Tư liệu soạn giáo án Toán 8 CTST – Bài 3: Hằng đẳng thức đáng nhớ

Tư liệu soạn giáo án Toán 8 CTST – Bài 3: Hằng đẳng thức đáng nhớ

Bài 3: HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ

BÌNH PHƯƠNG CỦA MỘT TỔNG, MỘT HIỆU

a) Ba bạn An, Mai và Bình viết biểu thức biểu thị tổng diện tích S của các phần tô màu trong Hinh 1 như sau:

Kết quả của mỗi bạn có đúng không? Gỉai thích.

b) Thực hiện phép nhân và rút gọn đa thức của bạn An.

c) Bằng cách làm tương tự ở câu b), có thể biến đồi biểu thức ${{(\text{a}-\text{b})}^{2}}$ thành biểu thức nào?

Ở $\text{B}={{\text{a}}^{2}}+2\text{ab}+{{\text{b}}^{2}}$. Từ đây cũng suy ra hai biểu thức này có giá trị bằng nhau với bất kì giá trị nào của các biến $\text{a}$ và $\text{b}$. Ta nói hai biểu thức $\text{A}$ và $\text{B}$ bằng nhau hoặc đồng nhất với nhau và viết $\text{A}=\text{B}$ hay

${{(a+b)}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}.$

(1) được gọi là một đồng nhất thức hoặc hằng đẳng thức.

Trong bài học này, ta làm quen với một số hằng đẳng thức thường xuyên được sử dụng, gọi là hằng đẳng thức đáng nhớ.

Với hai biểu thức tuỳ ý $\text{A}$ và $\text{B}$, ta có:

$\begin{array}{*{35}{r}}{} & ~{{(A+B)}^{2}}={{A}^{2}}+2AB+{{B}^{2}}  \\{} & ~{{(A-B)}^{2}}={{A}^{2}}-2AB+{{B}^{2}}  \\\end{array}$

Ví du 1. Viết các biểu thức sau thành đa thức:
a) ${{(x+3)}^{2}}$;
b) ${{(2x-3y)}^{2}}$
c) ${{\left( {{x}^{2}}-4y \right)}^{2}}$

Giải

a) ${{(x+3)}^{2}}={{x}^{2}}+2\cdot x\cdot 3+{{3}^{2}}={{x}^{2}}+6x+9$;
b) ${{(2x-3y)}^{2}}={{(2x)}^{2}}-2\cdot 2x\cdot 3y+{{(3y)}^{2}}=4{{x}^{2}}-12xy+9{{y}^{2}}$
c) ${{\left( {{x}^{2}}-4y \right)}^{2}}={{\left( {{x}^{2}} \right)}^{2}}-2\cdot {{x}^{2}}\cdot 4y+{{(4y)}^{2}}={{x}^{4}}-8{{x}^{2}}y+16{{y}^{2}}$.

Ví du 2. Viết các biểu thức sau thành bình phương của một tông hoặc một hiệu:
a) $4{{x}^{2}}+4xy+{{y}^{2}}$
b) ${{x}^{2}}-x+\frac{1}{4}$

Giải

a) $4{{x}^{2}}+4xy+{{y}^{2}}={{(2x)}^{2}}+2\cdot 2x\cdot y+{{y}^{2}}={{(2x+y)}^{2}}$

b) ${{x}^{2}}-x+\frac{1}{4}={{x}^{2}}-2\cdot x\cdot \frac{1}{2}+{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}={{\left( x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}$.

Vi du 3. Tính nhanh:
a) ${{41}^{2}}$;
b) ${{49}^{2}}$.

Giải

a) ${{41}^{2}}={{(40+1)}^{2}}={{40}^{2}}+2\cdot 40\cdot 1+{{1}^{2}}=1600+80+1=1681$;
b) ${{49}^{2}}={{(50-1)}^{2}}={{50}^{2}}-2.50.1+{{1}^{2}}=2500-100+1=2401$.

Thực hành 1. Viết các biểu thức sau thành đa thức:
a) ${{(3x+1)}^{2}}$
b) ${{(4x+5y)}^{2}}$
c) ${{\left( 5x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}$
d) ${{\left( -x+2{{y}^{2}} \right)}^{2}}$.

Thực hành 2. Viết các biểu thức sau thành bình phương của một tổng hoặc một hiệu:
a) ${{a}^{2}}+10ab+25{{b}^{2}}$
b) $1+9{{a}^{2}}-6a$.

