VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI VÀ GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG – SBT Toán 10 Cánh Diều Tập 2
BÀI 4. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI VÀ GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG.
KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Vị trí tương đối của hai đường thẳng
a) Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai đường thẳng ${{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{1}},{{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{2}}$ lần lượt có vectơ chỉ phương là ${{\vec{u}}_{1}},{{\vec{u}}_{2}}$. Khi đó
${{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{1}}$ cắt ${{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{2}}$ khi và chỉ khi ${{\vec{u}}_{1}},{{\vec{u}}_{2}}$ không cùng phương.
${{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{1}}$ song song với ${{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{2}}$ khi và chỉ khi ${{\vec{u}}_{1}}$, ${{\vec{u}}_{2}}$ cùng phương và có một điểm thuộc một đường thẳng mà không thuộc đường thẳng còn lại.
${{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{1}}$ trùng với ${{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{2}}$ khi và chỉ khi ${{\vec{u}}_{1}},{{\vec{u}}_{2}}$ cùng phương và có một điểm thuộc cả hai đường thẳng đó.
Chú $y$ : ${{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{1}}$ vuông góc với ${{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{2}}$ khi và chỉ khi ${{\vec{u}}_{1}},{{\vec{u}}_{2}}$ vuông góc với nhau.
b) Cho hai đường thẳng ${{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{1}}$ và ${{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{2}}$ có phương trình lần lượt là:
${{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y+{{c}_{1}}=0\text{ }\!\!~\!\!\text{ v }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y+{{c}_{2}}=0.$
Xét hệ phương trinh: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}{{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y+{{c}_{1}}=0 \\{{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y+{{c}_{2}}=0 \\\end{array} \right.$ (I)
Khi đó
${{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{1}}$ cắt ${{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{2}}$ khi và chỉ khi hệ (I) có nghiệm duy nhất.
${{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{1}}$ song song với ${{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{2}}$ khi và chỉ khi hệ (I) vô nghiệm.
${{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{1}}$ trùng với ${{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{2}}$ khi và chỉ khi hệ (I) có vô số nghiệm.
Góc giữa hai dường thẳng
Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai đường thẳng ${{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{1}}$ và ${{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{2}}$ có vectơ chỉ phương lần lượt là ${{\vec{u}}_{1}}=\left( {{a}_{1}};{{b}_{1}} \right),{{\vec{u}}_{2}}=\left( {{a}_{2}};{{b}_{2}} \right)$. Khi đó
$\text{cos}\left( {{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{1}},{{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{2}} \right)=\frac{\left| {{a}_{1}}{{a}_{2}}+{{b}_{1}}{{b}_{2}} \right|}{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}\cdot \sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}}.$
Nhận xèt
${{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{1}}\bot {{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{2}}\Leftrightarrow {{a}_{1}}{{a}_{2}}+{{b}_{1}}{{b}_{2}}=0$.
Cho hai đường thẳng ${{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{1}}$ và ${{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{2}}$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là ${{\vec{n}}_{1}},{{\vec{n}}_{2}}$. Ta cũng có:
$\text{cos}\left( {{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{1}},{{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{2}} \right)=\left| \text{cos}\left( {{{\vec{n}}}_{1}},{{{\vec{n}}}_{2}} \right) \right|=\frac{\left| {{{\vec{n}}}_{1}}\cdot {{{\vec{n}}}_{2}} \right|}{\left| {{{\vec{n}}}_{1}} \right|\cdot \left| {{{\vec{n}}}_{2}} \right|}.$
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho đường thẳng $\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }$ có phương trinh $ax+by+c=0$ $\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}>0 \right)$ và điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$. Khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }$, kí hiệu là $d\left( M,\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ } \right)$, được tính bởi công thức sau:
$d\left( M,\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ } \right)=\frac{\left| a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}+c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}.$
Chá $y$ : Nếu $M\in \text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }$ thì $d\left( M,\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ } \right)=0$.
