Tư liệu soạn giáo án Toán 8 CTST – Bài 6: Cộng, trừ phân thức

Tư liệu soạn giáo án Toán 8 CTST – Bài 6: Cộng, trừ phân thức

Bài 6: Cộng trừ phân thức

Tại một cuộc đua thuyển diển ra trên một khủc sông từ $\text{A}$ đến $\text{B}$ dài $3\text{ }\!\!~\!\!\text{ km}$. Mỗi đội thực hiện một vòng đua, xuất phát từ $\text{A}$ đến $\text{B}$, rổi quay vể $\text{A}$ là đích. Một đội đua đạt tốc độ $\left( x+1 \right)\text{km}/\text{h}$ khi xuôi dòng từ $\text{A}$ đến $\text{B}$ và đạt tốc độ $\left( x-1 \right)\text{km}/\text{h}$ khi ngược dòng từ $B$ vể $A$.

Thời gian thi của đội là bao nhiêu? Chiếu vể mất thời gian nhiếu hơn chiếu đi bao nhiêu giờ? Cấn dùng phép tính nào để tìm các đại lượng đó?

CỘNG, TRỪ HAI PHÂN THỨC CÙNG MẪU

Một hình chữ nhật lớn được ghép bởi hai hình chữ nhật $\text{A}$ và $\text{B}$ lần lượt có diện tích là $\text{ac}{{\text{m}}^{2}},\text{ }\!\!~\!\!\text{ b }\!\!~\!\!\text{ c}{{\text{m}}^{2}}$ và có cùng chiều dài $x\text{ }\!\!~\!\!\text{ cm}$ (Hình 1 ).

a) Tính chiều rộng của hình chữ nhật lớn theo hai cách khác nhau.

b) Chiều rộng của $\text{B}$ lớn hơn chiều rộng của $\text{A}$ bao nhiêu? Biết $\text{b}>\text{a}$.

Hinh I

Muốn cộng (hoặc trừ) hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng (hoặc trừ) các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức.

$\frac{\text{A}}{\text{B}}+\frac{\text{C}}{\text{B}}=\frac{\text{A}+\text{C}}{\text{B}};\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\frac{\text{A}}{\text{B}}-\frac{\text{C}}{\text{B}}=\frac{\text{A}-\text{C}}{\text{B}}.$

Chú ý: Phép cộng phân thức có các tính chất giao hoán, kết hợp tương tự như đối với phân số.

Ví dụ 1. Thực hiện các phép cộng, trừ phân thức sau:
a) $\frac{x+y}{xy}+\frac{x-y}{xy}$
b) $\frac{{{x}^{2}}+5x}{x+2}-\frac{x-4}{x+2}$
c) $\frac{3x+2y}{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}-\frac{x}{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}$.

Giải

a) $\frac{x+y}{xy}+\frac{x-y}{xy}=\frac{x+y+x-y}{xy}=\frac{2x}{xy}=\frac{2}{y}$;

b) $\frac{{{x}^{2}}+5x}{x+2}-\frac{x-4}{x+2}=\frac{{{x}^{2}}+5x-\left( x-4 \right)}{x+2}=\frac{{{x}^{2}}+5x-x+4}{x+2}$ $=\frac{{{x}^{2}}+4x+4}{x+2}=\frac{{{(x+2)}^{2}}}{x+2}=\frac{\left( x+2 \right)\left( x+2 \right)}{x+2}=x+2$

c) $\frac{3x+2y}{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}-\frac{x}{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}=\frac{3x+2y-x}{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}=\frac{2x+2y}{\left( x+y \right)\left( x-y \right)}=\frac{2\left( x+y \right)}{\left( x+y \right)\left( x-y \right)}=\frac{2}{x-y}$.

Thực hành 1. Thực hiện các phép cộng, trừ phân thức sau:
a) $\frac{x}{x+3}+\frac{2-x}{x+3}$
b) $\frac{{{x}^{2}}y}{x-y}-\frac{x{{y}^{2}}}{x-y}$
c) $\frac{2x}{2x-y}+\frac{y}{y-2x}$

CỘNG, TRỪ HAI PHÂN THỨC KHÁC MẪU

Cho hai phân thức $\text{A}=\frac{\text{a}+\text{b}}{\text{ab}}$ và $\text{B}=\frac{\text{a}-\text{b}}{{{\text{a}}^{2}}}$.

a) Tìm đa thức thich hợp thay vào mỗi ? sau đây:

$\frac{\text{a}+\text{b}}{\text{ab}}=\frac{?}{{{\text{a}}^{2}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ b}};\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\frac{\text{a}-\text{b}}{{{\text{a}}^{2}}}=\frac{?}{{{\text{a}}^{2}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ b}}\text{. }\!\!~\!\!\text{ }$

b) Sừ dụng kết quả trên, tính $\text{A}+\text{B}$ và $\text{A}-\text{B}$.