Thực hành 3 . Tính nhanh:
a) ${{52}^{2}}$
b) ${{98}^{2}}$.

Vận dụng 1.

a) Một mảnh vườn hình vuông có cạnh $10\text{ }\!\!~\!\!\text{ m}$ được mở rộng cã hai cạnh thêm $\text{x}\left( \text{m} \right)$ như Hình $2\text{a}$. Viết biểu thức (dạng đa thức thu gọn) biểu thị diện tích mảnh vườn sau khi mở rộng.

b) Một mảnh vườn hình vuông sau khi mở rộng mỗi cạnh $5\text{ }\!\!~\!\!\text{ m}$ thì được một mảnh vườn hình vuông với cạnh là $\text{x}\left( \text{m} \right)$ như Hình $2\text{ }\!\!~\!\!\text{ b}$. Viết biểu thức (dạng đa thức thu gọn) biểu thị diện tích mảnh vườn trước khi mở rộng.

a)

Hinh 2

b)

HIỆU CỦA HAI BÌNH PHƯƠNG

a) Từ Hình 3a, người ta cắt ghép tạo thành Hình 3 b. Viết hai biểu thức khác nhau, mỗi biểu thức biểu thị diện tích (phần tô màu) của một trong hai hình bên.

b) Thực hiện phép nhân và rút gọn đa thức, biến đổi biểu thức $\left( \text{a}+\text{b} \right)\left( \text{a}-\text{b} \right)$ thành một đa thức thu gọn. Từ đó, có kết luận gì về

a) diện tích của hai hình bên?

Hinh 3

Với hai biểu thức tuỳ ý $\text{A}$ và $\text{B}$, ta có:

${{A}^{2}}-{{B}^{2}}=\left( A+B \right)\left( A-B \right)\text{. }\!\!~\!\!\text{ }$

Vi du 4. Viết các biểu thức sau thành đa thức:
a) $\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)$;
b) $\left( 2\text{x}+3\text{y} \right)\left( 2\text{x}-3\text{y} \right)$
c) $\left( {{x}^{2}}+y \right)\left( {{x}^{2}}-y \right)$.

a) $\left( \text{x}+1 \right)\left( \text{x}-1 \right)={{\text{x}}^{2}}-{{1}^{2}}={{\text{x}}^{2}}-1$

Giải

b) $\left( 2\text{x}+3\text{y} \right)\left( 2\text{x}-3\text{y} \right)={{(2\text{x})}^{2}}-{{(3\text{y})}^{2}}=4{{\text{x}}^{2}}-9{{\text{y}}^{2}}$;

c) $\left( {{x}^{2}}+y \right)\left( {{x}^{2}}-y \right)={{\left( {{x}^{2}} \right)}^{2}}-{{y}^{2}}={{x}^{4}}-{{y}^{2}}$.

Vídu 5. Tính nhanh: a) 47 . 53;

b) ${{86}^{2}}-{{14}^{2}}$.

Giải

a) $47.53=\left( 50-3 \right)\left( 50+3 \right)={{50}^{2}}-{{3}^{2}}=2500-9=2491$.

b) ${{86}^{2}}-{{14}^{2}}=\left( 86+14 \right)\left( 86-14 \right)=100.72=7200$.

Thực hành 4 . Viết các biểu thức sau thành đa thức:
a) $\left( 4-x \right)\left( 4+x \right)$;
b) $\left( 2y+7z \right)\left( 2y-7z \right)$
c) $\left( x+2{{y}^{2}} \right)\left( x-2{{y}^{2}} \right)$.

Thực hành 5 . Tính nhanh:
a) $82.78$;
b) $87.93$;
c) ${{125}^{2}}-{{25}^{2}}$.

Vận dụng 2. Giải đáp câu hỏi ở (trang 18).