B. VÍ DU
Vấn đề 1 . Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
Vi đu 1 Xét vị tri tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau:
a) ${{d}_{1}}:3x+2y-5=0$ và ${{d}_{2}}:x-4y+1=0$;
b) ${{d}_{3}}:x-2y+3=0$ và ${{d}_{4}}:-2x+4y+10=0$;
c) ${{d}_{5}}:4x+2y-3=0$ và ${{d}_{6}}:\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}x=-\frac{1}{2}+t \\y=\frac{5}{2}-2t \\\end{array} \right.$
Giải
Cách 1:
a) ${{d}_{1}}$ có vectơ chỉ phương ${{\vec{u}}_{1}}=\left( -2;3 \right),{{d}_{2}}$ có vectơ chỉ phương ${{\vec{u}}_{2}}=\left( 4;1 \right)$. Do $\frac{-2}{4}\ne \frac{3}{1}$ nên ${{\vec{u}}_{1}},{{\vec{u}}_{2}}$ không cùng phương, suy ra ${{d}_{1}}$ cắt ${{d}_{2}}$.
b) ${{d}_{3}}$ có vectơ chỉ phương ${{\vec{u}}_{3}}=\left( 2;1 \right),{{d}_{4}}$ có vectơ chỉ phương ${{\vec{u}}_{4}}=\left( -4;-2 \right)$. Suy ra ${{\vec{u}}_{3}}=-\frac{1}{2}{{\vec{u}}_{4}}$. Chọn điểm $M\left( -1;1 \right)\in {{d}_{3}}$. Do $M\left( -1;1 \right)\notin {{d}_{4}}$ suy ra ${{d}_{3}}$ song song với ${{d}_{4}}$.
c) ${{d}_{5}}$ có vectơ chỉ phương ${{\vec{u}}_{5}}=\left( -2;4 \right),{{d}_{6}}$ có vectơ chỉ phương ${{\vec{u}}_{6}}=\left( 1;-2 \right)$. Suy ra ${{\vec{u}}_{5}}=-2{{\vec{u}}_{6}}$. Chọn điểm $N\left( -\frac{1}{2};\frac{5}{2} \right)\in {{d}_{6}}$. Do $N\left( -\frac{1}{2};\frac{5}{2} \right)\in {{d}_{5}}$ suy ra ${{d}_{5}}$ trùng với ${{d}_{6}}$.
Cách 2:
a) Toạ độ giao điểm của hai đường thẳng ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ là nghiệm của hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}3x+2y-5=0 \\x-4y+1=0 \\\end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}x=\frac{9}{7} \\y=\frac{4}{7}. \\\end{array} \right. \right.$
Hệ trên có một nghiệm duy nhất. Như vậy, ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ cắt nhau.
b) Toạ độ giao điểm của hai đương thẳng ${{d}_{3}}$ và ${{d}_{4}}$ là nghiệm của hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}x-2y+3=0 \\-2x+4y+10=0. \\\end{array} \right.$
Hệ trên vô nghiệm. Như vậy, ${{d}_{3}}$ song song với ${{d}_{4}}$.
c) Toạ độ giao điểm của hai đường thẳng ${{d}_{5}}$ và ${{d}_{6}}$ tương ứng với $t$ thoả mãn phương trinh:
$4\left( -\frac{1}{2}+t \right)+2\left( \frac{5}{2}-2t \right)-3=0\Leftrightarrow 0t=0.$
Phương trình này có nghiệm với mọi $t$. Như vậy, ${{d}_{5}}$ và ${{d}_{6}}$ có vô số điểm chung, tức là ${{d}_{5}}$ trùng với ${{d}_{6}}$.
Vấn đề 2. Lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm và song song hoặc vuông góc với một đường thẳng cho trước
Vi dụ 2 Lập phương trinh tham số của đường thẳng $\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }$ trong mỗi trường hợp sau:
a) $\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }$ đi qua $M\left( 2;-2 \right)$ và song song với đường thẳng ${{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{1}}:2x+y-5=0$;
b) $\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }$ đi qua $M\left( 2;3 \right)$ vuông góc với đường thẳng ${{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{2}}:x+4y+3=0$.