Nhận xét:

Quy đồng mẫu thưc hai phân thức là biến đổi hai phân thức đã cho thành hai phân thức mới có cùng mẫu thức và lần lượt bằng hai phân thức đã cho.

Mẫu thức của các phân thức mới đó gọi là mẫu thúc chung của hai phân thức đã cho. Chú ý: Cho hai phân thức $\frac{\text{A}}{\text{B}}$ và $\frac{\text{C}}{\text{D}}$.

Ta có $\frac{\text{A}}{\text{B}}=\frac{\text{A}\cdot \text{D}}{\text{B}\cdot \text{D}}$ và $\frac{\text{C}}{\text{D}}=\frac{\text{B}\cdot \text{C}}{\text{B}\cdot \text{D}}$.

Nghĩa là, ta luôn có thể quy đồng hai phân thức đã cho với mẫu thức chung là $\text{B}$. $\text{D}$ (tích của hai mẫu thức).

Nếu $\text{D}$ là một nhân tử của $\text{B}(\text{B}=\text{D}$. $\text{P}$ với $\text{P}$ là một đa thức) thì lấy mẫu thức chung là $\text{B}$. Khi đó, ta quy đồng mẫu thức:

$\frac{\text{C}}{\text{D}}=\frac{\text{C}\cdot \text{P}}{\text{D}\cdot \text{P}}=\frac{\text{C}\cdot \text{P}}{\text{B}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ (gi}\text{ }\!\!~\!\!\text{ nguy }\!\!\hat{\mathrm{e}}\!\!\text{ n }\!\!~\!\!\text{ ph }\!\!\hat{\mathrm{a}}\!\!\text{ n }\!\!~\!\!\text{ th}\text{c }\!\!~\!\!\text{ }\frac{\text{A}}{\text{B}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ )}\text{. }\!\!~\!\!\text{ }$

(Tương tự cho trường hợp $\text{B}$ là một nhân từ của $\text{D}$.) – Nếu $B$ và $D$ có nhân tử chung là $E(B=E.M,D=E$. $N$ với $M$ và N là những đa thức $)$ thì lấy mẫu thức chung là $\text{E}.\text{M}$. N. Khi đó, ta quy đồng mẫu thức:

$\frac{A}{B}=\frac{A\cdot N}{B\cdot N}=\frac{A\cdot N}{E\cdot M\cdot N}\text{ }\!\!~\!\!\text{ v }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{  }\!\!~\!\!\text{ }\frac{C}{D}=\frac{C\cdot M}{D\cdot M}=\frac{C\cdot M}{E\cdot N\cdot M}=\frac{C\cdot M}{E\cdot M\cdot N}.$

Vídu 2. Quy đồng mẫu thức của các cặp phân thức sau:
a) $\frac{2a}{a-5}$ và $\frac{-a}{a+5}$
b) $\frac{1}{3abc}$ và $\frac{a+b}{a{{b}^{2}}}$
c) $\frac{3}{{{a}^{2}}-4}$ và $\frac{{{a}^{2}}}{a+2}$.

Giải

a) Mẫu thức chung là $\left( a-5 \right)\left( a+5 \right)={{a}^{2}}-25$.

$\frac{2a}{a-5}=\frac{2a\left( a+5 \right)}{\left( a-5 \right)\left( a+5 \right)}=\frac{2{{a}^{2}}+10a}{{{a}^{2}}-25};\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\frac{-a}{a+5}=\frac{-a\left( a-5 \right)}{\left( a+5 \right)\left( a-5 \right)}=\frac{-{{a}^{2}}+5a}{{{a}^{2}}-25}$

b) Ta có $3abc=ab\cdot 3c$ và $a{{b}^{2}}=ab\cdot b$ nên mầu thức chung là $ab\cdot 3c\cdot b=3a{{b}^{2}}c$.