LẬP PHƯƠNG CỦA MỘT TỔNG, MỘT HIỆU

Hoàn thành các phép nhân đa thức sau vào vở, thu gọn kết quả nhận được:

$\begin{array}{*{35}{r}}{} & ~{{(a+b)}^{3}}=\left( a+b \right){{(a+b)}^{2}}  \\{} & ~{{(a-b)}^{3}}=\left( a-b \right){{(a-b)}^{2}}  \\{} & ~=\left( a+b \right)\left( \ldots  \right)  \\{} & ~=\left( a-b \right)\left( \ldots  \right)  \\{} & ~=…\text{ }\!\!~\!\!\text{ }  \\{} & ~=…\text{ }\!\!~\!\!\text{ }  \\\end{array}$

Với hai biểu thức tuỳ ý $\text{A}$ và $\text{B}$, ta có:

$\begin{array}{*{35}{r}}{} & ~{{(A+B)}^{3}}={{A}^{3}}+3{{A}^{2}}B+3A{{B}^{2}}+{{B}^{3}}  \\{} & ~{{(A-B)}^{3}}={{A}^{3}}-3{{A}^{2}}B+3A{{B}^{2}}-{{B}^{3}}  \\\end{array}$

Vi du 6. Viết các biểu thức sau thành đa thức:
a) ${{(x+1)}^{3}}$
b) ${{(2x-y)}^{3}}$.

Giải

a) ${{(x+1)}^{3}}={{x}^{3}}+3\cdot {{x}^{2}}\cdot 1+3\cdot x\cdot {{1}^{2}}+{{1}^{3}}={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+3x+1$;

b) ${{(2x-y)}^{3}}={{(2x)}^{3}}-3\cdot {{(2x)}^{2}}\cdot y+3\cdot \left( 2x \right)\cdot {{y}^{2}}-{{y}^{3}}=8{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}y+6x{{y}^{2}}-{{y}^{3}}$.

Thực hành 6 . Viết các biểu thức sau thành đa thức:
a) ${{(x+2y)}^{3}}$
b) ${{(3y-1)}^{3}}$.

Vận dụng 3. Một thùng chứa dạng hình lập phương có độ dài cạnh bằng $x\left( \text{ }\!\!~\!\!\text{ cm} \right)$. Phần vỏ bao gồm nắp có độ dày $3\text{ }\!\!~\!\!\text{ cm}$. Tính dung tích (sức chứa) của thùng, viết kết quả dưới dạng đa thức.

TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI LẬP PHƯƠNG

Hinh 4

Sử dụng quy tắc chuyển vế và các tính chất của phép toán, hoàn thành các biến đổi sau vào vở:

$\begin{align}& {{(a+b)}^{3}}={{a}^{3}}+3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}+{{b}^{3}} \\& {{(a-b)}^{3}}={{a}^{3}}-3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}-{{b}^{3}} \\& {{a}^{3}}+{{b}^{3}}={{(a+b)}^{3}}-3{{a}^{2}}b-3a{{b}^{2}}={{(a+b)}^{3}}-3ab(a+b)=\left( a+b \right)\left( … \right)=… \\& {{a}^{3}}-{{b}^{3}}={{(a-b)}^{3}}+3{{a}^{2}}b-3a{{b}^{2}}={{(a-b)}^{3}}+3ab(a-b)=\left( a-b \right)\left( … \right)=… \\\end{align}$

Với hai biểu thức tuỳ ý $\text{A}$ và $\text{B}$, ta có:

$\begin{array}{*{35}{r}}{} & {{A}^{3}}+{{B}^{3}}=\left( A+B \right)\left( {{A}^{2}}-AB+{{B}^{2}} \right)  \\{} & {{A}^{3}}-{{B}^{3}}=\left( A-B \right)\left( {{A}^{2}}+AB+{{B}^{2}} \right)  \\\end{array}$

Ví du 7. Viết các đa thức sau dưới dạng tích:
a) ${{\text{x}}^{3}}+27$
b) ${{\text{x}}^{3}}-64$

Giải

a) ${{x}^{3}}+27={{x}^{3}}+{{3}^{3}}=\left( x+3 \right)\left( {{x}^{2}}-3x+{{3}^{2}} \right)=\left( x+3 \right)\left( {{x}^{2}}-3x+9 \right)$

b) ${{x}^{3}}-64={{x}^{3}}-{{4}^{3}}=\left( x-4 \right)\left( {{x}^{2}}+4x+{{4}^{2}} \right)=\left( x-4 \right)\left( {{x}^{2}}+4x+16 \right)$

Vi du 8. Tính: a) $\left( \text{x}+2 \right)\left( {{\text{x}}^{2}}-2\text{x}+4 \right);\text{ }\!\!~\!\!\text{ }$ b) $\left( \text{y}-3 \right)\left( {{\text{y}}^{2}}+3\text{y}+9 \right)$.

