XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ – SBT Toán 10 Cánh Diều Tập 2

§5 XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Một số khái niệm về xác suất

a) Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu

Có những phép thử mà ta không thể đoán trước được kết quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó. Những phép thử như thế gọi là phép thi̛ ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử).

Tập hợp $\text{ }\!\!\Omega\!\!\text{ }$ các kết quả có thể xảy ra của một phép thử gọi là không gian mẫu của phép thử đó.

b) Biến cố và xác suất của biến cố

Biến cố ngẫu nhiên (gọi tắt là biến cố) là một tập con của không gian mẫu.

Xét phép thử $T$ với không gian mẫu là $\text{ }\!\!\Omega\!\!\text{ }$. Mỗi biến cố là một tập con của tập hợp $\text{ }\!\!\Omega\!\!\text{ }$. Vì thế, tập rỗng $\varnothing $ cũng là một biến cố, gọi là biến cố không thể (gọi tắt là biến cố không). Còn tập hợp $\text{ }\!\!\Omega\!\!\text{ }$ gọi là biến cố chắc chắn.

Tập con $\text{ }\!\!\Omega\!\!\text{ }\setminus A$ xác định một biến cố, gọi là biến cố đối của biến cố $A$, kí hiệu là $\overline{A}\,$.

Xét phép thử chỉ có một số hũ̃u hạn kết quả có thể xảy ra và khả năng xảy ra của từng kết quả là giống nhau. Gọi $\text{ }\!\!\Omega\!\!\text{ }$ là không gian mẫu của phép thử đó. Khi đó, với mỗi biến cố $A$, ta có định nghĩa cổ điển của xác suất như sau:

Xác suất của biến cố $A$, kí hiệu là $\text{P}\left( A \right)$, bằng tỉ số $\frac{n\left( A \right)}{n\left( \text{ }\!\!\Omega\!\!\text{ } \right)}$, ở đó $n\left( A \right),n\left( \text{ }\!\!\Omega\!\!\text{ } \right)$ lần lượt là số phần tử của hai tập hợp $A$ và $\text{ }\!\!\Omega\!\!\text{ }$. Như vậy: $\text{P}\left( A \right)=\frac{n\left( A \right)}{n\left( \text{ }\!\!\Omega\!\!\text{ } \right)}$.

Tính chất của xác suất

Xét phép thử $T$ với không gian mẫu là $\text{ }\!\!\Omega\!\!\text{ }$. Khi đó, ta có các tính chất sau:

$\text{P}\left( \varnothing  \right)=0;\text{P}\left( \text{ }\!\!\Omega\!\!\text{ } \right)=1$

$0\le \text{P}\left( A \right)\le 1$ với mỗi biến cố $A$;

$\text{P}\left( \overline{A}\, \right)=1-\text{P}\left( A \right)$ với mỗi biến cố $A$.

B. Ví dụ

Vấn đề 1. Xác định không gian mẫu, số phần tử của không gian mẫu

Ví dụ 1 Một hộp có 2 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1,2 ; hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một chiếc thẻ từ trong hộp, ghi lại số của thẻ được rút ra và bỏ lại thẻ đó vào hộp. Xét phép thử “Rút ngẫu nhiên liên tiếp 2 chiếc thẻ trong hộp”. Hãy cho biết không gian mẫu của phép thử đó và tính số phần tử của không gian mẫu.

Giải

Không gian mẫu của phép thử trên là tập hợp $\text{ }\!\!\Omega\!\!\text{ }=\left\{ \left( 1;1 \right);\left( 1;2 \right);\left( 2;1 \right);\left( 2;2 \right) \right\}$, ơ đó, chẳng hạn $\left( 1;2 \right)$ là kết quả “Lần thứ nhất rút ra thẻ ghi số 1 , lần thứ hai rút ra thẻ ghi số 2 “. Không gian mẫu có 4 phần tử.

Ví dụ 2 Cho một hộp chứa 4 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ; các bi có hình dạng và kich thước giống nhau. Xét phép thử “Lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 viên bi”. Xác định số phần tử của không gian mẫu trong phép thử đó.

Giải

Tổng số viên bi là $4+5=9$. Mỗi cách lấy ra đồng thời 2 viên bi là một tỗ hợp chập 2 của 9 phần tử. Do đó, không gian mẫu $\text{ }\!\!\Omega\!\!\text{ }$ gồm các tổ hợp chập 2 của 9 phần tử ( 9 viên bi) và $n\left( \text{ }\!\!\Omega\!\!\text{ } \right)=\text{C}_{9}^{2}=36$.

