Tư liệu soạn giáo án Toán 8 CTST – Bài 5: Phân thức đại số

Tư liệu soạn giáo án Toán 8 CTST – Bài 5: Phân thức đại số

Bài 5: Phân thức đại số

Một ô tô đi được quãng đường $\text{s}\left( \text{km} \right)$ với tốc độ $\text{v}\left( \text{km}/\text{h} \right)$ hết thời gian $\text{t}$ (giờ).

Hãy lập các biểu thức tính một trong ba đại lượng s, v và $t$ theo hai đại lượng còn lại.

Có phải tất cả các biểu thức đó đều là đa thức? Hãy giải thích.

PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

a) Viết biểu thức biều thị các đại lượng sau đây:

Chiều rộng của hình chữ nhật có chiều dài bằng $\text{a}\left( \text{m} \right)$ và diện tích bằng $3\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\text{m}}^{2}}$.

Thời gian đề một người thợ làm được $\text{x}$ sản phẩm, biết rằng mỗi giờ người thợ đó làm được y sản phẩm.

Năng suất trung bình của một mảnh ruộng gồm hai thửa, một thửa có diện tích a (ha) cho thu hoạch được $\text{m}$ tấn lúa, thửa kia có diện tích $\text{b}$ (ha) cho thu hoạch $\text{n}$ tấn lúa.

b) Các biểu thức trên có đặc điểm nào giống nhau? Chúng có phải là đa thức không?

Một phân thúc đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức có dạng $\frac{\text{A}}{\text{B}}$, trong đó $\text{A},\text{B}$ là những đa thức và $\text{B}$ khác đa thức không.

A được gọi là tủ thức (hay tủ), $\text{B}$ được gọi là mẫu thức (hay mâu ).

Chú y: Mỗi đa thức được coi là một phân thức với mẫu thức bằng 1 .

Vi du 1. Chỉ ra các phân thức trong các biểu thức sau đây:

$\frac{2\text{x}+1}{\text{x}-3};\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\frac{\text{ab}}{\text{a}+\text{b}};\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\text{x}}^{2}}+2\text{x}+1;\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\sqrt{5};\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\frac{\sqrt{\text{x}}}{\text{x}+1}.$

Giải

Trong các biểu thức trên, $\frac{2\text{x}+1}{\text{x}-3};\frac{\text{ab}}{\text{a}+\text{b}};{{\text{x}}^{2}}+2\text{x}+1;\sqrt{5}$ là phân thức.

Biểu thức $\frac{\sqrt{x}}{x+1}$ không phải lả phân thức, vì $\sqrt{x}$ không phải là đa thức. Điều kiện xác định của phân thức $\frac{\text{A}}{\text{B}}$ là điều kiện của biến để mẫu thức $\text{B}$ khác 0 .

Khi thay các biến của phân thức đại số bằng các giá trị nào đó (sao cho phân thức xác định), rồi thực hiện các phép tính thì ta nhận được giá trị của phân thức đại số đó tại các giá trị của biến.

Vi dụ 2. Cho phân thức $\text{P}=\frac{{{\text{x}}^{2}}-1}{2\text{x}+1}$.

a) Tính giá trị của phân thức tại $x=0;x=1;x=2$.

b) Tại $x=-\frac{1}{2}$ thì phân thức có xác định không? Tại sao?

Giải

a) Tại $x=0,P=\frac{0-1}{2\cdot 0+1}=-1$.

Tại $\text{x}=1,\text{P}=\frac{{{1}^{2}}-1}{2\cdot 1+1}=0$.

Tại $\text{x}=2,\text{P}=\frac{{{2}^{2}}-1}{2\cdot 2+1}=\frac{3}{5}$.

b) Với $x=-\frac{1}{2}$ thì giá trị của mẫu thức là $2\cdot \left( -\frac{1}{2} \right)+1=-1+1=0$ nên phân thức không xác định.

Chú $y$ : Khi xét phân thức mà không nói gì thêm thì ta hiểu các biến chỉ nhận các giá trị làm cho phân thức xác định.

Vídụ 3. Viết điều kiện xác định của mỗi phân thức sau:
a) $\frac{3x+4}{x-2}$
b) $\frac{x-y}{x+y}$

Giải

a) Phân thức xác định khi $x-2\ne 0$ hay $x\ne 2$.

b) Phân thức xác định khi $x+y\ne 0$ (nghĩa là tại các giá trị của $x$ và $y$ thoả mãn $x+y\ne 0$ ).

Thực hành 1. Tìm giá trị của phân thức:
a) $\frac{{{x}^{2}}-2x+1}{x+2}$ tại $x=-3,x=1$
b) $\frac{xy-3{{y}^{2}}}{x+y}$ tại $x=3,y=-1$.

Thực hành 2 . Viết điều kiện xác định của mỗi phân thức:
a) $\frac{1}{2a+4}$;
b) $\frac{x{{y}^{2}}}{x-2y}$.