Giäi

a) $\left( x+2 \right)\left( {{x}^{2}}-2x+4 \right)=\left( x+2 \right)\left( {{x}^{2}}-2x+{{2}^{2}} \right)={{x}^{3}}+{{2}^{3}}={{x}^{3}}+8$

b) $\left( y-3 \right)\left( {{y}^{2}}+3y+9 \right)=\left( y-3 \right)\left( {{y}^{2}}+3y+{{3}^{2}} \right)={{y}^{3}}-{{3}^{3}}={{y}^{3}}-27$.

Thực hành 7. Viết các đa thức sau dưới dạng tích:
a) $8{{y}^{3}}+1$
b) ${{y}^{3}}-8$

Thực hành 8 . Tính: a) $\left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)$;

b) $\left( 2x-\frac{1}{2} \right)\left( 4{{x}^{2}}+x+\frac{1}{4} \right)$ Vận dụng 4. Từ một khối lập phương có cạnh bằng $2\text{x}+1$, ta cắt bỏ một khối lập phương có cạnh bằng $x+1$ (xem Hình 5 ). Tính thể tích phần còn lại, viết kết quả dưới dạng đa thức.

Hinh 5

BÀITẠP

Viết các biểu thức sau thành đa thức:
a) ${{(3x+4)}^{2}}$;
b) ${{(5x-y)}^{2}}$;
c) ${{\left( xy-\frac{1}{2}y \right)}^{2}}$.

Viết các biểu thức sau thành bình phương của một tổng hoặc một hiệu:
a) ${{x}^{2}}+2x+1$
b) $9-24x+16{{x}^{2}}$;
c) $4{{x}^{2}}+\frac{1}{4}+2x$.

Viết các biểu thức sau thành đa thức:
a) $\left( 3x-5 \right)\left( 3x+5 \right)$
b) $\left( x-2y \right)\left( x+2y \right)$;
c) $\left( -x-\frac{1}{2}y \right)\left( -x+\frac{1}{2}y \right)$.

a) Viết biểu thức tính diện tích của hình vuông có cạnh bằng $2x+3$ dưới dạng đa thức.

b) Viết biểu thức tính thể tích của khối lập phương có cạnh bằng $3\text{x}-2$ dưới dạng đa thức.

Tính nhanh:
a) $38.42$;
b) ${{102}^{2}}$;
c) ${{198}^{2}}$;
d) ${{75}^{2}}-{{25}^{2}}$.

Viết các biểu thức sau thành đa thức:
a) ${{(2x-3)}^{3}}$;
b) ${{(a+3b)}^{3}}$;
c) ${{(xy-1)}^{3}}$.

Viết các biểu thức sau thành đa thức:
a) $\left( a-5 \right)\left( {{a}^{2}}+5a+25 \right)$;
b) $\left( x+2y \right)\left( {{x}^{2}}-2xy+4{{y}^{2}} \right)$.$x+y=5$

Viết các biểu thức sau thành đa thức:
a) $\left( a-1 \right)\left( a+1 \right)\left( {{a}^{2}}+1 \right)$
b) ${{(xy+1)}^{2}}-{{(xy-1)}^{2}}$.

a) Cho $x+y=12$ và $xy=35$. Tính ${{(x-y)}^{2}}$.

b) Cho $x-y=8$ và $xy=20$. Tính ${{(x+y)}^{2}}$.

c) Cho và $xy=6$. Tính ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}$.

d) Cho $x-y=3$ và $xy=40$. Tính ${{x}^{3}}-{{y}^{3}}$.

Cho hình hộp chữ nhật có chiều dài, chiều rộng, chiều cao đều bằng $5\text{ }\!\!~\!\!\text{ cm}$. Thể tích của hình hộp chữ nhật sẽ tăng bao nhiêu nếu:
a) Chiều dài và chiều rộng tăng thêm $\text{acm}$ ?
b) Chiều dài, chiều rộng, chiều cao đều tăng thêm $\text{acm}$ ?

Sau bài học này, em đã làm được những gì?

• Nhận biết được các khái niệm: đổng nhất thức, hằng đẳng thức.
• Mô tả được các hẳng đẳng thức: bình phương của một tổng; bình phương của một hiệu; hiệu hai bình phương; lập phương của một tổng; lập phương của một hiệu; tổng hai lập phương; hiệu hai lập phương.

Bài tiếp theo: Tư liệu soạn giáo án Toán 8 CTST – Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử

Bạn đang cần file word nội dung này, hãy tham gia nhóm của chúng tôi đề nhận miễn phí.