Giải
a) Đường thẳng ${{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{1}}$ có vectơ chỉ phương là ${{\vec{u}}_{1}}=\left( -1;2 \right).\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }$ song song với đường thẳng ${{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{1}}$ nên có vectơ chỉ phương $\vec{u}={{\vec{u}}_{1}}=\left( -1;2 \right)$. Đường thẳng $\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }$ đi qua $M\left( 2;-2 \right)$ nên phương trình tham số của đường thẳng $\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }$ là:
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}x=2-t \\y=-2+2t \\\end{array} \right.$
b) Đường thẳng ${{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{2}}$ có vectơ pháp tuyến là ${{\vec{n}}_{2}}=\left( 1;4 \right)$. $\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }$ vuông góc với đường thẳng ${{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{2}}$ nên có vectơ chỉ phương $\vec{u}={{\vec{n}}_{2}}=\left( 1;4 \right)$. Đường thẳng $\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }$ đi qua $M\left( 2;3 \right)$ nên phương trinh tham số của đường thẳng $\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }$ là:
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}x=2+t \\y=3+4t \\\end{array} \right.$
Vấn đề 3 . Tìm số đo góc giữa hai đường thẳng
Ví du 3 Tim số đo góc giữa hai đường thẳng $\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }_{1}^{=}$và ${{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{2}}$ trong mỗi trường hợp sau:
a) ${{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{1}}:-2x+y+5=0$ và ${{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{2}}:3x+y+7=0$;
b) ${{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{1}}:\sqrt{3}x-y+7=0$ và ${{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{2}}:\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}x=-2-t \\y=1-\frac{1}{\sqrt{3}}t \\\end{array} \right.$
Giải
a) Ta có ${{\vec{n}}_{1}}=\left( -2;1 \right),{{\vec{n}}_{2}}=\left( 3;1 \right)$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của các đường thẳng ${{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{1}},{{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{2}}$. Suy ra
$\text{cos}\left( {{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{1}},{{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{2}} \right)=\left| \text{cos}\left( {{{\vec{n}}}_{1}},{{{\vec{n}}}_{2}} \right) \right|=\frac{\left| \left( -2 \right)\cdot 3+1\cdot 1 \right|}{\sqrt{{{(-2)}^{2}}+{{1}^{2}}}\cdot \sqrt{{{3}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$
Vậy $\left( {{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{1}},{{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{2}} \right)={{45}^{\circ }}$.
b) Ta có ${{\vec{u}}_{1}}=\left( 1;\sqrt{3} \right),{{\vec{u}}_{2}}=\left( -1;-\frac{1}{\sqrt{3}} \right)$ lần lượt là vectơ chỉ phương của các đường thẳng ${{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{1}},{{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{2}}$. Suy ra
$\text{cos}\left( {{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{1}},{{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{2}} \right)=\left| \text{cos}\left( {{{\vec{u}}}_{1}},{{{\vec{u}}}_{2}} \right) \right|=\frac{\left| 1\cdot \left( -1 \right)+\sqrt{3}\cdot \left( -\frac{1}{\sqrt{3}} \right) \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{(\sqrt{3})}^{2}}}\cdot \sqrt{{{(-1)}^{2}}+{{\left( -\frac{1}{\sqrt{3}} \right)}^{2}}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$
Vậy $\left( {{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{1}},{{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{2}} \right)={{30}^{\circ }}$.
Vấn đề 4 . Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Vi dụ 4 Cho đường thẳng $\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }:x-3y+3=0$.
a) Tính khoảng cách tử điểm $A\left( 4;-1 \right)$ đến đường thẳng $\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }$;
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song $\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }$ và ${{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{1}}:x-3y-3=0$.