Vận dụng. Giá thành trung bình của một chiếc áo sơ mi được một xí nghiệp sản xuất cho bởi biểu thức $\text{C}\left( \text{x} \right)=\frac{0,0002{{\text{x}}^{2}}+120\text{x}+1000}{\text{x}}$, trong đó $\text{x}$ là số áo được sản xuất và $\text{C}$ tính bằng nghìn đồng. Tính $\text{C}$ khi $\text{x}=100,\text{x}=1000$.

HAI PHÂN THỨC BẰNG NHAU

Xét hai phân thức $A=\frac{x}{y}$ và $B=\frac{{{x}^{2}}-x}{xy-y}$.

a) Tính giá trị của các phân thức trên khi $\text{x}=3,\text{y}=2$ và khi $\text{x}=-1,\text{y}=5$.

Nêu nhận xét về giá trị của $\text{A}$ và $\text{B}$ khi cho $\text{x}$ và $\text{y}$ nhận những giá trị nào đó $(\text{y}\ne 0$ và $xy-y\ne 0$ ).

b) Nhân tử thức của phân thức này với mẫu thức của phân thức kia, rồi so sánh hai đa thức nhận được.

Ta nói hai phân thức $\frac{\text{A}}{\text{B}}$ và $\frac{\text{C}}{\text{D}}$ bằng nhau nếu $\text{A}$. $\text{D}=\text{B}$. C. Khi đó, ta viết

$\frac{\text{A}}{\text{B}}=\frac{\text{C}}{\text{D}}.$

Ví du 4. Hai phân thức $\text{A}=\frac{3{{\text{x}}^{2}}-9\text{x}}{{{\text{x}}^{2}}-9}$ và $\text{B}=\frac{3\text{x}}{\text{x}+3}$ có bằng nhau không? Tại sao?

Giaii

Ta có $\left( 3{{x}^{2}}-9x \right)\cdot \left( x+3 \right)=3{{x}^{3}}+9{{x}^{2}}-9{{x}^{2}}-27x=3{{x}^{3}}-27x$;

$\left( {{\text{x}}^{2}}-9 \right)\cdot 3\text{x}=3{{\text{x}}^{3}}-27\text{x}\text{. }\!\!~\!\!\text{ }$

Vậy $\left( 3{{x}^{2}}-9x \right)\cdot \left( x+3 \right)=\left( {{x}^{2}}-9 \right)\cdot 3x$.

Do đó $\frac{3{{x}^{2}}-9x}{{{x}^{2}}-9}=\frac{3x}{x+3}$, hay $A=B$.

Thực hành 3. Mỗi cặp phân thức sau đây có bằng nhau không? Tại sao?
a) $\frac{x{{y}^{2}}}{xy+y}$ và $\frac{xy}{x+1}$
b) $\frac{xy-y}{x}$ và $\frac{xy-x}{y}$.

TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC

Xét các phân thức $P=\frac{{{x}^{2}}y}{x{{y}^{2}}},Q=\frac{x}{y},R=\frac{{{x}^{2}}+xy}{xy+{{y}^{2}}}$.

a) Các phân thức trên có bằng nhau không? Tại sao?

b) Có thể biến đồi như thế nào để chuyển $\text{Q}$ thành $\text{P}$ và $\text{R}$ thành $\text{Q}$ ? Tương tự như đối với phân số, ta có các tính chất cơ bản của phân thức sau đây:

Khi nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức không thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

$\frac{\text{A}}{\text{B}}=\frac{\text{A}\cdot \text{C}}{\text{B}\cdot \text{C}}\text{ }\!\!~\!\!\text{  }\!\!~\!\!\text{ (C }\!\!~\!\!\text{ l }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{  }\!\!~\!\!\text{ m}\text{t }\!\!~\!\!\text{ a }\!\!~\!\!\text{ th}\text{c }\!\!~\!\!\text{ kh }\!\!\acute{\mathrm{a}}\!\!\text{ c }\!\!~\!\!\text{ a }\!\!~\!\!\text{ th}\text{c }\!\!~\!\!\text{ kh }\!\!\hat{\mathrm{o}}\!\!\text{ ng)}\text{. }\!\!~\!\!\text{ }$

Khi chia cả tử và mẫu của một phân thức cho cùng một nhân tử chung của chúng thi được một phân thức bằng phân thức đã cho.

$\frac{\text{A}}{\text{B}}=\frac{\text{A}:\text{D}}{\text{B}:\text{D}}\text{ }\!\!~\!\!\text{  }\!\!~\!\!\text{ (D }\!\!~\!\!\text{ l }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{  }\!\!~\!\!\text{ m}\text{t }\!\!~\!\!\text{ nh }\!\!\hat{\mathrm{a}}\!\!\text{ n }\!\!~\!\!\text{ t}\text{ }\!\!~\!\!\text{ chung)}\text{. }\!\!~\!\!\text{ }$

Ví dụ 5. Biến đổi phân thức bên trái thành phân thức bên phải của mỗi đẳng thức sau:
a) $\frac{x-y}{{{y}^{2}}-{{x}^{2}}}=\frac{-1}{x+y}$
b) $\frac{2x}{-x+4}=\frac{-2x}{x-4}$
c) $\frac{-12{{a}^{2}}bc}{9a{{b}^{3}}}=\frac{-4ac}{3{{b}^{2}}}$.

