Tư liệu soạn giáo án Toán 8 CTST – Bài 2: Các phép toán với đa thức nhiều biến

Tư liệu soạn giáo án Toán 8 CTST – Bài 2: Các phép toán với đa thức nhiều biến

Bài 2. Các phép toán với đa thức nhiều biến

Trên một đoạn sông thẳng, xuất phát cùng lúc từ một bến thuyền, thuyền đi xuôi dòng với tốc độ $\left( v+3 \right)\text{km}/\text{h}$, ca nô đi ngược dòng với tốc độ $\left( 2\text{v}-3 \right)\text{km}/\text{h}$.

Làm thế nào để tìm được quãng đường của mỗi phương tiện và khoảng cách giữa chúng sau khoảng thời gian t giờ kể từ khi rời bến?

CỘNG, TRỪ HAI ĐA THỨC

Tại một công trình xây dựng, người ta dùng ba loại tấm kính chống nắng $\text{A},\text{B}$ và $\text{C}$ với kích thước như Hình 1 (tính bẳng $\text{m}$ ). Giá tiền các tấm kính được tính theo diện tích với đơn giá a đồng/m² Tại đây có hai lần nhập vật liệu như bảng sau:

	Số tấm mỗi loại
	A	B	C
Lần 1	2	4	5
Lần 2	4	3	6

a) Tính tổng số tiền mua kính của cả hai lần.

b) Số tiền lần 2 nhiều hơn lần 1 bao nhiêu?

Xét hai đa thức $\text{A}=2{{\text{x}}^{2}}-\text{xy};\text{B}={{\text{x}}^{2}}+3\text{xy}-{{\text{y}}^{2}}$. Ta thực hiện phép cộng, trừ hai đa thức này như sau:

$A+B=\left( 2{{\text{x}}^{2}}-\text{xy} \right)+\left( {{\text{x}}^{2}}+3\text{xy}-{{\text{y}}^{2}} \right)$

$=2{{\text{x}}^{2}}-\text{xy}+{{\text{x}}^{2}}+3\text{xy}-{{\text{y}}^{2}}$ (Quy tắc dấu ngoặc)

$=\left( 2{{\text{x}}^{2}}+{{\text{x}}^{2}} \right)+\left( -\text{xy}+3\text{xy} \right)-{{\text{y}}^{2}}$ (Tính chất giao hoán và kết hợp)

$=3{{\text{x}}^{2}}+2\text{xy}-{{\text{y}}^{2}};$

$A-B=\left( 2{{\text{x}}^{2}}-\text{xy} \right)-\left( {{\text{x}}^{2}}+3\text{xy}-{{\text{y}}^{2}} \right)$

$=2{{\text{x}}^{2}}-\text{xy}-{{\text{x}}^{2}}-3\text{xy}+{{\text{y}}^{2}}$

$=\left( 2{{\text{x}}^{2}}-{{\text{x}}^{2}} \right)-\left( \text{xy}+3\text{xy} \right)+{{\text{y}}^{2}}$

$={{\text{x}}^{2}}-4\text{xy}+{{\text{y}}^{2}}$

Để cộng, trừ hai đa thức ta thực hiện các bước:

Bỏ dấu ngoặc (sử dụng quy tắc dấu ngoặc);

Nhóm các đơn thức đồng dạng (sử dụng tính chất giao hoán và kết hợp);

Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng.

Ví du 1. Cho hai đa thức $\text{P}=\text{a}+3\text{ }\!\!~\!\!\text{ b}+\text{a}{{\text{b}}^{2}}$ và $\text{Q}={{\text{a}}^{2}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ b}-\text{a}{{\text{b}}^{2}}-2\text{ }\!\!~\!\!\text{ b}$. Tính $\text{P}+\text{Q}$ và $\text{P}-\text{Q}$.

Giải

$\begin{align}& \text{P}+\text{Q}=\text{a}+3\text{ }\!\!~\!\!\text{ b}+a\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\text{b}}^{2}}+{{\text{a}}^{2}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ b}-a\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\text{b}}^{2}}-2\text{ }\!\!~\!\!\text{ b} \\& =\text{a}+\left( 3\text{ }\!\!~\!\!\text{ b}-2\text{ }\!\!~\!\!\text{ b} \right)+{{\text{a}}^{2}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ b}+\left( a\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\text{b}}^{2}}-a\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\text{b}}^{2}} \right)=\text{a}+\text{b}+{{\text{a}}^{2}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ b} \\\end{align}$

