Tư liệu soạn giáo án Toán 8 CTST – Bài 4 Hình bình hành – Hình thoi

Bài 4: Hình bình hành – Hình thoi

Quan sát hình chụp các mái nhà ở phố cổ Hội An, em thấy các cạnh đối của tứ giác $ABCD$ có gì đạ̀c biệt?

HìNH BìNH HÀNH

Định nghĩa

Hình la là hình ảnh của một thước vẽ truyền dùng để phóng to hay thu nhỏ một hình vẽ có sẵn. Dùng thước đo góc để đo số đo của các cạ̃p góc ${{\widehat{A}}_{1}}$ và $\widehat{D},{{\widehat{C}}_{1}}$ và $\widehat{D}$ của tứ giác $\text{ABCD}$ (Hình $1\text{ }\!\!~\!\!\text{ b}$ ) rồi rút ra nhận xét về mối quan hệ giữa các cặp cạnh $AB$ và $CD;AD$ và $BC$.

Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song.

Vi dụ 1. Chứng minh tứ giác $\text{ABCD}$ trong Hình 2 là hình bình hành.

Giải

Ta có:

$\text{AD}//\text{BC}$ (vì có hai góc so le trong bằng nhau $\widehat{\text{ADC}}=\widehat{\text{DCx}}$ ), $\text{AB}//\text{DC}$ (vì có hai góc đồng vị bằng nhau $\widehat{\text{ABC}}=\widehat{\text{DCx}}$ ). Tứ giác $\text{ABCD}$ có các cạnh đối song song, suy ra $\text{ABCD}$ là hình bình hành.

Tính chất

Cho tứ giác $\text{ABCD}$ có các cạnh đối song song. Gọi $\text{O}$ là giao điểm của hai đường chéo. Hãy chứng tỏ:

Tam giác $\text{ABC}$ bằng tam giác $\text{CDA}$.

Tam giác $\text{OAB}$ bằng tam giác $\text{OCD}$.

Hinh 3

Định lí

Trong hình bình hành:

Các cạnh đối bằng nhau.

Các góc đối bằng nhau.

Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Ví du 2 . Tìm các đoạn thẳng và các góc bằng nhau có trong hình của ${{\overset{}{\mathop{B}}\,}_{2}}$.

Giải

Trong hình bình hành $\text{ABCD}$ với $\text{O}$ là giao điểm của hai đường chéo, ta có:

$\text{AB}=\text{CD};\text{AD}=\text{BC};\text{OA}=\text{OC};\text{OB}=\text{OD};$

$\widehat{\text{BAD}}=\widehat{\text{BCD}};\widehat{\text{ABC}}=\widehat{\text{ADC}};\widehat{\text{BAC}}=\widehat{\text{ACD}}$;

$\widehat{\text{DAC}}=\widehat{\text{ACB}};\widehat{\text{ABD}}=\widehat{\text{BDC}};\widehat{\text{DBC}}=\widehat{\text{BDA}};$

$\widehat{\text{AOB}}=\widehat{\text{COD}};\widehat{\text{AOD}}=\widehat{\text{COB}}$.

Thực hành 1. Cho hình bình hành PQRS với

I là giao điểm của hai đường chéo (Hình 4). Hãy chỉ ra các đoạn thẳng bằng nhau và các góc bằng nhau có trong hình.

Vận dụng 1. Mắt lưới của một lưới bóng chuyền có dạng hình tứ giác có các cạnh đối song song. Cho biết độ dài hai cạnh của tứ giác này là $4\text{ }\!\!~\!\!\text{ cm}$ và $5\text{ }\!\!~\!\!\text{ cm}$. Tìm độ dài hai cạnh còn lại.

Vận dụng 2. Mặt trước của một công trình xây dựng được làm bằng kính có dạng hình bình hành $\text{EFGH}$ với $\text{M}$ là giao điểm của hai đường chéo (Hình 6). Cho biết $\text{EF}=40\text{ }\!\!~\!\!\text{ m}$, $\text{EM}=36\text{ }\!\!~\!\!\text{ m},\text{HM}=16\text{ }\!\!~\!\!\text{ m}$. Tính độ dài cạnh $\text{HG}$ và độ dài hai đường chéo.

Hinh 5

Hinh 6

Dấu hiệu nhận biết

ه3. Cho tứ giác $\text{ABCD}$ có $\text{P}$ là giao điểm của hai đường chéo. Giài thích tại sao $\text{AB}//\text{CD}$ và $\text{AD}//\text{BC}$ trong mỗi trường hợp sau:

Trường hợp 1: $\text{AB}=\text{CD}$ và $\text{AD}=\text{BC}$ (Hình $7\text{a})$.

Trường hợp 2: $\text{AB}//\text{CD}$ và $\text{AB}=\text{CD}$ (Hình $7\text{ }\!\!~\!\!\text{ b}$ ).

Trường hợp $3:\text{AD}//\text{BC}$ và $\text{AD}=\text{BC}$ (Hình $7\text{c}$ ).

Trường hợp 4: $\text{\widehat{A}}=\text{\widehat{C}},\text{\widehat{B}}=\text{\widehat{D}}$ (Hình 7d).

Trường hợ 5: $\text{PA}=\text{PC},\text{PB}=\text{PD}$ (Hình 7e).

a)

b)

c)

Hinh 7

Ta có các dấu hiệu nhận biết một tứ giác là hình bình hành như sau:

Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành.

Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.

Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.

Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành.

Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.

Ví dụ 3. Trong các tứ giác ở Hình 8 , tứ giác nào là hình bình hành?

b)

e)

$\text{Hinh}8$

c)

Giải

Tứ giác $\text{ABCD}$ có các cạnh đối song song nên là hình bình hành.

Tứ giác EFGH có các cạnh đối bằng nhau nên là hình bình hành.

Tứ giác $\text{PQRS}$ có hai góc đối không bằng nhau nên không là hình bình hành.

Tứ giác MNIJ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điềm mỗi đường nên là hình bình hành.

Tứ giác UVTL có các góc đối bằng nhau nên là hình bình hành.

Tứ giác $\text{LKXZ}$ có hai cạnh đối $\text{LZ}$ và $\text{KX}$ vừa song song vừa bằng nhau nên là hình bình hành.

Thực hành 2. Trong các tứ giác ở Hình 9 , tứ giác nào không là hình bình hành?

a)

b)

e)

c)

G)

$\text{Hinh}9$

Vận dụng 3. Quan sát Hình 10, cho biết $\text{ABCD}$ và $\text{AKCH}$ đều là hình bình hành. Chứng minh ba đoạn thẳng $\text{AC},\text{BD}$ và $\text{HK}$ có cùng trung điềm $\text{O}$.

HÌNH THOl

Hinh 10

Định nghãa

Hình 11 a là hình chụp tấm lưới thép được đan thành nhiều mắt. Hình $11\text{ }\!\!~\!\!\text{ b}$ là hình vẽ phóng to của một mắt lưới. Đo độ dài các cạnh của tứ giác $\text{ABCD}$ và rút ra nhận xét.

a)

b)

Hinh II Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.

Ví dụ 4. Trong các tứ giác ở Hình 12 , tứ giác nào là hình thoi?

a)

b)

Hinh 12

Giai

Tứ giác MNPQ có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi.

Tứ giác $\text{ABCD}$ chỉ có các cạnh đối bằng nhau nên chỉ là hình bình hành và không phải là hình thoi.

Tính chất

a) Chứng minh hình thoi cũng là một hình bình hành.

b) Cho hình thoi $\text{ABCD}$ có $\text{O}$ là giao điểm của hai đường chéo (Hình 13b). Chứng minh bốn tam giác $\text{OAB},\text{OCB},\text{OCD},\text{OAD}$ bằng nhau.

a)

b)

Hinh 13

Hình thoi cũng là hình bình hành nên hình thoi có đầy đủ các tính chất của một hình bình hành.

Định lí

Trong hình thoi:

Hai đường chéo vuông góc với nhau.

Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi. Vi du 5. Cho hình thoi $\text{ABCD}$ có $\text{O}$ là giao điểm của hai đường chéo.

a) Tính $\text{AB}$ khi biết $\text{OA}=4\text{ }\!\!~\!\!\text{ cm}$ và $\text{OB}=3\text{ }\!\!~\!\!\text{ cm}$.

b) Tính $\widehat{\text{BAD}}$ khi biết $\widehat{\text{BAO}}={{32}^{\circ }}$.

Giải

a) Do hai đường chéo của hình thoi vuông góc với nhau nên áp dụng định lí Pythagore vào

Hinh 14 tam giác $\text{OAB}$ vuông tại $\text{O}$ ta có:

$\text{AB}=\sqrt{\text{O}{{\text{A}}^{2}}+\text{O}{{\text{B}}^{2}}}=\sqrt{{{4}^{2}}+{{3}^{2}}}=5\left( \text{ }\!\!~\!\!\text{ cm} \right).$

b) Do hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi nên ta có:

$\widehat{\text{BAD}}=2\widehat{\text{BAO}}={{64}^{\circ }}\text{. }\!\!~\!\!\text{ }$

Thực hành 3. Cho hình thoi MNPQ có $\text{I}$ là giao điểm của hai đường chéo.

a) Tính MP khi biết $\text{MN}=10\text{dm},\text{IN}=6\text{dm}$.

b) Tính $\widehat{\text{IMN}}$ khi biết $\widehat{\text{MNP}}={{128}^{\circ }}$.

Vận dụng 4. Tính độ dài cạnh của các khuy áo hình thoi có độ dài hai đường chéo lần lượt là $3,2\text{ }\!\!~\!\!\text{ cm}$ và $2,4\text{ }\!\!~\!\!\text{ cm}$.

Hinh 15

Dấu hiệu nhận biết

Cho $\text{ABCD}$ là một hình bình hành. Giải thích tại sao tứ giác $\text{ABCD}$ có bốn cạnh bằng nhau trong mỗi trường hợp sau: Trường hợp 1: $\text{AB}=\text{AD}$.

Trường hợp 2: $\text{AC}$ vuông góc với $\text{BD}$.