$\frac{1}{3abc}=\frac{b}{3abc\cdot b}=\frac{b}{3a{{b}^{2}}c};\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\frac{a+b}{a{{b}^{2}}}=\frac{\left( a+b \right)\cdot 3c}{a{{b}^{2}}+3c}=\frac{3ac+3bc}{3a{{b}^{2}}c}\text{. }\!\!~\!\!\text{ }$

c) Ta có ${{a}^{2}}-4=\left( a+2 \right)\left( a-2 \right)$. Do đó, mẫu thức chung là ${{a}^{2}}-4$.

$\frac{{{a}^{2}}}{a+2}=\frac{{{a}^{2}}\left( a-2 \right)}{\left( a+2 \right)\left( a-2 \right)}=\frac{{{a}^{3}}-2{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}-4}\text{. }\!\!~\!\!\text{ }$

Nhờ quy đồng mẫu thức, ta đưa các phép tính công, trừ hai phân thức khác mẫu thức về phép tính cộng, trừ hai phân thức cùng mẫu thức.

Muốn cộng, trừ hai phân thức khác mẫu thức, ta thực hiện các bước:

Quy đồng mẫu thức;

Cộng, trừ các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.

Vi du 3. Thực hiện các phép cộng, trừ phân thức sau:
a) $\frac{2}{a}+\frac{1}{a-3}$;
b) $\frac{2x}{{{x}^{2}}-4}-\frac{1}{x-2}$
c) $\frac{x}{xy-{{y}^{2}}}-\frac{y}{{{x}^{2}}-xy}$.

Giải

a) $\frac{2}{a}+\frac{1}{a-3}=\frac{2\left( a-3 \right)}{a\left( a-3 \right)}+\frac{a}{a\left( a-3 \right)}=\frac{2a-6+a}{a\left( a-3 \right)}=\frac{3a-6}{a\left( a-3 \right)}=\frac{3\left( a-2 \right)}{a\left( a-3 \right)}$;

b) $\frac{2x}{{{x}^{2}}-4}-\frac{1}{x-2}=\frac{2x}{\left( x+2 \right)\left( x-2 \right)}-\frac{\left( x+2 \right)}{\left( x+2 \right)\left( x-2 \right)}$

$=\frac{2x-\left( x+2 \right)}{\left( x+2 \right)\left( x-2 \right)}=\frac{x-2}{\left( x+2 \right)\left( x-2 \right)}=\frac{1}{x+2}$

c) $\frac{x}{xy-{{y}^{2}}}-\frac{y}{{{x}^{2}}-xy}=\frac{x}{y\left( x-y \right)}-\frac{y}{x\left( x-y \right)}=\frac{{{x}^{2}}}{xy\left( x-y \right)}-\frac{{{y}^{2}}}{xy\left( x-y \right)}$ $=\frac{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}{xy\left( x-y \right)}=\frac{\left( x+y \right)\left( x-y \right)}{xy\left( x-y \right)}=\frac{x+y}{xy}$.

Chú ý: a) Phép cộng các phân thức cũng có các tính chất giao hoán, kết hợp:

$\text{ }\!\!~\!\!\text{ – }\!\!~\!\!\text{ }\frac{\text{A}}{\text{B}}+\frac{\text{C}}{\text{D}}=\frac{\text{C}}{\text{D}}+\frac{\text{A}}{\text{B}};\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\cdot \left( \frac{\text{A}}{\text{B}}+\frac{\text{C}}{\text{D}} \right)+\frac{\text{E}}{\text{F}}=\frac{\text{A}}{\text{B}}+\left( \frac{\text{C}}{\text{D}}+\frac{\text{E}}{\text{F}} \right).$

Nhờ tính chất kết hợp, trong một dãy phép cộng nhiều phân thức, ta không cần đặt dấu ngoặc.

b) Nếu $\frac{\text{A}}{\text{B}}+\frac{\text{C}}{\text{D}}=0$ thì phân thức $\frac{\text{C}}{\text{D}}$ được gọi là phân thức đối của phân thức $\frac{\text{A}}{\text{B}}$, kí hiệu là $-\frac{\text{A}}{\text{B}}$. Tương tự như với phân số, ta có tính chất:

$-\frac{\text{A}}{\text{B}}=\frac{-\text{A}}{\text{B}}=\frac{\text{A}}{-\text{B}}\text{. }\!\!~\!\!\text{ }$

c) Phép trừ phân thức có thể chuyển thành phép cộng với phân thức đối:

$\frac{\text{A}}{\text{B}}-\frac{\text{C}}{\text{D}}=\frac{\text{A}}{\text{B}}+\left( -\frac{\text{C}}{\text{D}} \right)\text{. }\!\!~\!\!\text{ }$

Ví du 4. Thực hiện phép tính $\frac{2a}{{{(a+1)}^{2}}}+\frac{a}{a+1}+\frac{1-a}{{{a}^{2}}+2a+1}$.

