Tư liệu soạn giáo án Toán 8 CTST – Chương 6 – Bài 1. Phương trình bậc nhất một ẩn

Tư liệu soạn giáo án Toán 8 CTST – Chương 6 – Bài 1. Phương trình bậc nhất một ẩn

CHƯƠNG 6 PHƯƠNG TRÌNH

Trong chương này, các em sẽ tìm hiểu những kiến thức vể phương trình bậc nhất một ẩn, đó là các bài toán tìm x mà các em đã biết. Qua đó các em sẽ phát triển kĩ năng giải phương trình bậc nhất một ẩn và áp dụng để giải quyết được một số vấn đế thực tiễn gắn với phương trình bậc nhất.

Phương trình bậc nhất một ẩn có thể được dùng để tính lãi suất tiền gửi tiết kiệm ngân hàng.

PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN

a) Ở Trên, viết các biểu thức biểu thị tổng khối lượng của các vật trên mỗi đĩa cân. Từ điều kiện cân thăng bằng, hai biểu thức có mối quan hệ như thế nào?

b) Nếu $x=200$ thì cân có thăng bằng không? Tại sao?

Nếu $x=100$ thì cân có thăng bằng không? Tại sao?

Trong trên, do cân thăng bằng nên tổng khối lượng các vật trên hai đĩa cân bằng nhau, từ đó ta nhận được

$4\text{x}=600+\text{x}.$

Ta gọi (1) là một phurong trình với ẩn số $\text{x}$ (hay ẩn $\text{x}$ ).

Khi $x=200$, hai vế của (1) có giá trị bằng nhau, đều bằng 800 . Ta nói số 200 thoả mãn (hoặc nghiệm đúng) phương trình (1). Ta cũng nói số 200 (hay $\text{x}=200$ ) là một nghiệm của phương trình (1).

Tồng quát, phương trình với ẩn $\text{x}$ có dạng $\text{A}\left( \text{x} \right)=\text{B}\left( \text{x} \right)$, trong đó vế trái $\text{A}\left( \text{x} \right)$ và vế phải $\text{B}\left( \text{x} \right)$ là hai biểu thức của cùng một biến $\text{x}$. Người ta thường dùng phương trình khi nói về việc tìm ${{\text{x}}_{0}}$ để $\text{A}\left( {{\text{x}}_{0}} \right)=\text{B}\left( {{\text{x}}_{0}} \right)$.

Giá trị của biến làm cho hai vế của phương trình có giá trị bằng nhau gọi là nghiệm của phương trình đó.

Ví dụ 1. Năm nay mẹ 39 tuổi, gấp 3 lần tuổi của Lan năm ngoái.

a) Hãy viết phương trình ẩn $\text{x}$ biểu thị điều này bằng cách kí hiệu $\text{x}$ là tuổi của Lan năm nay.

b) Minh nói rằng tuồi của Lan năm nay là 13 , còn Mai nói tuổi của Lan năm nay là 14 . Bạn nào nói đúng? Hãy giải thích.

Giải

a) Tuổi của Lan năm ngoái là $x-1$. Theo đề bài, ta có phương trình:

$3\left( x-1 \right)=39.\text{ }\!\!~\!\!\text{ }$

b) Với $x=13$, vế trái của phương trình trên có giá trị $3\left( 13-1 \right)=3,12=36\ne 39$.

Vậy 13 không thoả mãn phương trình trên.

Với $x=14$, vế trái của phương trình trên có giá trị $3\left( 14-1 \right)=3.13=39$, bằng giá trị vế phải. Do đó, 14 là nghiệm của phương trình trên.

Vậy tuổi của Lan năm nay là 14 . Bạn Mai nói đúng.

Thực hành 1. Cho phương trình $4\text{x}-3=12-\text{x}$.

Trong hai số 3 và 5 , có số nào là nghiệm của phương trình đã cho không?

Vận dụng 1. Đặt lên hai đĩa những quả cân như Hình 1 .

a) Biết rằng cân thăng bằng, hãy viết phương trình biểu thị sự thăng bằng này.

b) Nếu $x=100$ thì cân có thăng bằng không? Vì sao?

Nếu x $=150$ thì cân có thăng bằng không? Vì sao? Từ đó, chỉ ra một nghiệm của phương trình

Hinh I ở câu a.

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN VÀ CÁCH GIẢI

Xét cân thăng bằng ở

a) Giải thích tại sao nếu bỏ ra khỏi mỗi đĩa cân một quả cân [ $\text{g}$ thì cân vẫn thăng bằng. b) Nếu thay qua cân Tại sao?

c) Tiếp theo, chia các quả cân trên mỗi đĩa cân thành ba phần bằng nhau, rồi bò đi hai phần (Hình 3 ). Khi đó, cân còn thăng bằng không? Tại sao?