$\begin{align}& P-Q=\text{a}+3\text{ }\!\!~\!\!\text{ b}+a\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\text{b}}^{2}}-\left( {{\text{a}}^{2}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ b}-a\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\text{b}}^{2}}-2\text{ }\!\!~\!\!\text{ b} \right)=\text{a}+3\text{ }\!\!~\!\!\text{ b}+a\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\text{b}}^{2}}-{{\text{a}}^{2}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ b}+a\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\text{b}}^{2}}+2\text{ }\!\!~\!\!\text{ b} \\& =\text{a}+\left( 3\text{ }\!\!~\!\!\text{ b}+2\text{ }\!\!~\!\!\text{ b} \right)-{{\text{a}}^{2}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ b}+\left( a\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\text{b}}^{2}}+\text{a}{{\text{b}}^{2}} \right)=\text{a}+5\text{ }\!\!~\!\!\text{ b}-{{\text{a}}^{2}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ b}+2a\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\text{b}}^{2}} \\\end{align}$

Thực hành 1. Cho hai đa thức $\text{M}=1+3xy-2{{x}^{2}}{{y}^{2}}$ và $N=x-xy+2{{x}^{2}}{{y}^{2}}$.

Tính $\text{M}+\text{N}$ và $\text{M}-\text{N}$.

NHÂN HAI ĐA THỨC

Nhân hai đơn thức

Hinh hộp chữ nhật $\text{A}$ có chiều rộng $2\text{x}$ cm, chiều dài và chiều cao đều gấp k lần chiều rộng (Hình 2).

a) Tính diện tích đáy của $\text{A}$.

b) Tính thể tích của A.

$\text{Hinh}2$

Xét hai đơn thức $\text{A}=2{{\text{x}}^{5}}{{\text{y}}^{2}}$ và $\text{B}=-3x{{y}^{2}}$.

Ta nhân hai đơn thức này như sau:

$A.B=\left( 2{{\text{x}}^{5}}{{\text{y}}^{2}} \right)\cdot \left( -3\text{x}{{\text{y}}^{2}} \right)$

$=\left[ 2\cdot \left( -3 \right) \right] \cdot \left( {{\text{x}}^{5}}\cdot \text{x} \right)\cdot \left( {{\text{y}}^{2}}\cdot {{\text{y}}^{2}} \right)$ (Tính chất giao hoán và kết hợp của phép nhân.

$=-6{{\text{x}}^{6}}{{\text{y}}^{4}}.$

Để nhân hai đơn thức, ta nhân các hệ số với nhau, nhân các luỹ thừa cùng biến, rồi nhân các kết quả đó với nhau. Vídu 2. Thực hiện các phép nhân đơn thức sau:
a) $\left( -3{{x}^{4}}{{y}^{3}} \right)\cdot \left( -4{{x}^{2}} \right)$
b) ${{(xy)}^{2}}\cdot \left( -\frac{1}{2}x{{y}^{3}} \right)$

Giải

a) $\left( -3{{x}^{4}}{{y}^{3}} \right)\cdot \left( -4{{x}^{2}} \right)=\left[ \left( -3 \right)\cdot \left( -4 \right) \right] \cdot \left( {{x}^{4}}\cdot {{x}^{2}} \right)\cdot {{y}^{3}}=12{{x}^{6}}{{y}^{3}}$

b) ${{(xy)}^{2}}\cdot \left( -\frac{1}{2}x{{y}^{3}} \right)=\left( {{x}^{2}}{{y}^{2}} \right)\cdot \left( -\frac{1}{2}x{{y}^{3}} \right)=\left( -\frac{1}{2} \right)\cdot \left( {{x}^{2}}\cdot x \right)\cdot \left( {{y}^{2}}\cdot {{y}^{3}} \right)=-\frac{1}{2}{{x}^{3}}{{y}^{5}}$.

Thực hành 2. Thực hiện các phép nhân đơn thức sau:
a) $\left( 4{{x}^{3}} \right)\cdot \left( -6{{x}^{3}}y \right)$
b) $\left( -2y \right)\cdot \left( -5x{{y}^{2}} \right)$
c) ${{(-2a)}^{3}}\cdot {{(2ab)}^{2}}$

Nhân hai đa thức

a) Hình 3 a là bản vẽ sơ lược sàn của một căn hộ (các kích thước tính theo $\text{m}$ ). Tính diện tích sàn này bằng những cách khác nhau.

b) Nếu vẽ cả ban công thì được sơ đồ như Hình 3 b. Hãy tính tổng diện tích của sàn bao gồm cả ban công.

a)

b)

Hinh 3

Xét đơn thức $A=2x$ và hai đa thức $B=y+3x+2;C=2x+1$.