Vấn đề 2 . Xác định biến cố, biến cố đối, biến cố không, biến cố chắc chắn

Ví dụ 3 Một hộp có 1 quả bóng xanh, 1 quả bóng đỏ, 1 quả bóng vàng; các quả bóng có kich thước và khối lượng giống nhau. Lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ trong hộp, ghi lại màu của quả bóng được lấy ra và bỏ lại quả bóng đó vào hộp. Xét phép thử “Lấy ngẫu nhiên liên tiếp 2 quả bóng trong hộp”. Hãy xác định biến cố $A$ : “Lấy liên tiếp 2 quả bóng cùng màu” và phát biễu biến cố đối của biến cố $A$.

Giải

Biến cố $A=\left\{ \text{XX};\text{};\text{VV} \right\}$, trong đó, $\text{XX}$ là kết quả lấy liên tiếp 2 quả bóng xanh; ĐĐ là kết quả lấy liên tiếp 2 quả bóng đỏ; VV là kết quả lấy liên tiếp 2 quả bóng vàng. Biến cố đối của biến cố $A$ là $\overline{A}\,$ : “Lấy liên tiếp 2 quả bóng khác màu”.

Ví dụ 4 Xét phép thử “Gieo ngẫu nhiên một xúc xắc một lần”. Xét các biến cố: A: “Mặt xuất hiện có số chấm là số nguyên dương”;

B: “Mặt xuất hiện có số chấm là số chia hết cho 7 “;

C: “Mặt xuất hiện có số chấm là số lớn hơn $-1$ “;

D: “Mặt xuất hiện có số chấm là số nguyên âm”.

Trong các biến cố trên, biến cố nào là biến cố không? Biến cố chắc chắn?

Giải

Biến cố chắc chắn là các biến cố $A,C$. Biến cố không là các biến cố $B,D$.

Vấn đề 3 . Tính xác suất của biến cố

Ví dụ 5 Một người bấm số gọi điện thoại nhưng quên hai số cuối của số điện thoại cần gọi và chỉ nhớ rằng hai chữ số đó khác nhau. Tính xác suất của biến cố ‘Người đó bấm thử 1 lần được đúng số điện thoại cần gọi”.

Giải

Hai số cuối là hai chữ số khác nhau thuộc tập hợp $\left\{ 0;1;\ldots ;9 \right\}$. Mỗi cách bấm hai chữ số đó cho ta một chỉnh hợp chập 2 của tập hợp 10 phần tử. Vi vậy, không gian mẫu $\text{ }\!\!\Omega\!\!\text{ }$ gồm các chỉnh hợp chập 2 của tập hợp 10 phần tử và $n\left( \text{ }\!\!\Omega\!\!\text{ } \right)=\text{A}_{10}^{2}=90$.

Gọi $C$ là biến cố “Người đó bấm thử 1 lần được đúng số điện thoại cần gọi”. Vi chỉ có 1 số điện thoại cần gọi là đúng nên $n\left( C \right)=1$. Vậy xác suất của biến cố $C$ là:

$\text{P}\left( C \right)=\frac{n\left( C \right)}{n\left( \text{ }\!\!\Omega\!\!\text{ } \right)}=\frac{1}{90}.$

Ví dụ 6 Hai bạn nữ Hoa, Thảo và hai bạn nam Dũng, Huy được xếp ngồi ngẫu nhiên vào bốn ghế đặt theo hàng dọc. Tính xác suất của mỗi biến cố sau:

a) “Bạn Thảo ngồi ghế đầu tiên”;

b) “Bạn Thảo ngồi ghế đầu tiên và bạn Huy ngồi ghế cuối cùng”.

Giải

Mỗi cách xếp 4 bạn ngồi vào bốn ghế là một hoán vị của 4 phần tử. Vì vậy, không gian mẫu $\text{ }\!\!\Omega\!\!\text{ }$ gồm các hoán vị của 4 phần tử và $n\left( \text{ }\!\!\Omega\!\!\text{ } \right)=4!=24$. a) Gọi $A$ là biến cố “Bạn Thảo ngồi ghế đầu tiên”. Vì bạn Thảo ngồi ghế đầu tiên nên chỉ xếp 3 bạn còn lại vào ba ghế sau. Do đó, tập hợp $A$ gồm các hoán vị của 3 phần tử và $n\left( A \right)=3!=6$.