Hinh 2

Hinh 3 Tương ứng với các bước ở ${{\mathbf{B}}_{2}}$, ta thực hiện các biến đồi sau đối với phương trình (1):

$\begin{array}{*{35}{r}}4\text{x} & ~=600+\text{x} & {} & {}  \\4\text{x}-\text{x} & ~=600+\text{x}-\text{x} & {} & {}  \\3\text{x} & ~=600 & {} & \text{ }\!\!~\!\!\text{  }\!\!~\!\!\text{ }  \\\text{x} & ~=200. & {} & \text{ }\!\!~\!\!\text{ }  \\\end{array}$

Như vậy, bằng các biến đổi nhu trên ta đã tìm được nghiệm $x=200$ của phương trình (1).

Ta có thể thay đổi cách viết và nói các biến đổi trên như sau:

$\begin{array}{*{35}{r}}4\text{x} & ~=600+\text{x} & {} & \text{ }\!\!~\!\!\text{  }\!\!~\!\!\text{ }  \\4\text{x}-\text{x} & ~=600 & {} & \text{ }\!\!~\!\!\text{  }\!\!~\!\!\text{ }  \\3\text{x} & ~=600 & {} & ~  \\\end{array}$

Người ta thường viết phương trình về dạng có một vế bằng 0 , chẳng hạn phương trình $3\text{x}=600$ được viết thành $3\text{x}-600=0$ (chuyển 600 sang vế trái và đổi dấu).

Phương trình dạng $\text{ax}+\text{b}=0$, với $\text{a}$ và $\text{b}$ là hai số đã cho và $\text{a}\ne 0$, được gọi là phurong trình bậc nhất một ẩn.

Việc tìm các nghiệm của một phương trình gọi là giải phương trình đó.

Như đã làm với phương trình (1), để giải phương trình, ta thường sử dụng các quy tắc biến đổi sau:

Chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó (Quy tắc chuyển vế);

Nhân cả hai vế với cùng một số khác 0 (Quy tắc nhân với một số);

Chia hai vế cho cùng một số khác 0 (Quy tắc chia cho một số).

Áp dụng các quy tắc trên, ta giải phương trình bậc nhất một ẩn như sau:

$\begin{array}{*{35}{r}}\begin{array}{*{35}{r}}\text{ax}+\text{b} & ~=0  \\\end{array} & {} & {}  \\\text{ax} & ~=-\text{b} & \text{ }\!\!~\!\!\text{ }  \\\text{x} & ~=\frac{-\text{b}}{\text{a}}. & {}  \\\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm $x=\frac{-b}{a}$.

Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:
a) $-3x-6=0$;
b) $2-\frac{5}{3}x=0$

Giải

a) $-3x-6=0$

$\begin{array}{*{35}{r}}{} & ~-3\text{x}=6  \\{} & \text{x}=-2.\text{ }\!\!~\!\!\text{ }  \\\end{array}$

(chuyển -6 sang vế phải và đổi đấu)
(chia hai vế cho -3)

Vậy phương trình có nghiệm $x=-2$. b) $2-\frac{5}{3}x=0$

$\begin{array}{*{35}{r}}-\frac{5}{3}x & ~=-2  \\x & ~=\left( -2 \right):\left( -\frac{5}{3} \right)  \\x & ~=\frac{6}{5}.  \\\end{array}$

(chuyển 2 sang vếphải và đổi dấu)

(chia hai vế cho $-\frac{5}{3}$ )

Vậy phương trình có nghiệm $x=\frac{6}{5}$.

Thực hành 2. Giải các phương trình sau:
a) $\frac{2}{3}x+1\frac{1}{2}=0$
b) $2\frac{1}{2}-0,75\text{x}=0$

Chú ý: Trong thực hành, nhiều trường hợp để giải một phương trình ta phải biến đổi để đưa các phương trình về dạng phương trình bậc nhất một ẩn.

Ví dụ 3. Giải các phương trình sau bằng cách đưa về phương trình bậc nhất một ẩn.
a) $5x-\left( 7-2x \right)=14$;
b) $\frac{7\text{x}-1}{6}+2\text{x}=\frac{16-\text{x}}{5}$

Giải

a) $5x-\left( 7-2x \right)=14$
$5\text{x}-7+2\text{x}=14$
(bỏ dấu ngoặc)
$5\text{x}+2\text{x}=14+7$
(chuyển vế)
$7\text{x}=21$
(rút gon)
$\text{x}=3$
(chia hai vế cho 7)

Vậy phương trình có nghiệm $x=3$.

b) $\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\frac{7x-1}{6}+2x=\frac{16-x}{5}$