Ta nhân hai đa thức $\text{A}$ và $\text{B}$ như sau:

$A.B=2\text{x}\left( \text{y}+3\text{x}+2 \right)$

$=2\text{xy}+2\text{x}\cdot 3\text{x}+2\text{x}.2$ (tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng)

$=2\text{xy}+6{{\text{x}}^{2}}+4\text{x}.\text{ }\!\!~\!\!\text{  }\!\!~\!\!\text{ }$ (tính chất giao hoán và kết hơp của phép nhân)

 

Để nhân hai đa thức $\text{C}$ và $\text{B}$, nhân từng hạng tử của $\text{C}$ với $\text{B}$, rồi cộng các kết quả với nhau:

$\begin{align}& B.C=\left( 2x+1 \right)\left( y+3x+2 \right)=2x\cdot \left( y+3x+2 \right)+1\cdot \left( y+3x+2 \right) \\& =2xy+6{{x}^{2}}+4x+y+3x+2=2xy+6{{x}^{2}}+\left( 4x+3x \right)+y+2 \\& =2xy+6{{x}^{2}}+7x+y+2 \\\end{align}$

Để nhân đơn thức với đa thức, ta nhân đơn thức đó với từng hạng từ của đa thức, rồi cộng các kết quả với nhau.

Để nhân hai đa thức, ta nhân từng hạng tử của đa thức này với đa thức kia, rồi cộng các kết quả với nhau. Ví du 3. Thực hiện các phép tính nhân:
a) $2xy\left( {{x}^{2}}-3{{y}^{2}} \right)$
b) $\left( x-y \right)\left( {{x}^{3}}-{{x}^{2}}y \right)$

Giải

a) $2xy\left( {{x}^{2}}-3{{y}^{2}} \right)=2xy\cdot {{x}^{2}}-2xy\cdot 3{{y}^{2}}=2\cdot \left( x\cdot {{x}^{2}} \right)\cdot y-6\cdot x\cdot \left( y\cdot {{y}^{2}} \right)$

$=2{{x}^{3}}y-6x{{y}^{3}}\text{. }\!\!~\!\!\text{ }$

b) $\left( x-y \right)\left( {{x}^{3}}-{{x}^{2}}y \right)=x\left( {{x}^{3}}-{{x}^{2}}y \right)-y\left( {{x}^{3}}-{{x}^{2}}y \right)=x\cdot {{x}^{3}}-x\cdot {{x}^{2}}\cdot y-y\cdot {{x}^{3}}+y\cdot {{x}^{2}}\cdot y$ $={{x}^{4}}-{{x}^{3}}y-{{x}^{3}}y+{{x}^{2}}{{y}^{2}}$ $={{x}^{4}}-\left( {{x}^{3}}y+{{x}^{3}}y \right)+{{x}^{2}}{{y}^{2}}={{x}^{4}}-2{{x}^{3}}y+{{x}^{2}}{{y}^{2}}$

Thực hành 3 . Viết các biểu thức sau thành đa thức:
a) $\left( -5{{a}^{4}} \right)\left( {{a}^{2}}b-a{{b}^{2}} \right)$
b) $\left( x+2y \right)\left( x{{y}^{2}}-2{{y}^{3}} \right)$

Vận dụng 1. Viết biểu thức tính khoảng cách giữa hai phương tiện trong tình huống ở (trang 12).

Vận dụng 2. Tính diện tích phần tô màu trong Hinhh 4 .

CHIA ĐA THỨC CHO ĐƠN THỨC

Hinh 4

Chia đơn thức cho đơn thức

Hình chữ nhật $\text{A}$ có chiều rộng $2\text{x}\left( \text{cm} \right)$, chiều dài gấp $k(k>1)$ lần chiều rộng. Hình chữ nhật $\text{B}$ có chiều dài $3\text{x}\left( \text{cm} \right)$. Muốn hai hình chữ nhật này có diện tích bằng nhau thì B phải có chiều rộng bằng bao nhiêu?

Hinh 5

Xét hai đơn thức $\text{A}=3{{\text{x}}^{4}}{{\text{y}}^{2}}$ và $\text{B}=4{{\text{x}}^{2}}\text{y}$.

Nếu có đơn thức $\text{C}$ sao cho $\text{A}=\text{B}$. $\text{C}$ thì ta nói $\text{A}$ chia hết cho $\text{B}$, được thuoong là $\text{C}$ và viết $\text{A}:\text{B}=\text{C}$.

