Tuyển tập các bài toán về bất đẳng thức 3 số ôn thi HSG Toán 9 và vào chuyên 10

Tuyển tập các bài toán về bất đẳng thức 3 số ôn thi HSG Toán 9 và vào chuyên 10

Đề bài bất đẳng thức 3 số

Bài 1.

Cho các số thực không âm $a,\,b,\,c$ thỏa mãn $a+b+c=1$.

Chứng minh rằng $\frac{3}{a+2}+\frac{3}{b+2}+\frac{3}{c+2}\ge \frac{3}{2}+\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}$.

Bài 2.

Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn $\text{x}+y+z=3$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M={{x}^{4}}+{{y}^{4}}+{{z}^{4}}+12\left( 1-x \right)\left( 1-y \right)\left( 1-z \right)$.

Bài 3.

Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn $\frac{1}{1+a}+\frac{2017}{2017+b}+\frac{2018}{2018+c}\le 1$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=abc$.

Hướng dẫn bất đẳng thức 3 số

Bài 1.

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

$\left( 1-\frac{1}{a+1} \right)+\left( 1-\frac{1}{b+1} \right)+\left( 1-\frac{1}{c+1} \right)\ge \frac{9}{2}-\frac{3}{a+2}-\frac{3}{b+2}-\frac{3}{c+2}$

$\Leftrightarrow \frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\ge \frac{3}{2}\left[ \left( 1-\frac{2}{a+2} \right)+\left( 1-\frac{2}{b+2} \right)+\left( 1-\frac{2}{c+2} \right) \right] $

$\Leftrightarrow \frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\ge \frac{3\text{a}}{2\left( a+2 \right)}+\frac{3b}{2\left( b+2 \right)}+\frac{3c}{2\left( c+2 \right)}$

$\Leftrightarrow \left[ \frac{a}{a+1}-\frac{3\text{a}}{2\left( a+2 \right)} \right] +\left[ \frac{b}{b+1}-\frac{3b}{2\left( b+2 \right)} \right] +\left[ \frac{c}{c+1}-\frac{3c}{2\left( c+2 \right)} \right] \ge 0$

$\Leftrightarrow \frac{a\left( 1-a \right)}{2\left( a+1 \right)\left( a+2 \right)}+\frac{a\left( 1-a \right)}{2\left( a+1 \right)\left( a+2 \right)}+\frac{a\left( 1-a \right)}{2\left( a+1 \right)\left( a+2 \right)}\ge 0$

$\Leftrightarrow \frac{a\left( b+c \right)}{2\left( a+1 \right)\left( a+2 \right)}+\frac{b\left( c+a \right)}{2\left( b+1 \right)\left( b+2 \right)}+\frac{c\left( a+b \right)}{2\left( c+1 \right)\left( c+2 \right)}\ge 0$

Hiển nhiên đúng. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $(a,\,b,\,c)=\left( 0,\,0,\,1 \right)$ và các hoán vị của chúng.

Bài 2:

Đặt $a=1-x,\,b=1-y,\,c=1-z\Rightarrow a+b+c=0$.

${{\text{x}}^{4}}={{\left( a-1 \right)}^{4}}={{\left( {{a}^{2}}-2\text{a}+1 \right)}^{2}}={{a}^{4}}-4{{\text{a}}^{3}}+6{{\text{a}}^{2}}-4\text{a}+1$

${{y}^{4}}={{\left( b-1 \right)}^{4}}={{\left( {{b}^{2}}-2b+1 \right)}^{2}}={{b}^{4}}-4{{b}^{3}}+6{{b}^{2}}-4b+1$

${{c}^{4}}={{\left( c-1 \right)}^{4}}={{\left( {{c}^{2}}-2c+1 \right)}^{2}}={{c}^{4}}-4{{c}^{3}}+6{{c}^{2}}-4c+1$

$M=\left( {{a}^{4}}+{{b}^{4}}+{{c}^{4}} \right)-4\left( {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}} \right)+6\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)-4\left( a+b+c \right)+3+12\text{a}bc$.

$M=3+{{a}^{4}}+{{b}^{4}}+{{c}^{4}}+6\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)-4\left( {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}-3\text{a}bc \right)$

Vì $a+b+c=0$ nên ${{\text{a}}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}-3\text{a}bc=\left( a+b+c \right)\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-ab-bc-ca \right)=0$

$\Rightarrow M=3+{{a}^{4}}+{{b}^{4}}+{{c}^{4}}+6\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\ge 3$.

Vậy $\min M=3\Leftrightarrow a=b=c=0\Leftrightarrow x=y=z=1$.

Bài 3:

Từ giả thiết ta có $\frac{a}{1+a}=1-\frac{1}{1+a}\ge \frac{2017}{2017+b}+\frac{2018}{2018+c}$.

Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có:

$\frac{a}{1+a}=1-\frac{1}{1+a}\ge \frac{2017}{2017+b}+\frac{2018}{2018+c}\ge 2\sqrt{\frac{2017.2018}{\left( 2017+b \right)\left( 2018+c \right)}}$

$\frac{b}{2017+b}\ge \frac{1}{1+a}+\frac{2018}{2018+c}\ge 2\sqrt{\frac{1.2018}{\left( 1+a \right)\left( 2018+c \right)}}$

$\frac{c}{2018+c}\ge \frac{1}{1+a}+\frac{2017}{2017+b}\ge 2\sqrt{\frac{1.2017}{\left( 1+a \right)\left( 2017+b \right)}}$

Nhân theo vế các bất đẳng thức trên, ta được:

$\frac{abc}{\left( 1+a \right)\left( 2017+b \right)\left( 2018+c \right)}\ge \frac{8.2017.2018}{\left( 1+a \right)\left( 2017+b \right)\left( 2018+c \right)}\Rightarrow P\ge 8.2017.2018$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\frac{1}{1+a}=\frac{2017}{2017+b}=\frac{2018}{2018+c}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow a=2,\,b=4034,\,c=4036$.

Vậy $\min P=32\,562\,448$ khi và chỉ khi $a=2,\,b=4034,\,c=4036$.

Mời các bạn đóng góp tiếp nào