Vậy xác suất của biến cố $A$ là: $\text{P}\left( A \right)=\frac{n\left( A \right)}{n\left( \text{ }\!\!\Omega\!\!\text{ } \right)}=\frac{6}{24}=\frac{1}{4}$.

b) Gọi $B$ là biến cố “Bạn Thảo ngồi ghế đầu tiên và bạn Huy ngồi ghế cuối cùng”. Vi bạn Thảo ngồi ghế đầu tiên và bạn Huy ngồi ghế cuối cùng nên chỉ xếp 2 bạn còn lại vào hai ghế ở giữa. Do đó, tập hợp $B$ gồm các hoán vị của 2 phần tử và $n\left( B \right)=2!=2$.

Vậy xác suất của biến cố $B$ là: $\text{P}\left( B \right)=\frac{n\left( B \right)}{n\left( \text{ }\!\!\Omega\!\!\text{ } \right)}=\frac{2}{24}=\frac{1}{12}$.

Ví dụ 7. Có 3 bông hoa màu trắng, 4 bông hoa màu vàng và 5 bông hoa màu đỏ. Người ta chọn ra 4 bông hoa từ các bông hoa trên. Tính xác suất của biến cố “Bốn bông hoa chọn ra có cả ba màu”.

Giải

Mỗi cách chọn ra đồng thời 4 bông hoa là một tổ hợp chập 4 của 12 phần tử. Do đó, không gian mẫu $\text{ }\!\!\Omega\!\!\text{ }$ gồm các tổ hợp chập 4 của 12 phần tử và $n\left( \text{ }\!\!\Omega\!\!\text{ } \right)=C_{12}^{4}=495$. Gọi $A$ là biến cố “Bốn bông hoa chọn ra có cả ba màu”. Có 3 trường hợp xảy ra:

Trường hơp 1: Chọn ra 2 bông hoa màu trắng, 1 bông hoa màu vàng, 1 bông hoa màu đỏ. Số cách chọn ra 2 bông hoa màu trắng là: $\text{C}_{3}^{2}=3$.

Số cách chọn ra 2 bông hoa màu trắng, 1 bông hoa màu vàng, 1 bông hoa màu đỏ là:

$\text{ }\!\!~\!\!\text{ 3}\text{. }\!\!~\!\!\text{ }4.5=60.\text{ }\!\!~\!\!\text{ }$

Trường hơp 2: Chọn ra 1 bông hoa màu trắng, 2 bông hoa màu vàng, 1 bông hoa màu đỏ.

Số cách chọn ra 2 bông hoa màu vàng là: $\text{C}_{4}^{2}=6$.

Số cách chọn ra 1 bông hoa màu trắng, 2 bông hoa màu vàng, 1 bông hoa màu đỏ là:

$\text{ }\!\!~\!\!\text{ 3}\text{. }\!\!~\!\!\text{ }6.5=90.\text{ }\!\!~\!\!\text{ }$

Trường hơp 3: Chọn ra 1 bông hoa màu trắng, 1 bông hoa màu vàng, 2 bông hoa màu đỏ.

Số cách chọn ra 2 bông hoa màu đỏ là: $C_{5}^{2}=10$.

Số cách chọn ra 1 bông hoa màu trắng, 1 bông hoa màu vàng, 2 bông hoa màu đỏ là:

$\text{ }\!\!~\!\!\text{ 3}\text{. }\!\!~\!\!\text{ }4\cdot 10=120.\text{ }\!\!~\!\!\text{ }$

Tập hợp $A$ bao gồm các phần tử là các khả năng của tất cả trương hợp $1,2,3$ và $n\left( A \right)=60+90+120=270$.

Vậy xác suất của biến cố $A$ là: $\text{P}\left( A \right)=\frac{n\left( A \right)}{n\left( \text{ }\!\!\Omega\!\!\text{ } \right)}=\frac{270}{495}=\frac{6}{11}$.

Tải về file word

BÀl TẬP

Xét phép thử “Gieo một xúc xắc hai lần liên tiếp”. Biến cố nào dưới đây là biến cố không?
Tổng số chấm ở hai lần gieo nhỏ hơn hoặc bằng 1 .
B. Cả hai lần gieo đều xuất hiện số chấm lẻ.
C. Số chấm xuất hiện ở hai lần gieo đều chia hết cho 5 .
D. Số chấm ở lần gieo thứ nhất nhỏ hơn số chấm ở lần gieo thứ hai.

Xét phép thử “Tung một đồng xu hai lần liên tiếp”. Biến cố nào dưới đây là biến cố chắc chắn?
Mặt sấp chỉ xuất hiện 1 lần.
B. Lần thứ hai xuất hiện mặt ngửa.
C. Lần thứ nhất xuất hiện mặt sấp hoặc mặt ngửa.
D. Cả hai lần tung đều xuất hiện mặt sấp.

Cho tập hợp $A$ gồm 2022 số nguyên dương liên tiếp $1,2,3,\ldots ,2$ 222. Chọn ngẫu nhiên 2 số thuộc tập hợp $A$. Xác suất của biến cố “Tích 2 số được chọn là số chẵn” là:
$\frac{\text{C}_{1011}^{2}}{\text{C}_{2022}^{2}}$.
B. $1-\frac{C_{1011}^{2}}{C_{2022}^{2}}$.
C. $\frac{1}{2}$.
D. $1-\frac{\text{C}_{2}^{2}022}{\text{C}_{4044}^{2}}$.

Ngân hàng đề thi của một môn khoa học xã hội gồm 200 câu hỏi. Người ta chọn trong ngân hàng đề thi 5 câu hỏi để làm thành một đề thi, hai đề thi được gọi là giống nhau nếu có cùng tập hợp 5 câu hỏi. Một học sinh chắc chắn trả lời đúng 120 câu hỏi trong ngân hàng đề thi đó. Xác suất để học $\text{sinh}$ đó rút ngẫu nhiên được một đề thi mà có đúng 3 câu hỏi chắc chắn trả lời đúng là:
$\frac{C_{120}^{3}}{C_{200}^{5}}$.
B. $1-\frac{\text{C}_{80}^{2}}{\text{C}_{200}^{5}}$.
C. $\frac{120}{200}$.
D. $\frac{\text{C}_{80}^{2}\text{C}_{120}^{3}}{\text{C}_{200}^{5}}$.

Từ một hộp chứa 3 quả cầu trắng, 4 quả cầu đỏ, 5 quả cầu vàng, các quả cầu có kích thước và khối lượng giống nhau, lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu. Tính xác suất lấy được 3 quả cầu có màu đôi một khác nhau. 32. Có 20 tấm thẻ màu xanh, 30 tấm thẻ màu đỏ. Người ta chọn ra đồng thời 18 tấm thẻ. Tính xác suất của biến cố $A$ : “Trong 18 tấm thẻ được chọn ra có it nhất một tấm thẻ màu xanh”.

Lớp $10\text{ }\!\!~\!\!\text{ A}$ có 16 nam và 24 nữ. Chọn ngẫu nhiên 5 bạn để phân công trực nhật. Tính xác suất của biến cố $A$ : ‘Trong 5 bạn được chọn có 2 bạn nam và 3 bạn nữ’.

Xếp ngẫu nhiên 6 bạn An, Binh, Cường, Dũng, Đông, Huy vào một dãy hàng dọc. Tính xác suất của các biến cố sau:
a) $A$ : “Bạn Dũng luôn đứng liền sau bạn Binh”.
b) B: “Bạn Bình và bạn Cường luôn đứng liền nhau”.

Từ bộ tú lơ khơ có 52 quân bài thường đang được úp, rút ngẫu nhiên đồng thời 4 quân bài. Tính xác suât các biến cố sau:
a) $A$ : “Rút được 4 quân bài cùng một giá trị” (ví dụ 4 quân 3,4 quân $\text{K},\ldots $ );
b) $B$ : “Rút được 4 quân bài có cùng chất”;
c) C: “Trong 4 quân bài rút được chỉ có 2 quân Át”.

Một giải bóng đá gồm 16 đội, trong đó có 4 đội của nước V. Ban tổ chức bốc thăm ngầu nhiên để chia thành 4 bảng đẩu $\text{A},\text{B},\text{C},\text{D}$, mỗi bảng đấu có 4 đội. Tính xác suất của biến cố “Bốn đội của nước $\text{V}$ ơ 4 bảng đấu khác nhau”.