Giả
a) Ta có: $d\left( A,\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ } \right)=\frac{\left| 4-3\cdot \left( -1 \right)+3 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{(-3)}^{2}}}}=\sqrt{10}$.
b) Lấy $M\left( -3;0 \right)\in \text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }$. Ta có:
$d\left( M,{{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{1}} \right)=\frac{\left| \left( -3 \right)-3\cdot 0-3 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{(-3)}^{2}}}}=\frac{6}{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{5}.$
Vì hai đường thẳng $\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }$ và ${{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{1}}$ song song nên khoảng cảch giữa hai đường thẳng đó bằng $d\left( M,{{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{1}} \right)=\frac{3\sqrt{10}}{5}$.
Ví dụ 5 Cho ba điểm $A\left( 2;4 \right),B\left( -1;2 \right),C\left( 3;-1 \right)$. Viết phương trinh đường thẳng $\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }$ đi qua $B$ đồng thời cách đều $A$ và $C$.
Giải
Cách 1: Xét hai trường hợp:
Trường hơp 1 (Hinh 8): A, $C$ ở cùng phía so với $\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }$. Khi đó,
$d\left( A,\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ } \right)=d\left( C,\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ } \right)\Leftrightarrow \text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }//AC.$
Ta có: $\overrightarrow{AC}=\left( 1;-5 \right)$ là vectơ chỉ phương của $\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }$, do đó phương trinh của $\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }$ là:
$\frac{x+1}{1}=\frac{y-2}{-5}\text{ }\!\!~\!\!\text{ hay }\!\!~\!\!\text{ }5x+y+3=0.$
Hinh 8 Truoòng hơp 2 (Hinh 9): A, C ở khác phía so với $\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }$. Khi đó, $d\left( A,\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ } \right)=d\left( C,\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ } \right)$ khi và chỉ khi $\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }$ đi qua trung điểm $M$ của $AC$.
Ta có: $M\left( \frac{5}{2};\frac{3}{2} \right)\Rightarrow \overrightarrow{BM}=\left( \frac{7}{2};-\frac{1}{2} \right)$.
Chọn $\vec{u}=\left( 7;-1 \right)$ làm vectơ chỉ phương của
$\text{Hinh}9$ đường thẳng $\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }$. Phương trình đường thẳng $\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }$ là:
$\frac{x+1}{7}=\frac{y-2}{-1}\text{ }\!\!~\!\!\text{ hay }\!\!~\!\!\text{ }x+7y-13=0.\text{ }\!\!~\!\!\text{ }$
Cách 2: Gọi $\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }$ là đường thẳng đi qua $B$ và có vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=\left( a;b \right)$. Khi đó, ta có phương trình $\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }$ là: $a\left( x+1 \right)+b\left( y-2 \right)=0$ hay $ax+by+\left( a-2b \right)=0$.
Ta có:
$\begin{array}{*{35}{r}}{} & d\left( A,\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ } \right)=d\left( C,\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ } \right)\Leftrightarrow \frac{\left| 3a+2b \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}=\frac{\left| 4a-3b \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}} \\{} & ~\Leftrightarrow \left| 3a+2b\left| = \right|4a-3b \right|\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}3a+2b=4a-3b \\3a+2b=-4a+3b \\\end{matrix}\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}-a+5b=0 \\7a-b=0 \\\end{matrix} \right. \right. \\\end{array}$
Với (1), ta có thể chọn $a=5,b=1$. Khi đó, phương trinh đường thẳng $\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }$ là: $5x+y+3=0$.
Với (2), ta có thể chọn $a=1,b=7$. Khi đó, phương trinh đường thẳng $\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }$ là: $x+7y-13=0$.