Giải

a) $\frac{x-y}{{{y}^{2}}-{{x}^{2}}}=\frac{-\left( y-x \right)}{\left( y+x \right)\left( y-x \right)}=\frac{-1}{x+y}$;

b) $\frac{2x}{-x+4}=\frac{2x\left( -1 \right)}{\left( -x+4 \right)\left( -1 \right)}=\frac{-2x}{x-4}$;

c) $\frac{-12{{a}^{2}}bc}{9{{a}^{3}}}=\frac{\left( -4 \right)\cdot 3\cdot a\cdot a\cdot b\cdot c}{3\cdot 3\cdot a\cdot b\cdot {{b}^{2}}}=\frac{-4ac}{3{{b}^{2}}}$.

Nhận xét: Ở Vi dụ 5 , các phân thức bên phải đều đơn giản hơn phân thức bên trái. Ta gọi các phép biến đổi ở trên là rút gọn phân thức.

Chủ ý: Để rút gọn một phân thức, ta thường thực hiện như sau:

Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung.

Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.

Vi dụ 6. Rút gọn phân thức $\text{A}=\frac{18{{\text{x}}^{2}}\left( {{\text{x}}^{2}}-2\text{xy}+{{\text{y}}^{2}} \right)}{27\left( {{\text{x}}^{4}}-{{\text{x}}^{3}}\text{y} \right)}$.

Giải

Ta có $A=\frac{18{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}-2xy+{{y}^{2}} \right)}{27\left( {{x}^{4}}-{{x}^{3}}y \right)}=\frac{2\cdot 9{{x}^{2}}{{(x-y)}^{2}}}{3\cdot 9{{x}^{3}}\left( x-y \right)}=\frac{2\left( x-y \right)}{3x}$.

Thực hành 4 . Chứng tỏ hai phân thức $\frac{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}b+a{{b}^{2}}}$ và $\frac{a-b}{ab}$ bằng nhau theo hai cách khác nhau. Thực hành 5 . Rút gọn các phân thức sau:
a) $\frac{3{{x}^{2}}+6xy}{6{{x}^{2}}}$
b) $\frac{2{{x}^{2}}-{{x}^{3}}}{{{x}^{2}}-4}$
c) $\frac{x+1}{{{x}^{3}}+1}$

BÀI TẬP

Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là phân thức?

$\frac{3x+1}{2x-1};\text{ }\!\!~\!\!\text{ }2{{x}^{2}}-5x+3;\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\frac{x+\sqrt{x}}{3x+2}$

Viết điều kiện xác định của các phân thức sau:
a) $\frac{4x-1}{2x-6}$
b) $\frac{x-10}{x+3y}$
c) $3{{x}^{2}}-x+7$

Tìm giá trị của phân thức:
a) $A=\frac{3{{x}^{2}}+3x}{{{x}^{2}}+2x+1}$ tại $x=-4$
b) $\text{B}=\frac{\text{ab}-{{\text{b}}^{2}}}{{{\text{a}}^{2}}-{{\text{b}}^{2}}}$ tại $\text{a}=4,\text{ }\!\!~\!\!\text{ b}=-2$.

Mỗi cặp phân thức sau có bằng nhau không? Tại sao?
a) $\frac{3ac}{{{a}^{3}}b}$ và $\frac{6c}{2{{a}^{2}}b}$
b) $\frac{3ab-3{{b}^{2}}}{6{{b}^{2}}}$ và $\frac{a-b}{2b}$.

Tìm đa thức thích hợp thay vào ? trong các đẳng thức sau:
a) $\frac{2x+1}{x-1}=\frac{?}{{{x}^{2}}-1}$
b) $\frac{{{x}^{2}}+2x}{{{x}^{3}}+8}=\frac{?}{{{x}^{2}}-2x+4}$.

Rút gọn các phân thức sau:
a) $\frac{3{{x}^{2}}y}{2x{{y}^{5}}}$
b) $\frac{3{{x}^{2}}-3x}{x-1}$
c) $\frac{a{{b}^{2}}-{{a}^{2}}b}{2{{a}^{2}}+a}$
d) $\frac{12\left( {{x}^{4}}-1 \right)}{18\left( {{x}^{2}}-1 \right)}$

Sau bài học này, em đã làm được những gì?

• Nhận biết được phân thức, điếu kiện xác định, giá trị của phân thức, hai phân thức bằng nhau.
• Sử dụng các tính chất cơ bản của phân thức để xét sự bằng nhau của hai phân thức, rút gọn phân thức.

Bài tiếp Tư liệu soạn giáo án Toán 8 CTST – Bài 6: Cộng, trừ phân thức

Bạn đang cần file word nội dung này, hãy tham gia nhóm của chúng tôi đề nhận miễn phí.