text{cm}$ ).

a) Viết các biểu thức tính thể tích và diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật đó.

b) Tính giá trị của các đại lượng trên khi $\text{a}=2\text{ }\!\!~\!\!\text{ cm};\text{h}=5\text{ }\!\!~\!\!\text{ cm}$.

 

Hinh 4

BÀI TẬP

Chỉ ra các đơn thức, đa thức trong các biểu thức sau:

$-3;2z;\frac{1}{3}xy+1;-10{{x}^{2}}yz;\frac{4}{xy};\text{ }\!\!~\!\!\text{ }5x-\frac{z}{2};1+\frac{1}{y}\text{. }\!\!~\!\!\text{ }$

Thu gọn các đơn thức sau. Chi ra hệ số, phần biến và bậc của mỗi đơn thức.

$5xyx;-xyz\frac{2}{3}y;-2{{x}^{2}}\left( -\frac{1}{6} \right)x\text{. }\!\!~\!\!\text{ }$

Thu gọn và tìm bậc của mỗi đa thức sau:
a) $M=x-3-4y+2x-y$;
b) $N=-{{x}^{2}}t+13{{t}^{3}}+x{{t}^{2}}+5{{t}^{3}}-4$.

Tính giá trị của đa thức $P=3x{{y}^{2}}-6xy+8xz+x{{y}^{2}}-10xz$ tại $x=-3;y=-\frac{1}{2};z=3$.

Viết biểu thức biểu thị thể tích $\text{V}$ và diện tích xung quanh $\text{S}$ của hình hộp chữ nhật trong Hình 5.

Tính giá trị của $\text{V},\text{S}$ khi $\text{x}=4\text{ }\!\!~\!\!\text{ cm},\text{y}=2\text{ }\!\!~\!\!\text{ cm}$ và $\text{z}=1\text{ }\!\!~\!\!\text{ cm}$.

 

Hinh 5

Sau bài học này, em đã làm được những gì?

  • Nhận biết được đơn thức, đa thức nhiểu biến.
  • Thực hiện thu gọn đơn thức, đa thức.
  • Tính được giá trị của đa thức khi biết giá trị của các biến.

Bài tiếp theo: Tư liệu soạn giáo án Toán 8 CTST – Bài 2: Các phép toán với đa thức nhiều biến

Bạn đang cần file word nội dung này, hãy tham gia nhóm của chúng tôi đề nhận miễn phí.

Hình đại diện của người dùng

admin

Một bình luận trong “Tư liệu soạn giáo án Toán 8 CTST – Bài 1 – Đơn thức và đa thức nhiều biến

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *