Tư liệu soạn giáo án Toán 8 CTST – Bài 5 Hình chữ nhật – Hình vuông

Bài 5: Hình chữ nhật – Hình vuông

Mỗi viên gạch trong hình bức tường có bể mặt hình chữ nhật được minh hoạ bởi hình bên. Hãy vẽ hình tứ giác $ABCD$ mô phỏng bể mặt một viên gạch vào vở của em.

HÌNH CHỮ NHẬT

Định nghĩa

Dùng thước đo góc để đo số đo các góc $\widehat{{A}},\widehat{{B}},\widehat{{C}},\widehat{{D}}$ ở Hình 1 và rút ra nhận xét về số đo của chúng.

Hinh I

Hinh chũ nhật là tứ giác có bốn góc vuông.

Ví du 1. Cho tứ giác MNPQ có ba góc $\widehat{{M}},\widehat{{N}},\widehat{{P}}$ vuông. Chứng minh MNPQ là hình chữ nhật.

Giải

Trong tứ giác $\text{MNPQ}$, ta có $\widehat{{M}}+\widehat{{N}}+\overset{\text{}}{\mathop{\text{P}}}\,+\widehat{{Q}}={{360}^{\circ }}$. Do $\widehat{{M}}=\widehat{{N}}=\widehat{{P}}={{90}^{\circ }}$, suy ra $\widehat{{Q}}={{90}^{\circ }}$. Tứ giác $\text{MNPQ}$ có bốn góc vuông nên là hinh chữ nhật.

Tính chất

Cho $\text{ABCD}$ là hình chữ nhật.

a) Chứng minh $\text{AB}//\text{CD}$ và $\text{AD}//\text{BC}$.

b) Tam giác $\text{ABD}$ và tam giác $\text{BAC}$ có bằng nhau không?

Vi sao?

Hình chữ nhật cũng là hình thang cân và cũng là hình bình hành nên có tất cả các tính chất của hình thang cân, hình bình hành. Từ đó ta có định lí sau:

Định lí

Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Ví dụ 2. a) Cho tam giác $\text{ABC}$ vuông tại $\text{A}$, $\text{O}$ là trung điểm của $\text{BC}$. Lấy điểm $\text{D}$ đối xứng với $\text{A}$ qua $\text{O}$ (Hình 3a). Chứng minh rằng tứ giác $\text{ABDC}$ là hình chữ nhật.

b) Cho tam giác $\text{ABC}$ có điểm $\text{O}$ thuộc $\text{BC}$ sao cho $\text{OA}=\text{OB}=\text{OC}$. Lấy điểm $\text{D}$ đối xứng với $\text{A}$ qua $\text{O}$ (Hình 3 b). Chứng minh rằng tứ giác $\text{ABDC}$ là hình chữ nhật.

$\text{Hinh}3$ b)

Giải

a) Ta có $\text{D}$ đối xứng với $\text{A}$ qua $\text{O}$, suy ra $\text{OA}=\text{OD}$, mà $\text{OB}=\text{OC}$, suy ra tứ giác $\text{ABDC}$ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.

Ta có $\text{AB}//\text{CD}$ và $\widehat{\text{BAC}}$ vuông, suy ra $\widehat{\text{ACD}}$ vuông. Do $\text{ABDC}$ là hình bình hành nên $\widehat{\text{BDC}}=\widehat{\text{BAC}}={{90}^{\circ }}$ và $\widehat{\text{ABD}}=\widehat{\text{ACD}}={{90}^{\circ }}$, suy ra $\text{ABDC}$ là hình chữ nhật.

b) Ta có $\text{OA}=\text{OB}=\text{OC}$, suy ra hai tam giác $\text{OAB}$ và $\text{OAC}$ cân tại $\text{O}$.

Ta có $:{{\widehat{{A}}}_{1}}={{\widehat{{B}}}_{1}};{{\widehat{{A}}}_{2}}={{\widehat{{C}}}_{1}}$ và ${{\widehat{{A}}}_{1}}+{{\widehat{{A}}}_{2}}+{{\widehat{{B}}}_{1}}+{{\widehat{{C}}}_{1}}={{180}^{\circ }}$ (tổng ba góc trong $\vartriangle \text{ABC}$ ), suy ra ${{\widehat{{A}}}_{1}}+{{\widehat{{A}}}_{2}}={{\widehat{{B}}}_{1}}+{{\widehat{{C}}}_{2}}={{90}^{\circ }}$, suy ra $\widehat{\text{BAC}}={{\widehat{{A}}}_{1}}+{{\widehat{{A}}}_{2}}={{90}^{\circ }}$. Ta có $\widehat{\text{BAC}}$ vuông và $\text{D}$ đối xứng với $\text{A}$ qua $\text{O}$ nên theo câu $\text{a}$, tứ giác $\text{ABDC}$ là hình chữ nhật.