$\begin{array}{*{35}{r}}\frac{5\left( 7\text{x}-1 \right)}{6\cdot 5}+\frac{2\text{x}\cdot 30}{30} & ~=\frac{6\left( 16-\text{x} \right)}{5\cdot 6} & {} & \text{ }\!\!~\!\!\text{  }\!\!~\!\!\text{ }  \\35\text{x}-5+60\text{x} & ~=96-6\text{x} & {} & \text{ }\!\!~\!\!\text{  }\!\!~\!\!\text{ }  \\35\text{x}+60\text{x}+6\text{x} & ~=96+5 & {} & \text{ }\!\!~\!\!\text{  }\!\!~\!\!\text{ }  \\101\text{x} & ~=101 & {} & \text{ }\!\!~\!\!\text{  }\!\!~\!\!\text{ }  \\\text{x} & ~=1. & {} & \text{ }\!\!~\!\!\text{  }\!\!~\!\!\text{ }  \\\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm $x=1$.

Thực hành 3. Giải các phương trình sau:
a) $15-4\text{x}=\text{x}-5$;
b) $\frac{5x+2}{4}+\frac{3x-2}{3}=\frac{3}{2}$.

Chú ý: Quá trình giải phương trình có thể dẫn đến trường hợp đặc biệt là hệ số của ẩn bằng 0 . Khi đó, phương trình có thể không có nghiệm (vô nghiệm) hoặc nghiệm đúng với mọi $x$. Ví dụ 4. Giải phương trình $\text{x}+7=\text{x}-7$.

$\begin{matrix}x+7=x-7  \\x-x=-7-7  \\0x=-14  \\\end{matrix}$

Giải

Vậy phương trình vô nghiệm.

Vi du 5 . Giải phương trình $\text{x}+7=\text{x}+7$.

Giai

$\begin{array}{*{35}{r}}x+7 & ~=x+7  \\x-x & ~=7-7  \\0x & ~=0.  \\\end{array}$

Vậy phương trình nghiệm đúng với mọi $x$.

Vận dụng 2. Hai bạn An và Mai giải phương trình $x=2x$ như sau:

An: $\text{ }\!\!~\!\!\text{ }x=2x$

$1=2.\text{ }\!\!~\!\!\text{  }\!\!~\!\!\text{ }$

Vậy phương trình vô nghiệm.

Mai:

$\begin{array}{*{35}{r}}\text{x} & =2\text{x} & {} & {}  \\\text{x}-2\text{x} & =0 & {} & \text{ }\!\!~\!\!\text{  }\!\!~\!\!\text{ }  \\-\text{x} & =0 & {} & {}  \\\text{x}=0. & {} & {} & \text{ }\!\!~\!\!\text{ }  \\\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm $x=0$.

Em hãy cho biết bạn nào giải đúng.

BÀI TẬP

Trong Hinh 4 , cho biết các viên bi có cùng khối lượng là $\text{x}\left( \text{g} \right)$ và cân thăng bằng. Viết phương trình biểu diễn liên hệ giữa khối lượng của các vật ở hai đĩa cân.

Hinh 4 2. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất một ẩn? Xác định các hệ sổ $\text{a}$ và $\text{b}$ của phương trình bậc nhất một ẩn đó.
a) $7x+\frac{4}{7}=0$
b) $\frac{3}{2}y-5=4$
c) $0t+6=0$;
d) ${{x}^{2}}+3=0$.

Giải các phương trình sau:
a) $5\text{x}-30=0$;
b) $4-3x=11$;
c) $3x+x+20=0$
d) $\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}=x+2$

Giải các phương trình sau:
a) $8-\left( \text{x}-15 \right)=2\left( 3-2\text{x} \right)$;
b) $-6\left( 1,5-2\text{u} \right)=3\left( -15+2\text{u} \right)$;
c) ${{(x+3)}^{2}}-x\left( x+4 \right)=13$;
d) $\left( y+5 \right)\left( y-5 \right)-{{(y-2)}^{2}}=-5$.

Giải các phương trình sau:
a) $\frac{5x-3}{4}=\frac{x+2}{3}$
b) $\frac{9\text{x}+5}{6}=1-\frac{6+3\text{x}}{8}$;
c) $\frac{2\left( x+1 \right)}{3}-\frac{1}{2}=\frac{1+3x}{4}$
d) $\frac{x+3}{5}-\frac{2}{3}x=\frac{3}{10}$.

Tìm $x$, biết rằng nếu lấy $x$ trừ đi $\frac{1}{2}$, rồi nhân kết quả với $\frac{1}{2}$ thì được $\frac{1}{8}$.

Sau bài học này, em đã làm được những gì?

Hiểu được phương trình bậc nhất một ẩn.

Giải được phương trình bậc nhất một ẩn.