Giải

$\begin{array}{*{35}{r}}\frac{2a}{{{(a+1)}^{2}}}+\frac{a}{a+1}+\frac{1-a}{{{a}^{2}}+2a+1} & ~=\frac{2a}{{{(a+1)}^{2}}}+\frac{1-a}{{{(a+1)}^{2}}}+\frac{a}{a+1}=\frac{a+1}{{{(a+1)}^{2}}}+\frac{a}{a+1}  \\{} & ~=\frac{1}{a+1}+\frac{a}{a+1}=\frac{1+a}{a+1}=1.  \\\end{array}$

Thực hành 2. Thực hiện các phép cộng, trừ phân thức sau:
a) $\frac{a}{a-3}-\frac{3}{a+3}$;
b) $\frac{1}{2x}+\frac{2}{{{x}^{2}}}$
c) $\frac{4}{{{x}^{2}}-1}-\frac{2}{{{x}^{2}}+x}$.

Thực hành 3. Thực hiện phép tính $\frac{x}{x+y}+\frac{2xy}{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}-\frac{y}{x+y}$.

Vận dụng. Viết biểu thức tính tổng thời gian đi và về, chênh lệch thời gian giữa đi và về của đội đua thuyền ở tình huống trong (trang 31). Tính giá trị của các đại lượng này khi $\text{v}=6\text{ }\!\!~\!\!\text{ km}/\text{h}$.

BÀI TẬP

Thực hiện các phép cộng, trừ phân thức sau:
a) $\frac{a-1}{a+1}+\frac{3-a}{a+1}$;
b) $\frac{b}{a-b}+\frac{a}{b-a}$;
c) $\frac{{{(a+b)}^{2}}}{ab}-\frac{{{(a-b)}^{2}}}{ab}$.

Thực hiện các phép cộng, trừ phân thức sau:
a) $\frac{1}{2a}+\frac{2}{3b}$;
b) $\frac{x-1}{x+1}-\frac{x+1}{x-1}$
c) $\frac{x+y}{xy}-\frac{y+z}{yz}$;
d) $\frac{2}{x-3}-\frac{12}{{{x}^{2}}-9}$;
e) $\frac{1}{x-2}+\frac{2}{{{x}^{2}}-4x+4}$.

Thực hiện các phép tính sau:
a) $\frac{x+2}{x-1}-\frac{x-3}{x-1}+\frac{x-4}{1-x}$;
b) $\frac{1}{x+5}-\frac{1}{x-5}+\frac{2x}{{{x}^{2}}-25}$;
c) $x+\frac{2{{y}^{2}}}{x+y}-y$.

Cùng đi từ thành phố $\text{A}$ đến thành phố $\text{B}$ cách nhau $450\text{ }\!\!~\!\!\text{ km}$, xe khách chạy với tốc độ $\text{x}\left( \text{km}/\text{h} \right)$; xe tải chạy với tốc độ $\text{y}\left( \text{km}/\text{h} \right)(\text{x}>\text{y})$. Nếu xuất phát cùng lúc thì xe khách đến thành phố $\text{B}$ sớm hơn xe tải bao nhiêu giờ?

Có ba hình hộp chữ nhật $\text{A},\text{B},\text{C}$ có chiều dài, chiều rộng và thể tích được cho như Hinh 2 . Hình $\text{B}$ và $\text{C}$ có các kích thước giống nhau, hình $\text{A}$ có cùng chiều rộng với $\text{B}$ và $\text{C}$.

a) Tính chiều cao của các hình hộp chữ nhật. Biểu thị chúng bằng các phân thức cùng mẫu số.

b) Tính tổng chiều cao của hình $\text{A}$ và $\text{C}$, chênh lệch chiều cao của hình $\text{A}$ và $\text{B}$.

Hinh 2

Sau bài học này, em đã làm được những gi??

Thực hiện được phép cộng, phép trừ hai phân thức đại số.

Vận dụng được các tính chất giao hoán, kết hợp, quy tắc dấu ngoặc trong tính toán với phân thức đại số.

Bài tiế: Tư liệu soạn giáo án Toán 8 CTST – Bài 7: Nhân chia phân thức

Bạn đang cần file word nội dung này, hãy tham gia nhóm của chúng tôi đề nhận miễn phí.