Ta thực hiện phép chia $\text{A}$ cho $\text{B}$ như sau:

$A:B=3{{x}^{4}}{{y}^{2}}:\left( 4{{x}^{2}}y \right)=\left( 3:4 \right)\cdot \left( {{x}^{4}}:{{x}^{2}} \right)\cdot \left( {{y}^{2}}:y \right)=\frac{3}{4}{{x}^{2}}y$

Muốn chia đơn thức $\text{A}$ cho đơn thức $\text{B}$ (với $\text{A}$ chia hết cho $\text{B}$ ), ta làm như sau:

Chia hệ số của $\text{A}$ cho hệ số của $\text{B}$.

Chia luỹ thừa của từng biến trong $\text{A}$ cho luỹ thừa của cùng biến đó trong $\text{B}$.

Nhân các kết quả tìm được với nhau.

Vídu 4. Thực hiện phép chia $9{{\text{x}}^{7}}{{\text{y}}^{3}}{{\text{z}}^{4}}$ cho $3{{\text{x}}^{4}}{{\text{y}}^{2}}$.

Giải

$9{{x}^{7}}{{y}^{3}}{{z}^{4}}:\left( 3{{x}^{4}}{{y}^{2}} \right)=\left( 9:3 \right)\cdot \left( {{x}^{7}}:{{x}^{4}} \right)\cdot \left( {{y}^{3}}:{{y}^{2}} \right)\cdot {{z}^{4}}=3{{x}^{3}}y{{z}^{4}}$.

Thực hành 4. Thực hiện phép chia $8{{x}^{4}}{{y}^{5}}{{z}^{3}}$ cho $2{{x}^{3}}{{y}^{4}}z$.

Vận dụng 3. Tính diện tích đáy của hình hộp chữ nhật có thể tích $\text{V}=12{{\text{x}}^{2}}\text{y}$ và chiều cao bằng $3y$.

Chia đa thức cho đơn thức

Một bức tường được trang trí bởi hai tấm giấy dán có cùng chiều cao $2\text{x}\left( \text{m} \right)$ và có diện tích lần lượt là $2{{\text{x}}^{2}}\left( \text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\text{m}}^{2}} \right)$ và $5xy\left( \text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\text{m}}^{2}} \right)$.

a) Tính chiều rộng của mỗi tấm giấy, từ đó tìm chiều rộng của bức tường.

b) Từ kết quả trên, có thể biết được kết quả của phép chia đa thức $\text{A}=2{{\text{x}}^{2}}+5\text{xy}$ cho đơn thức $\text{B}=2\text{x}$ không?

Hinh 6 Hãy giải thích.

Xét đa thức $\text{A}$ và đơn thức $\text{B}$ bất kì.

Nếu có đa thức $\text{C}$ sao cho $\text{A}=\text{B}$. C thi ta nói $\text{A}$ chia hết cho $\text{B}$, được thurong là $\text{C}$ và viết $\text{A}:\text{B}=\text{C}$.

Ta có quy tắc sau đây:

Muốn chia một đa thức cho một đơn thức (trường hợp chia hết), ta chia từng hạng tử của đa thức cho đơn thức đó, rồi cộng các kết quả tim được với nhau.

Ví dụ 5. Thực hiện các phép chia đa thức cho đơn thức sau:
a) $\left( 12{{a}^{2}}-6ab+3a \right):\left( 3a \right)$;
b) $\left( {{x}^{4}}{{y}^{2}}-4x{{y}^{3}} \right):\left( -2x{{y}^{2}} \right)$.

Giai

a) $\left( 12{{a}^{2}}-6ab+3a \right):\left( 3a \right)=\left[ 12{{a}^{2}}:\left( 3a \right) \right] +\left[ -6ab:\left( 3a \right)\left] + \right[3a:\left( 3a \right) \right] $ $=\left( 12:3 \right)\cdot \left( {{a}^{2}}:a \right)+\left( -6:3 \right)\cdot \left( a:a \right)\cdot b+\left( 3:3 \right)\cdot \left( a:a \right)$ $=4a-2b+1$.

b) $\left( {{x}^{4}}{{y}^{2}}-4x{{y}^{3}} \right):\left( -2x{{y}^{2}} \right)=\left[ {{x}^{4}}{{y}^{2}}:\left( -2x{{y}^{2}} \right) \right] +\left[ -4x{{y}^{3}}:\left( -2x{{y}^{2}} \right) \right] $ $=\left[ 1:\left( -2 \right) \right] \cdot \left( {{x}^{4}}:x \right)\cdot \left( {{y}^{2}}:{{y}^{2}} \right)+\left[ \left( -4 \right):\left( -2 \right) \right] \cdot \left( x:x \right)\cdot \left( {{y}^{3}}:{{y}^{2}} \right)$ $=-\frac{1}{2}{{x}^{3}}+2y$.