Chú ý:

Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền thì bằng nửa cạnh huyền.

Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông.

Thực hành 1. Cho biết $\text{a},\text{b},\text{d}$ lần lượt là độ dài các cạnh và đường chéo của một hình chữ nhật. Thay dấu ? trong bảng sau bằng giá trị thích hợp.

a	8	$\sqrt{15}$	$?$
b	6	$?$	5
d	$?$	$\sqrt{24}$	13

 

Vận dụng 1. Tìm bốn ví dụ về hình chữ nhật trong thực tế.

Dấu hiệu nhận biết

Cho hình bình hành $\text{ABCD}$ có $\text{O}$ là giao điểm của hai đường chéo. Giải thích các khẳng định sau:

a) Nếu $\widehat{\text{BAD}}$ là góc vuông thi $\widehat{\text{ADC}}$ và $\widehat{\text{ABC}}$ cũng là góc vuông.

b) Nếu $\text{AC}=\text{BD}$ thì $\widehat{\text{BAD}}$ vuông.

Ta có dấu hiệu nhận biết một tứ giác là hình chữ nhật như sau:

Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.

Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.

Chú y:

Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.

Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật.

Ví du 3. Cho hình bình hành $\text{ABCD}$. Các tia phân giác của các góc $\widehat{{A}},\widehat{{B}},\widehat{{C}},\widehat{{D}}$ cắt nhau tại các điểm $\text{E},\text{F},\text{G},\text{H}$ như Hình 5 . Chứng minh rằng $\text{EFGH}$ là một hình chữ nhật.

Giải

Vì $\text{ABCD}$ là hình bình hành nên $\text{AD}//\text{BC}$ và $\widehat{\text{DAB}}+\widehat{\text{ABC}}={{180}^{\circ }}$. Mà $\text{AH},\text{BF}$ lần lượt là tia phân giác của $\widehat{\text{BAD}},\widehat{\text{ABC}}$ nên ${{\widehat{{A}}}_{1}}=\frac{\widehat{\text{BAD}}}{2},{{\widehat{{B}}}_{1}}=\frac{\widehat{\text{ABC}}}{2}$. Do đó ${{\widehat{{A}}}_{1}}+{{\widehat{{B}}}_{1}}={{90}^{\circ }}$. Suy ra $\widehat{\text{AGB}}={{90}^{\circ }}$.

Chứng minh tương tự, ta có $\widehat{\text{DEC}}={{90}^{\circ }}$. (2)

Chứng minh tương tự, ta cũng có $\widehat{\text{AHD}}={{90}^{\circ }}$ nên $\widehat{\text{EHG}}={{90}^{\circ }}$.

Từ (1), (2), (3), ta suy ra tứ giác EFGH có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.

Thực hành 2. Chi được sử dụng compa, hãy kiểm tra tứ giác ở Hình 6 có phải là hình chữ nhật hay không.

Vận dụng 2. a) Hãy sử dụng êke sao cho chỉ sau ba lần đo ta có thể xác định khung cửa sổ ở Hình 7 có phài là hình chữ nhật hay không.

b) Hãy sử dụng một cuộn dây, xác định khung cửa sổ trong Hình 7 có là hình chữ nhật hay không.

HiNH VUÔNG

Định nghĩa

Hinh 6

Hinh 7

$7. Cho tứ giác $\text{ABCD}$ có bốn góc bằng nhau vả có bốn cạnh bằng nhau. Hãy chứng tỏ $\text{ABCD}$ vừa là hình thoi vừa là hình chữ nhật.

Hinh vuông là tứ giác có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau.

Tính chất

Cho hình vuông $\text{MNPQ}$. Chứng minh $\text{MNPQ}$ vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi.

Hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi.

Vídụ 4. Tìm hình vuông trong hai hình sau:

a)

b)

$\text{Hinh}9$

Giải

Xét tứ giác $\text{ABCD}$ (Hình $9\text{a}$ ), ta có $\text{BD}$ và $\text{AC}$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, suy ra $\text{ABCD}$ là hình bình hành. Ta lại có $\text{AC}=\text{BD}$ nên $\text{ABCD}$ là hình chữ nhật, suy ra

$\widehat{{A}}=\widehat{{B}}=\widehat{{C}}=\widehat{{D}}={{90}^{\circ }}$

Mặt khác, ta có $\text{AB}=\text{BC}=\text{CD}=\text{DA}$.