Vấn đề 5 . Úng dụng
Ví dụ 6 Có hai con tàu $A$ và $B$ cùng xuất phát từ hai bển, chuyển động đều theo đường thẳng ngoài biển. Trên màn hinh ra đa của trạm điều khiển (được coi như mặt phẳng toạ độ $Oxy$ với đơn vị trên các trục tính theo ki-lô-mét), sau khi xuất phát $t$ (giờ) $\left( t\ge 0 \right)$, vị trí của tàu $A$ có toạ độ được xác định bởi công thức $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}x=3-35t \\y=-4+25t \\\end{array} \right.$, vị trí của tàu $B$ có toạ độ là $N\left( 4-30t;3-40t \right)$.
a) Tính côsin góc giữa hai đường đi của hai tàu $A$ và $B$.
b) Sau bao lâu kể từ thời điểm xuất phát hai tàu gần nhau nhât?
c) Nếu tàu $A$ đứng yên ở vị tri ban đầu, tàu $B$ chạy thì khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu bằng bao nhiêu?
Giải
a) Tàu $A$ di chuyễn theo hướng cùng hướng với vectơ ${{\vec{u}}_{1}}=\left( -35;25 \right)$; tàu $B$ di chuyển theo hướng cùng hướng với vectơ ${{\vec{u}}_{2}}=\left( -30;-40 \right)$. Gọi $\alpha $ là góc giữa hai đường đi của hai tàu.
Ta có:
$\text{cos}\alpha =\left| \text{cos}\left( {{{\vec{u}}}_{1}},{{{\vec{u}}}_{2}} \right) \right|=\frac{\left| {{{\vec{u}}}_{1}}\cdot {{{\vec{u}}}_{2}} \right|}{\left| {{{\vec{u}}}_{1}} \right|\cdot \left| {{{\vec{u}}}_{2}} \right|}=\frac{\left| \left( -35 \right)\cdot \left( -30 \right)+25\cdot \left( -40 \right) \right|}{\sqrt{{{(-35)}^{2}}+{{25}^{2}}}\cdot \sqrt{{{(-30)}^{2}}+{{(-40)}^{2}}}}=\frac{1}{5\sqrt{74}}.$
b) Vị tri của tàu $A$ tại thời điểm sau khi xuất phát $t$ (giờ) $\left( t\ge 0 \right)$ là điểm $M$ có toạ độ là $\left( 3-35t;-4+25t \right)$.
Vị trí của tàu $B$ tại thời điểm sau khi xuất phát $t$ (giờ) $\left( t\ge 0 \right)$ là điểm $N$ có toạ độ là $\left( 4-30t;3-40t \right)$
Do đó, $\overrightarrow{MN}=\left( 1+5t;7-65t \right)$. Suy ra
$\begin{array}{*{35}{r}}MN & ~=\sqrt{{{(1+5t)}^{2}}+{{(7-65t)}^{2}}}=\sqrt{4250{{t}^{2}}-900t+50} \\{} & ~=\sqrt{4250{{\left( t-\frac{9}{85} \right)}^{2}}+\frac{40}{17}}\ge \sqrt{\frac{40}{17}}\approx 1,53\left( \text{ }\!\!~\!\!\text{ km} \right). \\\end{array}$
$MN$ nhỏ nhất xấp xỉ bằng $1,53\text{ }\!\!~\!\!\text{ km}$ khi $t=\frac{9}{85}$ giơo.
Như vậy, sau $\frac{9}{85}$ giờ kể từ thời điểm xuất phát thi hai tàu gần nhau nhất và cách nhau khoảng 1,53 km.
c) Cách 1: Vị trí ban đầu của tàu $A$ tại ${{M}_{0}}$ ứng với $t=0$, khi đó ${{M}_{0}}\left( 3;-4 \right)$.
Tàu $B$ di chuyển theo đường thẳng $\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=\left( 40;-30 \right)$ và đi qua điểm $K\left( 4;3 \right)$. Phương trinh tổng quát của $\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }$ là: $40\left( x-4 \right)-30\left( y-3 \right)=0$ hay $4x-3y-7=0$.