Trường hợp 3: $\text{AC}$ là phân giác góc $\text{BAD}$.

Trường hợp 4: $\text{BD}$ là phân giác góc $\text{ABC}$.

Hinh 16 Ta có các dấu hiệu nhận biết một tứ giác là hình thoi như sau:

Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.

Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.

Hình bình hành có một đường chéo là phân giác của một góc là hình thoi.

Vi du 6. Chứng minh các tứ giác trong Hình 17 là hình thoi.

a)

b)

c)

Hinh 17

Giải

Tứ giác MNPQ có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi.

Tứ giác EFGH là hình bình hành có đường chéo là phân giác của một góc nên là hình thoi.

Tứ giác $PQRS$ là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau nên là hình thoi.

Vận dụng 5. Một hoa văn trang trí được ghép bởi ba hình tứ giác có độ dài mỗi cạnh đều bằng $2\text{ }\!\!~\!\!\text{ cm}$ (Hình 18 ). Gọi tên các tứ giác này và tính chu vi của hoa văn.

Hinh 18

Vận dụng 6. Một tứ giác có chu vi là $52\text{ }\!\!~\!\!\text{ cm}$ và một đường chéo là $24\text{ }\!\!~\!\!\text{ cm}$. Tìm độ dài của mỗi cạnh và đường chéo còn lại nếu biết hai đường chéo vuông góc tại trung điểm của mỗi đường.

BÀI TẬP

Cần thêm một điều kiện gì để mồi tứ giác trong Hình 19 trở thành hình bình hành?

a)

Hinh 19

Cho hình bình hành $\text{ABCD}$, kẻ $\text{AH}$ vuông góc với $\text{BD}$ tại $\text{H}$ và $\text{CK}$ vuông góc với $\text{BD}$ tại $\text{K}$ (Hình 21 ).

a) Chứng minh tứ giác $\text{AHCK}$ là hình bình hành.

b) Gọi I là trung điểm của $\text{HK}$. Chứng minh $\text{IB}=\text{ID}$.

Cho hình bình hành $\text{ABCD}$. Gọi $\text{E}$ là trung điềm

Hinh 20 của $\text{AD},\text{F}$ là trung điểm của $\text{BC}$.

a) Chứng minh rằng tứ giác EBFD là hình bình hành.

b) Gọi $\text{O}$ là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành $\text{ABCD}$. Chứng minh rằng ba điểm $\text{E},\text{O},\text{F}$ thẳng hàng.

Cho hình bình hành $\text{ABCD}(\text{AB}>\text{BC})$. Tỉa phân giác của góc $\text{D}$ cắt $\text{AB}$ tại $\text{E}$, tia phân giác của góc $\text{B}$ cắt $\text{CD}$ tại $\text{F}$.

a) Chứng minh DE // BF.

b) Tứ giác DEBF là hình gì?

Cho hình bình hành $\text{ABCD}$. Gọi $\text{I}$ và $\text{K}$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $\text{AB}$ và $\text{CD}$; $\text{E}$ và $\text{F}$ lần lượt là giao điểm của $\text{AK}$ và $\text{CI}$ với $\text{BD}$.
a) Chứng minh tứ giác $\text{AEFI}$ là hình thang.
b) Chứng $\text{minhDE}=\text{EF}=\text{FB}$. 6. Quan sát Hình 21. Chứng minh rằng tứ giác $\text{EFGH}$ là hình thoi.

Cho hình thoi $\text{ABCD}$, hai đường chéo $\text{AC}$ và $\text{BD}$ cắt nhau tại $\text{O}$. Biết $\text{AC}=6\text{ }\!\!~\!\!\text{ cm},\text{BD}=8\text{ }\!\!~\!\!\text{ cm}$. Tính độ dài cạnh của hình thoi $\text{ABCD}$.

Cho tam giác $\text{ABC}$ cân tại $\text{A}$, gọi $\text{M}$ là trung điểm của $\text{BC}$. Lấy điểm $\text{D}$ đối xứng với điểm $\text{A}$ qua $\text{BC}$.

a) Chứng minh tứ giác $\text{ABDC}$ là hình thoi.

Hinh 21

b) Gọi $\text{E},\text{F}$ lần lượt là trung điểm của $\text{AB}$ và $\text{AC}$, lấy điểm $\text{O}$ sao cho $\text{E}$ là trung điểm của $\text{OM}$. Chứng minh hai tam giác $\text{AOB}$ và $\text{MBO}$ vuông và bằng nhau.

c) Chứng minh tứ giác AEMF là hình thoi.

Tìm các hình bình hành và hình thang có trong Hình 22.

$\text{Hinh}22$

Sau bài học này, em đã làm được những gì?

Giải thích được tính chất vê cạnh đối, góc đối, đường chéo của hình bình hành.

Nhận biết được dấu hiệu để một tứ giác là hình bình hành.

Giải thich được tính chắt vể đường chéo của hình thoi.

Nhận biết được dấu hiệu để một hình bình hành là hình thoi.

Bài tiếp theo:

Bạn đang cần file word nội dung này, hãy tham gia nhóm của chúng tôi đề nhận miễn phí.