Từ (1) và $\left( 2 \right)$, suy ra $\text{ABCD}$ là hình vuông.

Xét tứ giác $\text{EFGH}$ (Hình 9b), ta có độ dài hai đường chéo $\text{EG}$ và HF khác nhau nên tứ giác này không phải là hình chữ nhật, do đó nó không có bốn góc vuông. Vì vậy $\text{EFGH}$ không phải là hình vuông.

Thực hành 3 . Tìm hình vuông trong hai hình sau:

Hinh 10

b)

Vận dụng 3. Tìm bốn ví dụ về hình vuông trong thực tế.

Dấu hiệu nhận biết

Cho hình chữ nhật $\text{ABCD}$. Giải thích tại sao $\text{ABCD}$ là hình vuông trong mỗi trường hợp sau: Trường hợp 1: $\text{AB}=\text{BC}$.

Trường hợp 2: $\text{AC}$ vuông góc với $\text{BD}$.

Trường hợp $3:\text{AC}$ là đường phân giác của góc $\text{BAD}$. Cho hình thoi $\text{ABCD}$. Hãy chứng tơ:
a) Nếu $\widehat{BAD}$ là góc vuông thì ba góc còn lại của hình thoi cũng là góc vuông.
b) Nếu $\text{AC}=\text{BD}$ thì $\widehat{\text{BAD}}$ là góc vuông.

Ta có các dấu hiệu nhận biết một tứ giác là hình vuông như sau:

Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.

Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông.

Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông.

Chú ý:

Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.

Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.

Ví du 5. Chứng minh tứ giác OHCK trong Hình 11 là hình vuông.

Giải

Ta có $\widehat{\text{HOK}}={{45}^{\circ }}+{{45}^{\circ }}={{90}^{\circ }}$.

Như vậy $\widehat{\text{CHO}}=\widehat{\text{HOK}}=\widehat{\text{OKC}}={{90}^{\circ }}$, nên $\text{OHCK}$ là hình chữ nhật. (1)

Ta lại có $\text{OC}$ là tia phân giác của $\widehat{\text{HOK}}$.

Từ (1) và (2), suy ra OHCK là hình vuông.

Hinh 11

Hình 12

Hinh 13 1. Cho Hình 14. Tìm $x$.

BÀI TẬP

$\text{Hinh}14$

Hinh 15

Cho Hình 15 . Vẽ thêm điểm $P$ để tứ giác $MNPQ$ là hình chũ̃ nhật.

Cho tam giác $\text{ABC}$ có đường cao $\text{AH}$. Gọi $\text{I}$ là trung điểm của $\text{AC},\text{E}$ là điểm đối xứng với $\text{H}$ qua $\text{I}$. Gọi $\text{M},\text{N}$ lần lượt là trung điểm của $\text{HC},\text{CE}$. Các đường thẳng $\text{AM},\text{AN}$ cắt $\text{HE}$ tại $\text{G}$ và $\text{K}$.

a) Chứng minh tứ giác $\text{AHCE}$ là hình chữ nhật.

b) Chứng minh $\text{HG}=\text{GK}=\text{KE}$.

Cho tam giác $\text{ABC}$ vuông tại $\text{A}(\text{AB}<\text{AC})$. Gọi $\text{D}$ là trung điểm của $\text{BC}$. Vẽ $\text{DE}//\text{AB}$, vẽ $\text{DF}//\text{AC}\left( \text{E}\in \text{AC},\text{F}\in \text{AB} \right)$. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác AEDF là hình chữ nhật;

b) Tứ giác BFED là hinh bình hành.

Lấy một tờ giấy, gấp làm tư để có một góc vuông như trong Hình 16 , dùng kéo cắt theo đường $\text{MN}$ sao cho $\text{OM}=\text{ON}$. Mở phần giấy cắt được ra ta được một tứ giác.

Tứ giác đó là hinh gì? Giải thích kết luận của em.

Hinh 16

Sau bài học này, em đã làm được những gi??

Giải thích được tính chất vể hai đường chéo của hình chữ nhật và hình vuông.

Nhận biết được dấu hiệu để một hình bình hành là hình chữ nhật.

Nhận biết được dấu hiệu để một hình chữ nhật là hình vuông.

Bài tiếp theo: Tư liệu soạn giáo án Toán 8 CTST – Bài ôn tập chương 2

Bạn đang cần file word nội dung này, hãy tham gia nhóm của chúng tôi đề nhận miễn phí.