Thực hành 5. Thực hiện các phép chia đa thức cho đơn thức sau:
a) $\left( 5ab-2{{a}^{2}} \right):a$;
b) $\left( 6{{x}^{2}}{{y}^{2}}-x{{y}^{2}}+3{{x}^{2}}y \right):\left( -3xy \right)$.

Vận dụng 4. Tính chiều cao của hình hộp chữ nhật có thể tích $\text{V}=6{{\text{x}}^{2}}\text{y}-8\text{xy}{{\text{y}}^{2}}$ và diện tích đáy $\text{S}=2\text{xy}$.

BÀI TẬP

Tính:
a) $x+2y+\left( x-y \right)$
b) $2x-y-\left( 3x-5y \right)$
c) $3{{x}^{2}}-4{{y}^{2}}+6xy+7+\left( -{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-8xy+9x+1 \right)$;
d) $4{{x}^{2}}y-2x{{y}^{2}}+8-\left( 3{{x}^{2}}y+9x{{y}^{2}}-12xy+6 \right)$.

Tìm độ dài cạnh còn thiếu của tam giác ở Hinh 7 , biết rằng tam giác có chu vi bằng $7x+5y$.

Thực hiện phép nhân.

Hinh 7
a) $3x\left( 2xy-5{{x}^{2}}y \right)$
b) $2{{x}^{2}}y\left( xy-4x{{y}^{2}}+7y \right)$
c) $\left( -\frac{2}{3}x{{y}^{2}}+6y{{z}^{2}} \right)\cdot \left( -\frac{1}{2}xy \right)$.

Thực hiện phép nhân.
a) $\left( x-y \right)\left( x-5y \right)$
b) $\left( 2x+y \right)\left( 4{{x}^{2}}-2xy+{{y}^{2}} \right)$

Thực hiện phép chia.
a) $20{{x}^{3}}{{y}^{5}}:\left( 5{{x}^{2}}{{y}^{2}} \right)$
b) $18{{x}^{3}}{{y}^{5}}:\left[ 3{{(-x)}^{3}}{{y}^{2}} \right] $

Thực hiện phép chia.
a) $\left( 4{{x}^{3}}{{y}^{2}}-8{{x}^{2}}y+10xy \right):\left( 2xy \right)$
b) $\left( 7{{x}^{4}}{{y}^{2}}-2{{x}^{2}}{{y}^{2}}-5{{x}^{3}}{{y}^{4}} \right):\left( 3{{x}^{2}}y \right)$

Tính giá trị của biều thức.
a) $3{{x}^{2}}y-\left( 3xy-6{{x}^{2}}y \right)+\left( 5xy-9{{x}^{2}}y \right)$ tại $x=\frac{2}{3},y=-\frac{3}{4}$
b) $x\left( x-2y \right)-y\left( {{y}^{2}}-2x \right)$ tại $x=5,y=3$

Trên một dòng sông, để đi được $10\text{ }\!\!~\!\!\text{ km}$, một chiếc xuồng tiêu tốn a lít dầu khi xuôi dòng và tiêu tốn $\left( \text{a}+2 \right)$ lít dầu khi ngược dòng. Viết biểu thức biểu thị số lít dầu mà xuồng tiêu tốn để đi từ bến $\text{A}$ ngược dòng đến bến $\text{B}$, rồi quay lại bến $\text{A}$. Biết khoảng cách giữa hai bến là $\text{bkm}$.

a) Tính chiều dài của hình chữ nhật có diện tích bằng $6xy+10{{y}^{2}}$ và chiều rộng bằng $2y$.

b) Tính diện tích đáy của hình hộp chữ nhật có thể tích bằng $12{{\text{x}}^{3}}-3\text{xy}{{\text{y}}^{2}}+9{{\text{x}}^{2}}\text{y}$ và chiều cao bằng $3x$.

Sau bài học này, em đã làm được những gì?

• Thực hiện được phép cộng, trừ đa thức.
• Thực hiện được phép nhân hai đơn thức, nhân đơn thức với đa thức, nhân hai đa thức.
• Thực hiện được phép chia hết đơn thức cho đơn thức, đa thức cho đơn thức.

Bài tiếp theo Tư liệu soạn giáo án Toán 8 CTST – Bài 3: Hằng đẳng thức đáng nhớ

Bạn đang cần file word nội dung này, hãy tham gia nhóm của chúng tôi đề nhận miễn phí.