Ta có: $d\left( {{M}_{0}},\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ } \right)=\frac{\left| 4\cdot 3-3\cdot \left( -4 \right)-7 \right|}{\sqrt{{{4}^{2}}+{{(-3)}^{2}}}}=\frac{17}{5}=3,4\left( \text{ }\!\!~\!\!\text{ km} \right)$.
Kiểm tra thấy khoảng cách này bằng khoảng cách giữa tàu $A$ tại ${{M}_{0}}$ và tàu $B$ tại vị tri sau khi xuất phát $t=\frac{31}{250}$ (giờ).
Vậy nếu tàu $A$ đứng yên ở vị tri ban đầu, tàu $B$ chạy thì khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu bằng $3,4\text{ }\!\!~\!\!\text{ km}$.
Cách 2: Vị trí ban đầu của tàu $A$ tại ${{M}_{0}}$ ứng với $t=0$, khi đó ${{M}_{0}}\left( 3;-4 \right)$.
Vị trí của tàu $B$ sau khi xuất phát $t$ (giờ) $\left( t\ge 0 \right)$ có tọa độ là $N\left( 4-30t;3-40t \right)$.
Do đó $\overrightarrow{{{M}_{0}}N}=\left( 1-30t;7-40t \right)$.
Suy ra ${{M}_{0}}N=\sqrt{{{(1-30t)}^{2}}+{{(7-40t)}^{2}}}=\sqrt{2500{{t}^{2}}-620t+50}$. Đặt $f\left( t \right)=2500{{t}^{2}}-620t+50$. Ta có $f\left( t \right)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $t=-\frac{b}{2a}=\frac{31}{250}$, khi đó $f\left( \frac{31}{250} \right)=\frac{289}{25}$.
Do $t=\frac{31}{250}>0$ và $f\left( \frac{31}{250} \right)=\frac{289}{25}>0$ nên suy ra ${{M}_{0}}N$ nhỏ nhất bằng $\frac{17}{5}=3,4\left( \text{ }\!\!~\!\!\text{ km} \right)$ khi $t=\frac{31}{250}$ (giờ).
Vậy, nếu tàu $A$ đứng yên ở vị tri ban đầu, tàu $B$ chạy thi khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu bằng $3,4\text{ }\!\!~\!\!\text{ km}$.
BÀl TẬP
Phương trình nào dưới đây là phương trình tham số của một đường thẳng song song với đường thẳng $x-2y+3=0$ ?
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}x=-1+2t \\y=1+t \\\end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}x=1+2t \\y=-1+t \\\end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}x=1+t \\y=-1-2t \\\end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}x=1-2t \\y=-1+t \\\end{array} \right.$
Phương trình nào dươii đây là phương trình tham số của một đường thẳng vuông góc với đường thẳng $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}x=-1+3t \\y=1-2t? \\\end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}x=-1-2t \\y=1-3t \\\end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}x=-1-2t \\y=1+3t \\\end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}x=-1-3t \\y=1+2t \\\end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}x=-1-3t \\y=1-2t \\\end{array} \right.$
Đường thẳng $\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ di}$ qua điểm $M\left( -1;2 \right)$ và song song với đường thẳng $d:2x-y-5=0$ có phương trinh tồng quát la:
A. $2x-y=0$.
B. $2x-y+4=0$.
C. $2x+y+4=0$.
D. $x+2y-3=0$.
Đường thẳng $\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }$ đi qua điểm $M\left( 3;-4 \right)$ và vuông góc với đường thẳng $d:x-3y+1=0$ có phương trinh tổng quát là:
A. $x-3y-15=0$.
B. $-3x+y+5=0$.
C. $3x+y-13=0$.
D. $3x+y-5=0$.
Cho ${{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{1}}:x-2y+3=0$ và ${{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{2}}:-2x-y+5=0$. Số đo góc giữa hai đường thẳng ${{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{1}}$ và ${{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{2}}$ là:
A. ${{30}^{\circ }}$.
B. ${{45}^{\circ }}$.
C. ${{90}^{\circ }}$.
D. ${{60}^{\circ }}$. 38. Cho ${{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{1}}:\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}x=-2+\sqrt{3}t \\y=1-t \\\end{array} \right.$ và ${{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{2}}:\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}x=-1+\sqrt{3}{t}’ \\y=2+{t}’ \\\end{array} \right.$ Số đo góc giữa hai đường thẳng ${{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{1}}$ và ${{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{2}}$ là:
A. ${{30}^{\circ }}$.
B. ${{45}^{\circ }}$.
C. ${{90}^{\circ }}$.
D. ${{60}^{\circ }}$.
Khoảng cách tử điểm $M\left( 5;-2 \right)$ đến đươnng thẳng $\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }:-3x+2y+6=0$ là:
A. 13 .
B. $\sqrt{13}$.
C. $\frac{\sqrt{13}}{13}$.
D. $2\sqrt{13}$.
Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau:
a) ${{d}_{1}}:2x-3y+5=0$ và ${{d}_{2}}:2x+y-1=0$;
b) ${{d}_{3}}:\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}x=-1-3t \\y=3+t \\\end{array} \right.$ và ${{d}_{4}}:x+3y-5=0$;
c) ${{d}_{5}}:\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}x=2-2t \\y=-1+t \\\end{array} \right.$ và ${{d}_{6}}:\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}x=-2+2t \\y=1-{t}’ \\\end{array} \right.$
Tìm số đo góc giữa hai đường thẳng của mỗi cặp đường thẳng sau:
a) ${{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{1}}:3x+y-5=0$ và ${{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{2}}:x+2y-3=0$;
b) ${{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{3}}:\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}x=2+\sqrt{3}t \\y=-1+3t \\\end{array} \right.$ và ${{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{4}}:\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}x=3-\sqrt{3}t \\y=-{t}’ \\\end{array} \right.$
c) ${{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{5}}:-\sqrt{3}x+3y+2=0$ và ${{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{6}}:\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}x=3t \\y=1-\sqrt{3}t \\\end{array} \right.$
Tính khoảng cách từ một điểm đến một đương thẳng trong các trường hợp sau:
a) $A\left( -3;1 \right)$ và ${{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{1}}:2x+y-4=0$;
b) $B\left( 1;-3 \right)$ và ${{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{2}}:\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}x=-3+3t \\y=1-t \\\end{array} \right.$
Cho hai đường thẳng song song ${{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{1}}:ax+by+c=0$ và ${{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{2}}:ax+by+d=0$. Chứng minh rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng ${{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{1}}$ và ${{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{2}}$ bằng $\frac{\left| d-c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}$.
Cho hai đường thẳng ${{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{1}}:mx-2y-1=0$ và ${{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{2}}:x-2y+3=0$. Với giá trị nào của tham số $m$ thì:
a) ${{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{1}}//{{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{2}}?$
b) ${{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{1}}\bot {{\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }}_{2}}$ ?
Cho ba điểm $A\left( -2;2 \right),B\left( 4;2 \right),C\left( 6;4 \right)$. Viết phương trình đường thẳng $\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }$ đi qua $B$ đồng thời cách đều $A$ và $C$. 46. Có hai tàu điện ngầm $A$ và $B$ chạy trong nội đô thành phố cùng xuất phát từ hai ga, chuyển động đều theo đường thẳng. Trên màn hình ra đa của trạm điều khiễn (được coi như mặt phẳng toạ độ $Oxy$ với đơn vi trên các trục tính theo ki-lô-mét), sau khi xuất phát $t$ (giỡ) $\left( t\ge 0 \right)$, vị trí của tàu $A$ có toạ độ được xác định bởi công thức $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}x=7+36t \\y=-8+8t \\\end{array} \right.$, vị tri của tàu $B$ có toạ độ là $\left( 9+8t;5-36t \right)$.
a) Tính côsin góc giữa hai đường đi của hai tàu $A$ và $B$.
b) Sau bao lâu kể từ thời điểm xuất phát hai tàu gần nhau nhất?
